2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练44椭圆Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练44椭圆Word版附解析，共8页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

1.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于( )
A.72B.32C.3D.4
2.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆C的下顶点且斜率为34的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切,则椭圆C的离心率为( )
A.55B.12C.33D.22
3.已知F1,F2分别为椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l平分∠F1PF2的外角,过点F2作直线l的垂线,垂足为M,则|OM|=( )
A.10B.8C.5D.4
4.设F1,F2为椭圆x24+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,PF1·PF2的值为( )
A.0B.2C.4D.-2
5.(多选)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( )
A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为0,5-12
D.若PF1=F1Q,则椭圆C的长轴长为5+17
6.设F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为43的等边三角形,则椭圆C的方程为 .
7.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为 .
8.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m与PF1交于点M.求点M的轨迹方程.
9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
二、综合应用
10.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1的离心率为e1,双曲线C2:x2a2−y2b2=1的离心率为e2,其中,a>b>0,e1e2=33,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为( )
A.x22+y2=1B.x24+y22=1
C.x26+y23=1D.x216+y28=1
11.(多选)设椭圆的方程为x22+y24=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列说法正确的是( )
A.直线AB与OM垂直
B.若点M的坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0
C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为13,43
D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=423
12.(多选)设椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是( )
A.离心率e=32
B.|PF2|的最大值为3
C.△PF1F2的面积的最大值为23
D.|PF1+PF2|的最小值为2
13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则1|PF1|+4|PF2|的最小值是 .
14.(2023广东江门一模)黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点;②长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列.根据以上信息,黄金椭圆的离心率为 .
15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,总有∠AFB≥120°,则椭圆C离心率的取值范围为 .
16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,32为椭圆上一点,|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA=6S△PHN,求直线MN的方程.
17.(2022浙江,21)如图,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,12)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-12x+3于C,D两点.
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;
(2)求|CD|的最小值.
三、探究创新
18. 如图,把半椭圆:x2a2+y2b2=1(x≥0)和圆弧:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称为“曲圆”,其中点F(1,0)是半椭圆的右焦点,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=120°,过点F的直线与“曲圆”交于P,Q两点,则△A1PQ的周长的取值范围是 .
考点规范练44 椭圆
1.A 由已知得F1(-3,0),∵PF1⊥x轴,∴P(-3,±12),
∴|PF1|=12,又|PF1|+|PF2|=4,
∴|PF2|=4-12=72.
2.A 由已知得过椭圆C的下顶点(0,-b)且斜率为34的直线的方程为y=34x-b,即34x-y-b=0,点F(c,0),则c=34c-b342+1,
即(2c-b)(c+2b)=0,因为b>0,c>0,所以b=2c.
又a2=b2+c2,a>0,所以a=5c,
所以e=ca=55.
3.C 如图,设F1P的延长线与直线F2M交于点Q.
由直线l平分∠F1PF2的外角,l⊥F2Q,可得|PQ|=|PF2|,M为F2Q的中点.
又O为F1F2的中点,所以|OM|=12|F1Q|.
由椭圆的定义,可知|F1Q|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|OM|=5.
4.D 根据题意可知,当P,Q分别在椭圆短轴端点处时,四边形PF1QF2的面积最大.不妨令P(0,1),
∵F1(-3,0),F2(3,0),
∴PF1=(-3,-1),PF2=(3,-1),
∴PF1·PF2=-2.
5.ACD 由|F1F2|=2可得F2(1,0),所以PF2⊥x轴.
A中,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|=2a-(|QF2|-|QP|)≥2a-|PF2|=2a-1,当且仅当Q,P,F2三点共线且点Q在第一象限时,取到最小值为2a-1,所以A正确.
B中,因为P在椭圆内,所以b>1,短轴长2b>2,故B不正确.
C中,因为P在椭圆内,所以长轴长2a>|PF1|+|PF2|=1+5,所以离心率e=2c2a<25+1=5-12,所以e∈0,5-12,所以C正确.
D中,因为PF1=F1Q,所以F1为PQ的中点,又F1(-1,0),F2(1,0),P(1,1),所以Q(-3,-1),所以长轴长2a=|QF1|+|QF2|=(-3+1)2+(-1)2+(1+3)2+12=5+17,所以D正确.
6.x29+y26=1 ∵△F2AB是面积为43的等边三角形,
∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可得|F1A|=|F1B|=b2a.
又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,
∴b2a=33×2c.①
又S△F2AB=12×2c×2b2a=43,②
a2=b2+c2,③
由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,
∴椭圆C的方程为x29+y26=1.
7.22 联立x2a2+y2b2=1,y2a2+x2b2=1,两式相减得x2-y2a2=x2-y2b2,又a≠b,
所以x2=y2=a2b2a2+b2,
故四边形ABCD为正方形,其面积为4a2b2a2+b2=163.(*)
由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,所以a2=4,所以椭圆C1的离心率e=22.
8.解 由题意得F1(-1,0),F2(1,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|,
所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为3,
所以点M的轨迹方程为x24+y23=1.
9.解 椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1,m>0.
∵m-mm+3=m(m+2)m+3>0,∴m>mm+3.
∴a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.
由e=32,得m+2m+3=32,∴m=1.
∴椭圆的标准方程为x2+y214=1,∴a=1,b=12,c=32.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标分别为F1(-32,0),F2(32,0),四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,-12),B2(0,12).
10.C 椭圆C1:x2a2+y2b2=1的离心率e1=c1a=1-b2a2,双曲线C2:x2a2−y2b2=1的离心率e2=c2a=1+b2a2,由e1e2=33,得1-b2a21+b2a2=33,则a=2b.由x2+2y2-2b2=0,x-y+3=0,得3x2+12x+18-2b2=0,由Δ=122-4×3×(18-2b2)=0,解得b2=3,则a2=6,故椭圆C1的方程为x26+y23=1.故选C.
11.BD 对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则M(x1+x22,y1+y22).
由已知得x122+y124=1,x222+y224=1,两式相减,整理得y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-2,即kAB·kOM=-2≠-1,
故选项A错误.
对于B选项,因为kAB·kOM=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选项B正确.
对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M(13,43),则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以选项C错误.
对于D选项,直线方程为y=x+2,与椭圆方程x22+y24=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-43,所以|AB|=-43-02+23-22=423,故选项D正确.
12.AD 因为椭圆C:x24+y2=1,所以a=2,b=1,c=a2-b2=3,所以e=ca=32.故A正确.
设点P(x,y),则PF2=(3-x,-y),
因为点P在椭圆C上,所以|PF2|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+1-x24=3x24-23x+4.
因为-2≤x≤2,所以当x=-2时,|PF2|2最大,即|PF2|最大,此时|PF2|max=2+3.故B错误.
因为S△PF1F2=12×2c·|y|=3|y|,所以当|y|最大时,△PF1F2的面积最大.
又-1≤y≤1,所以当y=±1时,△PF1F2的面积取得最大值,为3.故C错误.
设坐标原点为O,则|PF1+PF2|=2|PO|=2x2+y2=23x24+1.
因为-2≤x≤2,所以1≤3x24+1≤4,所以2≤|PF1+PF2|≤4.故D正确.
故选AD.
13.94 据题意ca=32,b=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=3,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以1|PF1|+4|PF2|=14(1|PF1|+4|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=14(5+|PF2||PF1|+4|PF1||PF2|)≥94,
当且仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=83,|PF1|=43时,等号成立.
14.-1+52 设左顶点A(-a,0),上顶点B(0,b),
则直线AB的方程为bx-ay+ab=0,
以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,
则原点到直线AB的距离aba2+b2=c,即a2b2=a2c2+b2c2,即(a2-c2)b2=a2c2,
即b4=(ac)2,所以b2=ac.
长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列,
则(2b)2=2a×2c=4ac,
所以b2=ac.
综上,b2=ac,即a2-c2=ac,
两边同除以a2得1-e2=e,又015.(0,12) 如图所示,设椭圆的右焦点为E,则四边形AFBE是平行四边形,∵∠AFB≥120°,
∴∠FAE≤60°.
设|AE|=m,|AF|=n,由椭圆的定义可知,m+n=2a,则mn≤(m+n)24=a2.
在△AFE中,由余弦定理知,cs∠FAE=m2+n2-EF22mn=(m+n)2-2mn-EF22mn=4a2-4c22mn-1=2(a2-c2)mn-1≥2(a2-c2)a2-1=1-2e2.
∵∠FAE≤60°,∴cs∠FAE∈[12,1),∴1-2e2≥12,
∴e2≤14.又016.解 (1)因为|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2.
又点P(-1,32)在椭圆上,所以14c2+3223c2=1,所以c=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为x24+y23=1.
(2)由(1)知点A(2,0),因为点P-1,32,所以直线AP的方程为x+2y-2=0,所以H(0,1).
当直线MN与x轴垂直时,不合题意.
当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,由y=kx+1,x24+y23=1,可得(4k2+3)x2+8kx-8=0.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8k4k2+3,x1x2=-84k2+3.①
由S△HMA=6S△PHN,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|,所以|MH|=3|NH|,得x1=-3x2,代入①,可得-2x2=-8k4k2+3,-3x22=-84k2+3,所以3×16k2(4k2+3)2=84k2+3,解得k=±62,所以直线MN的方程为y=62x+1或y=-62x+1.
17.解 (1)∵点Q(0,12)在直线AB上,
∴设直线AB的方程为y=kx+12.
设E(x,y)为椭圆上除P之外的一点,已知点P(0,1),
则|PE|2=(y-1)2+x2=(y-1)2+12-12y2
=-11y2-2y+13
=-11[y2+211y+(111)2]+111+13
=-11(y+111)2+14411.
∵-1≤y≤1,
∴当y=-111时,|PE|2取得最大值,为14411.
∴|PE|max=121111.
(2)由x2+12y2=12,y=kx+12,得(12k2+1)x2+12kx-9=0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-12k12k2+1,x1·x2=-912k2+1,
直线PA:y-1=y1-1x1(x-0),
即y=y1-1x1x+1.
由y=-12x+3,y=y1-1x1x+1,得xC=4x1x1+2y1-2=4x1(2k+1)x1-1.
同理可得xD=4x2x2+2y2-2=4x2(2k+1)x2-1,
则|CD|=1+(-12) 2|xC-xD|=524x1(2k+1)x1-1-4x2(2k+1)x2-1
=20x1-x2[(2k+1)x1-1][(2k+1)x2-1]=20|x1-x2||(2k+1)2x1x2-(2k+1)(x1+x2)+1|
=20144k2+9×4(12k2+1)(12k2+1)2(2k+1)2×(-9)12k2+1+(2k+1)12k12k2+1+1=2036(16k2+1)12k2+1-9(4k2+4k+1)+24k2+12k+12k2+112k2+1
=6208·16k2+1|3k+1|=35216k2+1(3k+1)2.
令3k+1=t,则k=t-13,
16k2+1(3k+1)2=259·1t2-329·1t+169.
当1t=1625,即t=2516,k=316时取得最小值.
故|CD|min=35216×(316) 2+1(2516) 2=352×1625=655.
18.(6,8] 由(x-1)2+y2=a2(x<0),令y=0,可得x=1-a,即A1(1-a,0).
由半椭圆的方程可得A2(a,0),B2(0,b),B1(0,-b),由∠B1FB2=120°,可得bc=3,由F(1,0)可得b=3,所以a=2,所以半椭圆和圆弧的方程分别为x24+y23=1(x≥0),(x-1)2+y2=4,所以A1(-1,0),A2(2,0),B1(0,-3),B2(0,3),可得A1相当于椭圆的左焦点,△A1PQ的周长为|PF|+|PA1|+|A1Q|+|QF|,当点P,Q均在半椭圆上时,|PF|+|PA1|=4,|A1Q|+|QF|=4,此时△A1PQ的周长为8.当点P,Q有一个在半椭圆上,另一个在圆弧上时,不妨设点P在圆弧上,则|A1Q|+|QF|=4,|PF|=2,0<|PA1|<2,此时△A1PQ的周长的取值范围为(6,8).
综上所述,△A1PQ的周长的取值范围为(6,8].