【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学（不全）

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第Ⅰ卷
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．(共12题；共60分)
1. 集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}，则A∩B＝（ ）
2. 设z＝i ， 则z•＝（ ）
3. 若实数x ， y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（ ）
4. 等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若S9＝1，a3+a7＝（ ）
5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（0，4）、F2（0，﹣4），且经过点P（﹣6，4），则双曲线C的离心率是（ ）
7. 曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
8. 函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（ ）
9. 已知 ， 则＝（ ）
10. （略）（ ）
11. 已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m ． 下列四个命题：
①若m∥n ， 则n∥α或n∥β
②若m⊥n ， 则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（ ）
12. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ， 若 ， 则sinA+sinC＝（ ）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(共4题；共20分)
13. ____________________
14. 函数在[0，π]上的最大值是____________________ ．
15. 已知a＞1， ， 则a＝____________________ ．
16. 曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为____________________ ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(共5题；共60分)
17. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， 且2Sn＝3an+1﹣3．
（1） 求{an}的通项公式；
（2） 求数列{Sn}的通项公式．
18. 某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1） 填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？
（2） 已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65 ， 则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附： ，
19. 如图，在以A ， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，AB∥CD ， CD∥EF ， AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4， ， ， M为CD的中点．
（1） 证明：EM∥平面BCF；
（2） 求点M到ADE的距离．
20. 已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．
（1） 求f（x）的单调区间；
（2） 若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex﹣1恒成立．
21. 已知椭圆C：的右焦点为F ， 点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A ， B两点，N为线段FP的中点，直线NB与MF交于Q ， 证明：AQ⊥y轴．
四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](共1题；共10分)
22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcsθ+1．
（1） 写出C的直角坐标方程；
（2） 直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．
五、[选修4-5：不等式选讲](共1题；共12分)
23. 实数a ， b满足a+b≥3．
（1） 证明：2a2+2b2＞a+b；
（2） 证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．
第Ⅱ卷
第Ⅱ卷的注释A . {1，2，3，4}
B . {1，2，3}
C . {3，4}
D . {1，2，9}
A . ﹣i
B . 1
C . ﹣1
D . 2
A . 5
B .
C . ﹣2
D . ﹣
A . ﹣2
B .
C . 1
D .
A .
B .
C .
D .
A . 4
B . 3
C . 2
D .
A .
B .
C .
D . ﹣
A .
B .
C .
D .
A . 2+1
B . 2﹣1
C .
D . 1﹣
A . A
B . B
C . C
D . D
A . ①③
B . ②③
C . ①②③
D . ①③④
A .
B .
C .
D .
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828