数学：山东省青岛市市南区2024年中考三模试题（解析版）

这是一份数学：山东省青岛市市南区2024年中考三模试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的倒数的相反数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】，的倒数是-2，-2的相反数是2
所以，的倒数的相反数是2．故选：B．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 线段B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 平行四边形
【答案】A
【解析】A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意；
故选A.
3. 芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示（ ）m．（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得
在前面有个，
在前面有个，
．
故选：D．
4. 如图所示几何体的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示的几何体的主视图如下：

故选：D．
5. 如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ）
A. 32°B. 38°C. 46°D. 48°
【答案】D
【解析】如图所示，
∵是正五边形，
∴内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
6. 下列运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. 原选项正确，不符合题意；
B. 原选项正确，不符合题意；
C. 原选项不正确，符合题意；
D. 原选项正确，不符合题意；
故选C.
7. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示，根据图中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】从平均数看，丙、丁的平均数比甲、乙的平均数大，
∴应从丙、丁中选择一名运动员参加比赛，
从方差来看，丁的方差小于丙的方差，即丁的成绩比丙的成绩稳定，
∴要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择丁，
故选D．
8. 如图，将先向下平移1个单位，再绕点按顺时针方向旋转一定角度，得到，顶点落到了点处，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，点的对应点的坐标是，故选：C．
9. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，交于H，
∵，点E为的中点，
∴，
又∵，
∴，
由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴），
∴，
则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图为二次函数．则下列结论正确的有①；②；③为任意实数，则；④；⑤若，且，则．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】①抛物线开口方向向上，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于轴负半轴，则，
所以．故①错误；
②抛物线对称轴为直线，
，即，故②正确；
③抛物线对称轴为直线，
函数的最小值为：，
为任意实数时，，即，故③正确；
④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
，故④正确；
⑤，
，
，
，
而，
，即，
，
，故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤，共4个；
故选：C．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共18分）
11. 的算术平方根是________
【答案】
【解析】∵，
∴的算术平方根是．
故答案为．
12. 因式分解 ：________________________
【答案】
【解析】原式=2（x4−y4）=2（x2+y2）（x2−y2）
=2（x2+y2）（x+y）（x−y），
故答案为：2（x2+y2）（x+y）（x−y）.
13. 某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的方程是_____．
【答案】
【解析】设2007年的国内生产总值（GDP）为1，
∵2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，
∴2008年的国内生产总值（GDP）为1×（1+12%），
∵今年比2008年增长7%，
∴2009年国内生产总值为1×（1+12%）×（1+7%），
若这两年GDP年平均增长率为x%，则2009年国内生产总值为1×（1+x%）2，
∴可列方程为．
14. 如图，以边长为20cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边形的无盖柱形盒子，则它的容积为_____.

【答案】2592
【解析】如图，连接，
由题意知：，，
∴cm，
∵，∴，
∴，
∴cm，
由题意知：无盖柱形盒子的底面为以12为边长的正六边形，
其面积为：cm2，
∴盖柱形盒子的容积为： cm3.
15. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，则下列结论正确的有________（填序号）．
①；②若是的中点，则；③的周长等于长的倍；④连接，则为等腰直角三角形．
【答案】①②③④
【解析】①将绕点逆时针旋转得到，连接，
，
，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
又，
，
，
而，
中，，
，故①正确；
②过作，交延长线于，如图：
同（1）可得，，
，，
设，，则，，，，
中，，
，
解得，
设，则，
，，
中，，
，故②正确；
③的周长
，
，
的周长，故③正确；
④如图：
，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，故④正确；
正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
三、作图题（本大题满分4分）
16. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知，求作，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上．
解：如图，为所作．
四、解答题（本大题共10小题，共68分）
17. （1）化简：；
（2）解不等式组：.
解：（1）
；
（2），
解不等式①得，；
解不等式②，去分母得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，，
故不等式组的解集为：．
18. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
试估算口袋中黑球有______只，白球有______只，并运用所估计结论，用画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率．
解：当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
所以可估计口袋中白球的个数（个），黑球（个）．
列表得：
共有20种等可能结果，
这两只球颜色不同的概率是：．
故答案为：2，3；
19. 在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，）
解：延长AC交PQ于点E，交MN于点F，
由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，
设路灯的高度为xm，则MN=PQ= xm，MF=PE=x-1.2，
在Rt△AFM中，∠MAF=10°，MF= x-1.2，，
∴，
∴，
∴；
∴CE=AE-AC= -10，
在Rt△CEP中，∠PCE=27°，CE= -10，，
∴，
解得x≈13.4，
∴路灯的高度为13.4m．
答：路灯的高度为13.4m．
20. 为了增强青少年法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析．
①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）：
说明：A：；B：；C：；D：；
②抽取八年级参赛学生的成绩等级为“C”的分数为：
70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84．
③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）八年级这40名学生成绩的中位数是_______；
（3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是_______（填“七”或“八”）年级的学生；
（4）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？
解：（1）七年级B等级人数为：，七年级D等级人数为：，
补充完整后的条形统计图如下所示：
（2）将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图和八年级C等级分数情况可知，第20位和第21位分别为75，76，
因此八年级这40名学生成绩的中位数是，
故答案为：；
（3）七年级的中位数为74，八年级的中位数为，
因此同样是75分的情况下，在七年级的排名更靠前，可知小明是七年级的学生，
故答案为：七；
（4）（人）
答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人．
21. 如图，四边形内接于，为的直径，．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度．
（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，
则CD=，
∴CD=．
22. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想体现，在计算时，如图1，在中，，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，

（1）类比这种方法，求得______；
（2）如图2，锐角，已知，求证：．
（1）解：作，使，延长到D，使，连接，

设，则，，，
，
故答案为：；
（2）证明：延长使，连接，得，

设，，，，∴，
∴．
23. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：四边形AGFE是菱形，理由如下：
连接，交于点，
由（）得，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴平行四边形是菱形．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
解：（1）∵反比例函数过点，，
∴，解得：，，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，解得：．
∴一次函数解析式为：；
（2）根据图象，不等式的解集为：或；
（3）设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
25. 年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为万元/吨，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格为万元/吨．乙类草莓深加工总费用（单位：万元）与加工数量（单位：吨）之间的函数关系为，平均销售价格为万元/吨．
（1）某次该公司收购了吨的草莓，其中甲类草莓有吨，经营这批草莓所获得的总利润为万元；
①求与之间的函数关系式；
②若该公司获得了万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？
（2）在某次收购中，该公司准备投入万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润．
解：（1）①设销售甲类草莓吨，则销售乙类草莓吨．
当时，，
，
∴；
当时，，
，
∴．
∴关于的函数关系式为：．
②当时，，解得，，均不合题意；
当时，，解得．
∴当该公司获得了万元的总利润时，直接销售的甲类草莓有吨．
（2）设投入资金后甲类分到收购的草莓为吨，乙类为吨，总投入为，即：，
当时总利润为，
当时，取到最大值；
当时，总利润为常数，
故方案为收购吨，甲类分配吨，乙类分配吨，总收益为万元．
26. 如图，在平行四边形中，过点作的延长线于点，垂足为点，，，，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速向点运动，速度为；过点作，交于点．当点、中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段也停止运动，连接．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点Q在的平分线上．
（2）设五边形的面积为，求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻，使得点C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图2，
是的平分线，，
，
．
在中，，，
，
又，
，即，
．
．
∵，
，
，即，
解得，
故当时，点在的平分线上；
（2）如图3，过点作于点，过点作于点，
在中，，
．
，
四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，即，
，
．
∵，
，
，
，即，
，
，
，
与之间的函数关系式为；
（3）是等腰三角形，
分，和三种情况讨论：
①当时，，
解得；
②当时，过点作，交于点，如图4，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
；
③当时，过点作于点，
则，
，
，即，
，
综上所述，当为或或时，是等腰三角形．摸球的次n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率m/n
0.58
0.64
0.58
059
0.605
0.601
黑1
黑2
白1
白2
白3
黑1
（黑1，黑2）
（黑1，白1）
（黑1，白2）
（黑1，白3）
黑2
（黑2，黑1）
（黑2，白1）
（黑2，白2）
（黑2，白3）
白1
（白1，黑1）
（白1，黑2）
（白2，白2）
（白1，白3）
白2
（白2，黑1）
（白2，黑2）
（白2，白1）
（白2，白3）
白3
（白3，黑1）
（白3，黑2）
（白3，白1）
（白3，白2）
年级
平均数
中位数
众数
七
73.5
74
84
八
73.5
_______
85