数学：内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2023-2024学年八年级下学期5月期中考试试题（解析版） (1)

这是一份数学：内蒙古自治区鄂尔多斯市伊金霍洛旗2023-2024学年八年级下学期5月期中考试试题（解析版） (1)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意；
B.=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意；
C.，是最简二次根式；故C选项符合题意；
D.=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意；
故选C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.，故本选项错误，不符合题意；
B.，故本选项正确，符合题意；
C.和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
D.和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
3. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角的度数之比为 B. 三内角的度数之比为
C. 三边长之比为 D. 三边长的平方之比为
【答案】B
【解析】A.根据三角形内角和公式，求得各角分别为，，，所以此三角形是直角三角形，不符合题意；
B.根据三角形内角和公式，求得各角分别为，，，所以此三角形不是直角三角形，符合题意；
C.设三边长分别为，，，因为，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合题意；
D.三边长的平方之比为，即设三边长的平方分别为，，，即，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，不符合题意．故选：B．
4. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，，▱ABCD的周长（ ）
A. 11B. 13C. 16D. 22
【答案】D
【解析】因为▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，
所以OE是三角形ABD的中位线，所以AD=2OE=6
所以▱ABCD的周长=2（AB+AD）=22故选D.
5. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是，则两条对角线所成的锐角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，矩形，
则：，，
∴，
∴，
∴两条对角线相交所成的锐角的度数为
故选D．
6. 如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )
A. 24B. 16C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=AC=3，
OB=BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB==，
∴菱形的周长为4．
故选C．
7. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由题意，得：，，，
∴，
∴点表示的数为；
故选A．
8. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ）
A. B. 6C. 8D.
【答案】A
【解析】如图，连接，
平行四边形中，，
垂直平分，，，，
，，
，，，
是直角三角形，是等腰直角三角形，
．故选：A．
9. 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A. 25°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB=BD，
∵∠DHO=20°，
∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，
∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．
故选：B．
10. 如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
设，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
则，即，
解得，
故选：D．
二、填空题
11. 要使代数式有意义，则x的取值范围为___________．
【答案】且
【解析】∵要使式子有意义，
∴且，解得：且．
故答案为：且．
12. 计算： _______________
【答案】
【解析】；
故答案为：．
13. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．则蚂蚁经过的最短路程_________cm
【答案】
【解析】的长就为最短路线．
如图1，若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为，
如图2，若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为，
如图3，若蚂蚁沿左面和上面爬行，则经过的路程为；
∵ ，
∴所以蚂蚁经过的最短路程是 ．
故答案为：．
14. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有______________
【答案】①②③
【解析】①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故选项①正确；
②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即x-y=2，故选项②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4×xy+4=49，化简得2xy+4=49，故选项③正确；
④因为（x+y）2=x2+y2+2xy=49+45=94，所以x+y=，故此选项不正确．
故答案为①②③.
15. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH  BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH_______．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝，故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中,A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为_________．
【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【解析】∵四边形OABC矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，PC==3，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，DE==3；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5-3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）
三、解答题
17. 计算：
（1）．
（2）．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
19. 观察下列等式：
等式1：；等式2：；等式3:；
（1）猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第9个等式为 ，并选择第4个等式证明猜想的准确性；
（2）归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想：第个等式为 ．
解：（1）第4个等式为：；第9个等式为：；
证明：；
（2）第个等式为： ，n为正整数；
证明：，
∵n为正整数，
∴原式=．
20. 如图，公路和公路在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
（1）解：学校受到噪音影响．理由如下：
如图：作于B，
∵，
∴，
∵，
∴消防车在公路上沿方向行驶时，学校受到噪音影响．
（2）解：如图：以点A为圆心，为半径作交于C、D，
∵，∴，
在中，，
∴，
∴，
∵消防车的速度，∴消防车在线段上行驶所需要时间（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
21. 如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是矩形，，，求的值；
（3）若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论．
（1）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：四边形是矩形，
∵四边形是平行四边形．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向运动，以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t(s)，
（1）求AE的长：
（2）是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由
（3）当t= 时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分（直接写出答案），
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，，
，
，
由运动知，，，
，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点在边上时，，
，
当点在边的延长线上时，，
，
，
或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形；
（3）如图，
连接交于，
线段将平行四边形面积二等分，
必过的中点，，
，，
在和中，
，
，
，
由运动知，，，
，，
，
，
时，线段将平行四边形面积二等分，
故答案为：1．