2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练20三角函数的图象与性质Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练20三角函数的图象与性质Word版附解析，共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数是周期为π的奇函数的是( )
A.y=sin xcs xB.y=sin2x
C.y=tan 2xD.y=sin 2x+cs 2x
答案:A
解析:y=sin xcs x=12sin 2x是周期为π的奇函数;y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为π2;y=sin 2x+cs 2x为非奇非偶函数,故选A.
2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ6等于( )
A.2或0B.-2或2
C.0D.-2或0
答案:B
解析:由fπ6+x=fπ6-x知,函数图象关于直线x=π6对称,fπ6是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.
3.(2022新高考Ⅰ,6)记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3A.1B.32
C.52D.3
答案:A
解析:∵y=f(x)的图象关于点3π2,2中心对称,
∴b=2,且sin3π2ω+π4=0,
∴3π2ω+π4=kπ,k∈Z,解得ω=2k3−16,k∈Z.
∵T=2π|ω|,ω>0,2π3∴2π3<2πω<π,∴2<ω<3.
∴当k=4时,ω=52符合题意.
故f(x)=sin52x+π4+2.
∴fπ2=sin5π4+π4+2=1.故选A.
4.已知直线y=m(00)图象的相邻的三个交点依次为点A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω等于( )
A.π3B.π4C.π2D.π6
答案:A
解析:由题意,得函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x1=1+52=3,x2=5+72=6,故函数的周期为2×(6-3)=2πω,得ω=π3,故选A.
5.函数y=cs(x+1)的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是( )
A.π2+4B.π
C.2D.π2+1
答案:A
解析:因为y=cs(x+1)的周期是2π,最大值为1,最小值为-1,所以y=cs(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是π2+4,故选A.
6.(多选)若函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴的方程为x=π6,则φ可能的取值为( )
A.-π3B.-5π6C.2π3D.π6
答案:BD
解析:因为函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴方程为x=π6,所以2×π6+φ=π2+kπ(k∈Z),解得φ=π6+kπ(k∈Z),所以当k=0时,φ=π6;当k=1时,φ=7π6;当k=-1时,φ=-5π6.
7.已知曲线f(x)=sin 2x+3cs 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈0,π2,则x0等于( )
A.π12B.π6C.π3D.5π12
答案:C
解析:由题意可知f(x)=2sin2x+π3,其图象的对称中心为点(x0,0),故2x0+π3=kπ(k∈Z),即x0=-π6+kπ2(k∈Z).
又x0∈0,π2,故k=1,x0=π3,故选C.
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),相邻两个零点的差为-π2,且对任意x,f(x)≥f2π3恒成立,则下列结论正确的是( )
A.f(2)B.f(0)C.f(-2)D.f(2)答案:A
解析:因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),
相邻两个零点的差为-π2,所以函数f(x)的最小正周期T=π,所以ω=2.
因为对任意x,f(x)≥f2π3恒成立,所以Asin2×2π3+φ=-A,即φ=2kπ+π6,k∈N,
所以f(x)=Asin2x+2kπ+π6=Asin2x+π6,k∈N.
故f(-2)=Asin-4+π6=Asin(π6-4+2π)>0,
f(2)=Asin4+π6<0,f(0)=Asinπ6=Asin5π6>0,
由于3π2>π6-4+2π>5π6>π2,而正弦函数在区间π2,3π2内单调递减,故f(2)9.已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则fπ6= .
答案:12
解析:因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,所以φ=π2+kπ,k∈Z,而0<φ<π,故取k=0,得φ=π2,则f(x)=sin2x+π2=cs 2x,所以fπ6=csπ3=12.
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为4π,且fπ3=1,则f(x)图象的对称中心是 .
答案:2kπ-2π3,0(k∈Z)
解析:由题意得2πω=4π,解得ω=12,故f(x)=sin12x+φ.
由fπ3=1,可得12×π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),由|φ|<π2,可得φ=π3,
故f(x)=sin12x+π3.
由12x+π3=kπ(k∈Z),可得x=2kπ-2π3(k∈Z).
故f(x)图象的对称中心为点(2kπ-2π3,0)(k∈Z).
11.(2023新高考Ⅰ,15)已知函数f(x)=cs ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是 .
答案:[2,3)
解析:由题意可知,要使函数f(x)=cs ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cs ωx(ω>0)的图象在区间[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cs ωx(ω>0)的最小正周期为T,画出函数y=cs ωx(ω>0)的大致图象,如图.
要满足题意,需要2T≤2π<3T,即2π3解得2≤ω<3.
二、综合应用
12.若函数f(x)=cs(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,且-π2<φ<π2,则函数y=f(x+π3)为( )
A.奇函数,且在区间0,π4内单调递增
B.偶函数,且在区间0,π2内单调递增
C.偶函数,且在区间0,π2内单调递减
D.奇函数,且在区间0,π4内单调递减
答案:D
解析:因为函数f(x)=cs(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,所以13π6+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-13π6(k∈Z).
又-π2<φ<π2,则φ=-π6,于是y=fx+π3=cs[2(x+π3)-π6]=cs2x+π2=-sin 2x,所以该函数为奇函数,且在区间0,π4内单调递减,故选D.
13.(多选)定义在R上的函数f(x)=sin(2x+φ)-π2<φ<π2,则f(x)在区间-π6,0内单调递增的充分条件可以是( )
A.φ=π6
B.f(x)的图象关于直线x=π12对称
C.f(x)的图象关于点π3,0对称
D.f(x)的图象关于直线x=5π12对称
答案:ABC
解析:对于A,当φ=π6时,f(x)=sin2x+π6,
由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z,
因为-π6,0⫋-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z,所以f(x)在区间-π6,0内单调递增,故A正确;
对于B,由f(x)的图象关于直线x=π12对称,得2×π12+φ=π2+kπ,k∈Z,
所以φ=π3+kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=π3,得f(x)=sin2x+π3,
由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-5π12+kπ,π12+kπ],k∈Z,
因为-π6,0⫋-5π12+kπ,π12+kπ,k∈Z,所以f(x)在区间-π6,0内单调递增,故B正确;
对于C,由f(x)的图象关于点π3,0对称,得2×π3+φ=kπ,k∈Z,
所以φ=-2π3+kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=π3,得f(x)=sin2x+π3,
由B知f(x)在区间-π6,0内单调递增,故C正确;
对于D,由f(x)的图象关于直线x=5π12对称,得2×5π12+φ=π2+kπ,k∈Z,
所以φ=-π3+kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=-π3,得f(x)=sin2x-π3,
由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为-π12+kπ,5π12+kπ,k∈Z,
因为-π6,0不是-π12+kπ,5π12+kπ(k∈Z)的子集,
所以f(x)在区间-π6,0内不单调递增,故D错误.
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,直线x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在区间π18,5π36内单调,则ω的最大值为( )

A.11B.9C.7D.5
答案:B
解析:由题意得-π4ω+φ=k1π,k1∈Z,π4ω+φ=k2π+π2,k2∈Z,
解得φ=k1+k22π+π4,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.
∵|φ|≤π2,∴φ=π4或φ=-π4.
∵f(x)在区间π18,5π36内单调,
∴5π36−π18≤T2(T为周期),T≥π6,即2πω≥π6,ω≤12.
∵ω>0,∴0<ω≤12.
若φ=π4,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9,若ω=9,则f(x)=sin9x+π4在区间π18,5π36内单调递减,符合题意;
若φ=-π4,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11,
若ω=11,则f(x)=sin11x-π4在区间π18,3π44内单调递增,在区间3π44,5π36内单调递减,不符合题意.
综上,ω的最大值为9.
15.已知函数f(x)=3sinωx-π6(ω>0)和g(x)=3cs(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈0,π2,则f(x)的取值范围是 .
答案:-32,3
解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin2x-π6.
当x∈0,π2时,-π6≤2x-π6≤5π6,解得-12≤sin(2x-π6)≤1,故f(x)∈-32,3.
三、探究创新
16.已知函数f(x)=sin2x+π6,其中x∈[-π6,a].当a=π3时,f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是-12,1,则a的取值范围是 .
答案:-12,1 π6,π2
解析:若-π6≤x≤π3,则-π6≤2x+π6≤5π6,此时-12≤sin2x+π6≤1,即f(x)的值域是[-12,1].若-π6≤x≤a,则-π6≤2x+π6≤2a+π6.
因为当2x+π6=-π6或2x+π6=7π6时,sin2x+π6=-12,所以要使f(x)的值域是-12,1,则π2≤2a+π6≤7π6,即π3≤2a≤π,所以π6≤a≤π2,即a的取值范围是π6,π2.
17.设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π12<φ<π2),给出以下四个论断:
①f(x)的最小正周期为π;
②f(x)在区间(-π6,0)内单调递增;
③f(x)的图象关于点(π3,0)对称;
④f(x)的图象关于直线x=π12对称.
以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出一个真命题(写成“p⇒q”的形式) .(用到的论断都用序号表示)
答案:①④⇒②③或①③⇒②④
解析:若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ).
同时若f(x)的图象关于直线x=π12对称,则sin(2×π12+φ)=±1.
∵-π12<φ<π2,∴2×π12+φ=π2,∴φ=π3,此时f(x)=sin(2x+π3),②③成立,故①④⇒②③.
若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2x+φ),同时若f(x)的图象关于点(π3,0)对称,
则2×π3+φ=kπ(k∈Z).
∵-π12<φ<π2,∴φ=π3,此时f(x)=sin(2x+π3),②④成立,故①③⇒②④.