2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练59正态分布Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练59正态分布Word版附解析，共6页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量X服从正态分布N(1,0.16),则下列结论不正确的是( )
A.E(X)=1B.D(X)=0.4
C.P(X>1)=0.5D.D(X)=0.16
2.(多选)甲、乙两名高中同学历次数学测试的成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是( )
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C.甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近
D.若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.158 65
3.(多选)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X(单位:h)服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.该校学生每周平均阅读时间为9 h
B.该校学生每周阅读时间的标准差为4
C.该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.3%
D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5 h的人数约为214
4.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X>-1)+P(X≥5)=1,则μ=( )
A.-1B.1C.-2D.2
5.已知某大型企业为10 000名员工定制工作服,设员工的身高X(单位:cm)服从正态分布N(172,52),则适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制 套.
6.某高速公路收费站有三个高速收费口,每天通过每个收费口的汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2),若P(500≤X≤700)=35,三个收费口均能正常工作,且互不影响,则该收费站每天至少有一个收费口通过的汽车超过700辆的概率为 .
7.某市教育局为了解高三学生的体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分).经分析,全市高三学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2).已知P(X<75)=0.3,P(X>95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三名学生.
(1)求抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(80,85),(85,95),(95,100)内各有一人的概率;
(2)记抽到的三名学生该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为Y,求随机变量Y的分布列和均值.
二、综合应用
8.(多选)某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其概率分布密度函数为f(x)=1102πe-(x-100)2200,则下列说法正确的是( )
A.该地水稻的平均株高为100 cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.随机测量一株水稻,其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D.随机测量一株水稻,其株高在区间(80,90)和(100,110)的概率相等
9.在某次数学摸底考试中,学生的成绩X近似服从正态分布N(100,σ2),若P(X>120)=a,P(8010.某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三个电子元件连接而成,连接方式如图所示.若元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示:三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(10 000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1 000台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),则这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的均值为 台.
11.(2023辽宁大连模拟)为深入学习党的二十大精神,某学校团委组织了“青春向党百年路,奋进学习二十大”知识竞赛活动,并从中抽取了200份试卷进行调查,这200份试卷的成绩(卷面共100分)频率分布直方图如图所示.
(1)用样本估计总体,求此次知识竞赛的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(2)可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2)(用样本平均数和标准差s分别作为μ,σ的近似值).已知样本标准差s≈7.36,若有84.14%的学生的竞赛成绩不低于学校期望的平均分,则学校期望的平均分约为多少(结果取整数)?
(3)从[80,100]的试卷中用分层随机抽样的方法抽取10份试卷,再从这10份样本中随机抽测i(1≤i≤6)份试卷(抽测的份数是随机的),若已知抽测的i份试卷都不低于90分,求抽测3份的概率.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
三、探究创新
12.某人每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每个面包的质量(单位:g)服从均值为1 000,标准差为50的正态分布.
(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1 000 g的个数为X,求X的分布列和均值;
(2)为判断面包师有没有撒谎,他每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如表,经计算,25个面包的总质量为24 468 g.
购买的25个面包质量的统计数据(单位:g):
尽管上述数据都落在区间(950,1 050)内,但他还是认为面包师撒谎.根据所附信息,从概率角度说明理由.
附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则Y~Nμ,σ225;
②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3;
③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.
考点规范练59 正态分布
1.B 因为随机变量X服从正态分布N(1,0.16),
所以μ=1,σ=0.4,
所以E(X)=1,D(X)=0.16,P(X>1)=0.5.
2.ACD 由曲线知,甲同学的平均成绩为75,乙同学的平均成绩为85,所以乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩,故A正确,B错误.
由曲线可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近,故C正确.
若σ1=5,则随机抽取一次,甲同学的成绩高于80的概率约为0.5-12×0.682 7=0.158 65,故D正确.
故选ACD.
3.AD 因为X~N(9,4),所以μ=9,σ=2,所以该校学生每周平均阅读时间为9 h,该校学生每周阅读时间的标准差为2,故A正确,B错误.
因为P(3≤X≤15)≈0.997 3,
所以P(X≤3)=1-P(3≤X≤15)2≈0.001 35,
所以该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占该校学生总人数的0.135%,故C错误.
因为P(5≤X≤13)≈0.954 5,所以P(3≤X≤5)=12[P(3≤X≤15)-P(5≤X≤13)]≈0.021 4,
所以每周阅读时间在3~5 h的人数约为10 000×0.021 4=214,故D正确.
4.D 因为P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,
所以P(X≥5)=P(X≤-1).
又X~N(μ,σ2),所以μ=5+(-1)2=2.
5.1 359 因为X~N(172,52),所以P(167≤X≤177)≈0.682 7,
P(162≤X≤182)≈0.954 5,所以P(177≤X≤182)=12[P(162≤X≤182)-P(167≤X≤177)]≈0.135 9.
所以适合身高在177~182 cm的员工的工作服大约要定制10 000×0.135 9=1 359(套).
6.61125 因为X~N(600,σ2),P(500≤X≤700)=35,
所以P(X>700)=12[1-P(500≤X≤700)]=15.
所以所求概率为1-1-153=61125.
7.解 (1)因为X~N(80,σ2),所以P(X>85)=P(X<75)=0.3,
所以P(8085)=0.2,P(9595)=0.1,
P(85故所求概率P=A33×0.2×0.2×0.1=0.024.
(2)因为X~N(80,σ2),P(80所以P(75由题意知Y~B(3,0.4),
则P(Y=0)=0.63=0.216,
P(Y=1)=C31×0.4×0.62=0.432,
P(Y=2)=C32×0.42×0.6=0.288,
P(Y=3)=0.43=0.064.
故Y的分布列为
E(Y)=3×0.4=1.2.
8.AC 由题意可知μ=100,σ=10,所以该地水稻的平均株高为100 cm,该地水稻株高的方差为100.故A正确,B错误.
因为X~N(100,102),
所以P(90≤X≤110)≈0.682 7,P(80≤X≤120)≈0.954 5,P(70≤X≤130)≈0.997 3.
所以P(X>120)=12[1-P(80≤X≤120)]≈0.022 75,
P(X<70)=12[1-P(70≤X≤130)]≈0.001 35,
P(80P(100所以株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大,株高在区间(80,90)和(100,110)的概率不相等.
故C正确,D错误.
9.x+y+2=0 由题意可知P(X<100)=12,P(X≤80)=P(X>120)=a,
因为P(X≤80)+P(80所以a+b=12.①
因为直线l:ax+by+12=0与圆C:x2+y2=2相切,
所以12a2+b2=2,即a2+b2=18.②
由①②解得a=b=14.
所以直线l的方程为14x+14y+12=0, 即x+y+2=0.
10.375 因为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(10 000,102),
所以三个电子元件的使用寿命超过10 000小时的概率均为12.
由题意可知该部件的使用寿命超过10 000小时的概率为1-12×12×12=38.
所以这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的均值为1 000×38=375(台).
11.解 (1)由频率分布直方图可知,平均分为(65×0.01+75×0.04+85×0.035+95×0.015)×10=80.5.
(2)由(1)可知X~N(80.5,7.362),设学校期望的平均分约为m,则P(X≥m)=0.841 4.
因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-σ≤X≤μ)≈0.341 4,
所以P(X≥μ-σ)≈0.841 4,
即P(X≥73.14)≈0.841 4,
所以学校期望的平均分约为73分.
(3)由频率分布直方图可知,分数在[80,90)和[90,100]的频率分别为0.35和0.15,那么按照分层随机抽样抽取10人,其中分数在[80,90)的应抽取10×+0.15=7人,
分数在[90,100]的应抽取10×+0.15=3人.
记事件Ai:抽测i(i=1,2,3)份试卷,事件B:取出的试卷都不低于90分,
则P(Ai)=16,P(B|Ai)=C3iC10i.
故P(B)=∑i=13P(Ai)P(B|Ai)=16×(C31C101+C32C102+C33C103)=116,
则P(A3|B)=P(A3B)P(B)=16×C33C103116=145.
12.解 (1)由题意知,从面包师出售的面包中任取一个,其质量大于1 000 g的概率为12,X~B2,12,
则P(X=0)=C20×120×122=14,
P(X=1)=C21×12×12=12,
P(X=2)=C22×122×120=14.
故X的分布列为
E(X)=2×12=1.
(2)依题意,假设面包师没有撒谎,则面包师出售的面包的质量Y(单位:g)服从正态分布N(1 000,502).
根据附①,可知从面包师出售的面包中任取25个,其平均质量Z(单位:g)服从正态分布N(1 000,102).
故P(980≤Z≤1 020)≈0.954 5,P(Z<980)=1-P(980≤Z≤1 020)2≈0.022 75<0.05,
即事件“抽取的25个面包的平均质量小于980 g”为小概率事件.
而购买的25个面包的总质量为24 468 g,平均质量为978.72 g,小于980 g,
即小概率事件发生,故认为假设不成立,即认为面包师撒谎.981
972
966
992
1 010
1 008
954
952
969
978
989
1 001
1 006
957
952
969
981
984
952
959
987
1 006
1 000
977
966
Y
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
X
0
1
2
P
14
12
14