2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练23解三角形Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练23解三角形Word版附解析，共7页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,b=2,A=60°,则c等于( )
A.12B.1C.3D.2
答案:B
解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.
2.已知在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccs A+acs C=2bcs B,△ABC的面积S=3,则b等于( )
A.13B.4
C.3D.15
答案:A
解析:由题意可得,2sin Bcs B=sin Ccs A+sin Acs C=sin(A+C)=sin B,∵sin B≠0,
∴cs B=12.
∵B∈(0,π),∴B=π3.
又S=12acsin B=12×1×c×32=3,
∴c=4.
∵b2=a2+c2-2accs B=1+16-2×1×4×12=13,∴b=13.
3.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°,A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°,则该仪器的垂直弹射高度CH为( )米.
A.210(6+2)B.1406
C.2102D.20(6−2)
答案:B
解析:设AC=x,则BC=x-40,
在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2·AC·AB·cs ∠BAC,
即(x-40)2=x2+1002-100x,解得x=420.
在△ACH中,AC=420,∠CAH=15°+30°=45°,∠CHA=90°-30°=60°,
由正弦定理,得CHsin∠CAH=ACsin∠CHA,即CHsin45°=420sin60°,解得CH=1406.
4.如图所示,若网格中小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则△ABC外接圆的面积为( )
A.130π9B.65π9C.65π18D.65π36
答案:C
解析:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
由题图可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cs C=10+9-13610=1010,从而sin C=31010.
设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理,得2R=csinC=1331010=1303,解得R=1306,故△ABC外接圆的面积S=πR2=130π36=65π18.
5.设△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是( )
A.直角三角形B.钝角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
答案:D
解析:∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,
∴B=π3.
∵sin A,sin B,sin C成等比数列,∴sin2B=sin Asin C.
由正弦定理得b2=ac.
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accsπ3,
∴ac=a2+c2-ac,∴(a-c)2=0,∴a=c,
∴△ABC为等边三角形.
6.在△ABC中,cs C=23,AC=4,BC=3,则tan B等于( )
A.5B.25C.45D.85
答案:C
解析:由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcs C=16+9-2×4×3×23=9,即AB=3.
由余弦定理的推论知cs B=AB2+BC2-AC22AB·BC=9+9-162×3×3=19,又cs2B+sin2B=1,且B∈(0,π),解得sin B=459,故tan B=sinBcsB=45.故选C.
7.(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是( )
A.cs C=33B.sin B=23
C.a=3D.S△ABC=2
答案:AD
解析:由A+3C=π,得B=2C.
根据正弦定理bsinB=csinC,得23sin C=3×2sin Ccs C,
又sin C≠0,故cs C=33.
因为C∈(0,π),所以sin C=63,
sin B=sin 2C=2sin Ccs C=223.
由c2=a2+b2-2abcs C,化简得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.
若a=3,则A=C=π4,B=π2,不满足题意,故a=1.
S△ABC=12absin C=12×1×23×63=2.
8.如图,为了测量两山顶D,C间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,在A位置时,观察点D的俯角为75°,观察点C的俯角为30°;在B位置时,观察点D的俯角为45°,观察点C的俯角为60°,且AB=3 km,则点C,D之间的距离为 km.
答案:5
解析:在△ABD中,∵∠BAD=75°,∠ABD=45°,∴∠ADB=60°.
由正弦定理可得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD,
即3sin60°=ADsin45°,
得AD=3sin45°sin60°=2 km.
由题意得∠ABC=120°,∠BAC=∠BCA=30°,则BC=AB=3 km,于是AC=3 km.
在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcs∠DAC=5,即CD=5 km.
9.如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).
(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;
注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.
(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.
解:(1)选用测角仪和米尺.测量方法如下:
①选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;
②在G,H两点分别用测角仪测得A的仰角为α,β,用米尺测量得CD=a,测角仪的高为h.
③经计算建筑物的高度AB=asinαsinβsin(α-β)+h或写成atanαtanβtanα-tanβ+ℎ.
(2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差;③用身高代替测角仪的高度.
二、综合应用
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=csCcsB,b=4,则△ABC的面积的最大值为( )
A.43B.23C.2D.3
答案:A
解析:∵在△ABC中,2a-cb=csCcsB,
∴(2a-c)cs B=bcs C.
由正弦定理,得(2sin A-sin C)cs B=sin Bcs C.
则2sin Acs B=sin Ccs B+sin Bcs C=sin(B+C)=sin A.
∵sin A≠0,∴cs B=12,即B=π3.
由余弦定理可得16=a2+c2-2accs B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时,取等号,
因此,△ABC的面积S=12acsin B=34ac≤43,故选A.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D.若a+4c的最小值为9,则BD= .
答案:2
解析:如图,∠ABC的平分线交AC于点D,
所以∠ABD=∠CBD=45°,
所以SΔABC=12acsin 90°=12c·BD·sin 45°+12a·BD·sin 45°,
可得2ac=2c·BD+2a·BD,可得2·BD·(a+c)2ac=1,
所以a+4c=(a+4c)·2(a+c)2ac·BD,
所以a+4c=22·BD·ac+5+4ca≥22·BD·5+2ac·4ca=922·BD=9,
当且仅当a=2c时取等号,所以BD=2.
12.某学校高一同学参加社会实践活动,应用所学知识测量一个四边形公园的面积,如图所示,测得公园的四边边长分别为AB=1 km,BC=3 km,CD=AD=2 km,∠A=120°,则公园的面积为 km2.当地政府规划建一条圆形的公路,使得整个公园都在圆形公路的里面,则这条公路的总长度的最小值为 km.(备注:把公路看成一条曲线,公路宽度不计)
答案:23 221π3
解析:连接BD(图略),由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcs A=1+4-2×1×2×cs 120°=7,
所以cs C=CD2+CB2-BD22CD·CB=4+9-72×2×3=12,则C=60°,则四边形ABCD的面积等于S△ABD+S△BDC=12AB·ADsin A+12CD·CBsin C=12×1×2×sin 120°+12×2×3×sin 60°=23.
由∠A+∠C=180°,得四边形ABCD存在外接圆,即为△ABD的外接圆.设外接圆半径为R,则由正弦定理可知BDsinA=7sin120°=2R,则R=213,所以当公路恰为四边形的外接圆时其长度最小,最小值为2π×213=2213π.
13.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinAcsA=sinB+sinCcsB+csC.
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=103,请指出这三个条件,并说明理由;
(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.
解:因为sinAcsA=sinB+sinCcsB+csC,
所以sin Acs B+sin Acs C=cs Asin B+cs Asin C,
sin Acs B-cs Asin B=cs Asin C-sin Acs C,
所以sin(A-B)=sin(C-A),
因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,
即2A=B+C,所以A=π3.
(1)△ABC还同时满足条件①③④,理由如下:
若△ABC同时满足条件①②,则由正弦定理,得sin B=bsinAa=537>1,这不可能,所以△ABC不能同时满足条件①②,所以△ABC同时满足条件③④.
因为△ABC的面积S=12bcsin A=12×b×8×32=103,
所以b=5,与②矛盾,所以△ABC同时满足条件①③④.
(2)在△ABC中,由正弦定理,得bsinB=csinC=asinA=23,因为C=2π3-B,
所以b=23sin B,c=23sin2π3-B,
所以L=a+b+c=23[sin B+sin(2π3-B)]+3=6(32sin B+12cs B)+3=6sinB+π6+3.
因为B∈0,2π3,所以B+π6∈π6,5π6,所以sin(B+π6)∈12,1,所以△ABC周长L的取值范围为(6,9].
三、探究创新
14.(多选)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若3a=2csin A,且0A.C=π3
B.若c=72,则cs B=17
C.若sin A=2cs Bsin C,则△ABC是等边三角形
D.若△ABC的面积是23,则该三角形外接圆的半径为4
答案:AC
解析:由正弦定理可将条件3a=2csin A转化为3sin A=2sin Csin A,因为sin A≠0,所以sin C=32,因为C∈0,π2,所以C=π3,故A正确;
若c=72,则由正弦定理可知csinC=bsinB,则sin B=bcsin C=472×32=437,因为B∈(0,π),b>c,所以cs B=±1-sin2B=±1-4849=±17,故B错误;
若sin A=2cs Bsin C,则根据正弦定理可得a=2ccs B,
因为3a=2csin A,即a=233csin A,即有233csin A=2ccs B,所以sin A=3cs B.
因为A+B=π-C=2π3,则A=2π3-B,所以sin(2π3-B)=3cs B,整理得32cs B+12sin B=3cs B,即12sin B=32cs B,解得tan B=3,故B=π3,则A=π3.
因为A=B=C=π3,所以△ABC是等边三角形,故C正确;
若△ABC的面积是23,即12absin C=23,解得a=2,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcs C=4+16-2×2×4×12=12,即c=23.
设△ABC的外接圆半径是R,由正弦定理可得2R=csinC=2332=4,则该三角形外接圆半径为2,故D错误.
15.(2022新高考Ⅰ,18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B.
(1)若C=2π3,求B;
(2)求a2+b2c2的最小值.
解:∵csA1+sinA=sin2B1+cs2B=2sinBcsB2cs2B,且cs B≠0,
∴由csA1+sinA=sinBcsB,得cs Acs B=sin B(1+sin A),
∴cs Acs B=sin B+sin Asin B,
∴sin B=cs Acs B-sin Asin B=cs(A+B)=cs(π-C)=-cs C>0.
∴sin B>0,cs C<0,∴π2∴sin B=sinC-π2,
∴B=C-π2或B+C-π2=π(舍去).
(1)若C=2π3,则0∴sin B=-cs C=-cs2π3=12.∴B=π6.
(2)(方法一)由正弦定理,得a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C.(*)
∵C=π2+B,A+B+C=π,
∴A+B+π2+B=π,∴A=π2-2B.
又0∴(*)式为sin2π2-2B+sin2Bsin2π2+B=cs22B+sin2Bcs2B=cs22B+1-cs2Bcs2B=(2cs2B-1)2+1-cs2Bcs2B.
令cs2B=t,则t∈12,1,
于是原式=(2t-1)2+1-tt=4t2-4t+1+1-tt=4t2-5t+2t=4t+2t-5≥24t·2t-5=42-5,
当且仅当4t=2t,12∴a2+b2c2的最小值为42-5.
(方法二)∵sin B=-cs C,B=C-π2,
∴A=π-(B+C)=3π2-2C.
又0∴sin A=sin(B+C)=sin2C-π2=-cs 2C,
∴a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=(-cs2C)2+(-csC)2sin2C=(1-2sin2C)2+(1-sin2C)sin2C=2+4sin4C-5sin2Csin2C
=2sin2C+4sin2C-5≥22sin2C·4sin2C-5=42-5,
当且仅当sin2C=22时,a2+b2c2有最小值42-5.
16.如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD, ,DC=2,在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.
①3AB=4BC,sin∠ACB=23;②tan(∠BAC+π6)=3;③2BCcs∠ACB=2AC-3AB.
(1)求∠DAC;
(2)求△ADC面积的最大值.
解:若选①:
(1)在△ABC中,由正弦定理,得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,
∵3AB=4BC,sin∠ACB=23,
∴sin∠BAC=12.
∵AB⊥AD,则0<∠BAC<π2,
∴∠BAC=π6,∴∠DAC=π3.
(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理,得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4,
则S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.
当且仅当AC=AD时取“=”.
故△ADC面积的最大值为3.
若选②:
(1)由tan∠BAC+π6=3,可得∠BAC=π6,
∵AB⊥AD,∴∠BAD=π2,∴∠DAC=π3.
(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理,得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4.
则S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3,
当且仅当AC=AD时取“=”.
故△ADC面积的最大值为3.
若选③:
(1)已知2BCcs∠ACB=2AC-3AB,由正弦定理,得2sin∠BACcs∠ACB=2sin∠ABC-3sin∠ACB,
则2sin∠BACcs∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-3sin∠ACB,得2sin∠BACcs∠ACB=2sin∠ACBcs∠BAC+2cs∠ACBsin∠BAC-3sin∠ACB,
即2sin∠ACBcs∠BAC=3sin∠ACB.
∵sin∠ACB>0,∴cs∠BAC=32.
∵∠BAC∈(0,π),∴∠BAC=π6.
又AB⊥AD,
∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ADC中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,即AC·AD≤4,
则S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3,当且仅当AC=AD时取“=”.
故△ADC面积的最大值为3.