2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练16利用导数研究函数的极值、最值Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练16利用导数研究函数的极值、最值Word版附解析，共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n等于( )
A.0B.2
C.-4D.-2
答案:B
解析:f'(x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,
所以x1=m,x2=n为3x2-6x+1=0的两根.
由根与系数的关系,可知m+n=-(-6)3=2.
2.若x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,则( )
A.f(x)有极大值-1
B.f(x)有极小值-1
C.f(x)有极大值0
D.f(x)有极小值0
答案:A
解析:f'(x)=a+1x(x>0).
∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,
∴f'(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1.
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当00,f(x)单调递增.
因此当x=1时,f(x)有极大值-1.
3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为( )
A.-1B.1-e
C.-eD.0
答案:A
解析:f'(x)=1x-1=1-xx,令f'(x)>0,得04.若a∈R,则“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)内有极值”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由题意,函数f(x)=(x-a)ex,则f'(x)=(x-a+1)ex.
令f'(x)=0,可得x=a-1,
当xa-1时,f'(x)>0,
所以函数y=f(x)在x=a-1处取得极小值.
若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有极值,则a-1>0,解得a>1.
因此“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)上有极值”的充分不必要条件.
5.已知函数f(x)=13x3-4x+a在区间[0,3]上的最大值为2,则a的值为( )
A.-103B.2C.5D.223
答案:B
解析:f'(x)=x2-4.令f'(x)>0,解得x>2或x<-2,
令f'(x)<0,解得-2故f(x)在区间[0,2)内单调递减,在区间(2,3]内单调递增,故f(x)的最大值是f(0)或f(3),
而f(0)=a>f(3)=a-3,故f(0)=a=2.
6.(多选)(2023新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=aln x+bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值,则( )
A.bc>0B.ab>0
C.b2+8ac>0D.ac<0
答案:BCD
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax−bx2−2cx3=ax2-bx-2cx3.
因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设这两个正实数根为x1,x2,所以Δ=b2+8ac>0,x1+x2=ba>0,x1x2=-2ca>0,
所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,
所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD.
7.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a>0,b∈R)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是( )
A.ln a>b-1
B.ln aC.ln a=b-1
D.以上都不对
答案:B
解析:f'(x)=3ax2-b-1x,∵x=1是函数f(x)的极值点,
∴f'(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.
令g(a)=ln a-(b-1)=ln a-3a+2(a>0),则g'(a)=1a-3=1-3aa,
即g(a)在区间0,13内单调递增,在区间13,+∞内单调递减,
故g(a)max=g13=1-ln 3<0.故ln a8.写出一个存在极值的奇函数 .
答案:f(x)=sin x(答案不唯一,满足条件即可)
解析:根据题意,函数可以为f(x)=sin x,
当x=π2+2kπ,k∈Z时,f(x)=sin x取得极大值,当x=-π2+2kπ,k∈Z时,f(x)=sin x取得极小值.又f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),所以函数f(x)=sin x是奇函数.
9.若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处有极小值,则a= .
答案:2
解析:由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,可知f'(x)=3x2-4ax+a2.
依题意可得f'(2)=3×22-4a×2+a2=0,解得a=2或a=6.当a=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12).
由f'(x)=3(x2-8x+12)>0,可得x<2或x>6;由f'(x)=3(x2-8x+12)<0,可得2故f(x)在x=2处取得极大值,不合题意.故a=2.
10.已知a,b∈R,函数f(x)=13x3+ax2+bx在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减.
(1)若a=-2,求b的值;
(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最小值(用b表示).
解:(1)∵函数f(x)=13x3+ax2+bx,
∴f'(x)=x2+2ax+b.
∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,
∴f'(1)=1+2a+b=0.
∵a=-2,∴b=3.
(2)由(1)知f'(1)=1+2a+b=0,即2a=-b-1.
则f(x)=13x3-b+12x2+bx.
即f'(x)=x2-(b+1)x+b=(x-b)(x-1).
当b≤1时,f'(x)=(x-b)(x-1)>0在区间(1,+∞)内恒成立,
此时,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,与题意不符.
当b>1时,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
由函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,得b≥2.
当2≤b<4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(b)=-16b3+12b2;
当b≥4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(4)=403-4b.
综上,当2≤b<4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为-16b3+12b2;
当b≥4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为40-12b3.
二、综合应用
11.(多选)如图,函数f(x)=2x2+1x的图象称为牛顿三叉戟曲线,则( )
A.f(x)的极小值点为12
B.当x>0时,|f(-x)|C.过原点且与曲线y=f(x)相切的直线仅有2条
D.若f(x1)=f(x2),x1<0答案:BD
解析:由函数f(x)=2x2+1x知,x∈R,且x≠0,求导得f'(x)=4x-1x2=4x3-1x2,
对于A选项,当x<0时,f'(x)<0,当0322时,f'(x)>0,则f(x)的极小值点为322,A不正确;
对于B选项,当x>0时,f(-x)=2x2-1x,若2x2≥1x,则|f(-x)|=2x2-1x<2x2+1x=f(x),
若2x2<1x,则|f(-x)|=1x-2x2<2x2+1x=f(x),即x>0时,恒有|f(-x)|对于C选项,设切点坐标为x0,2x02+1x0,则切线斜率为f'(x0)=4x0-1x02,切线方程为y-2x02+1x0=4x0-1x02(x-x0),而切线过原点,则有-2x02+1x0=4x0-1x02(-x0),
解得x0=1,即过原点且与曲线y=f(x)相切的直线有一条,C不正确;
对于D选项,当x1<0(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=14(x1x2)2-4x1x2,令t=x1x2<0,则g(t)=14t2-4t,
g'(t)=-12t3-4=-121t3+8,当-120,当t<-12时,g'(t)<0,
函数g(t)=14t2-4t在区间-12,0上单调递增,在区间-∞,-12上单调递减,当t=-12时,g(t)min=3,
即(x2-x1)2有最小值3,x2-x1的最小为3,D正确.
12.已知函数f(x)=x2ex在区间(k,k+1.5)内存在极值点,则整数k的值为( )
A.-3,0B.-2,1
C.-3,-1D.-2,0
答案:C
解析:由f(x)=x2ex,可得f'(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x).
当x∈(-∞,-2)和(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,
则f(x)在区间(-∞,-2)和(0,+∞)内单调递增,在区间(-2,0)内单调递减.
若f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,
则k+1.5≤-2或k≥0或-2≤k即k∈(-∞,-3.5]∪[-2,-1.5]∪[0,+∞)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,
得k∈(-3.5,-2)∪(-1.5,0)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内存在极值点.
由k是整数,得k=-3或k=-1.
13.已知函数f(x)=(xex-m)x-2ex(x∈R).若m=0,则f(x)的极大值点为 ;若f(x)有3个极值点,则实数m的取值范围是 .
答案:-1-3 (0,6e-4)
解析:当m=0时,f(x)=(x2-2)ex,f'(x)=(x2+2x-2)ex.
令f'(x)=0,
解得x1=-1-3,x2=-1+3.
即f(x)在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递增,
在区间(x1,x2)内单调递减,
故f(x)的极大值点为-1-3.
f(x)=(x2-2)ex-mx,f'(x)=(x2+2x-2)ex-m,
令f'(x)=0,得m=(x2+2x-2)ex.
构造函数g(x)=(x2+2x-2)ex,
g'(x)=(x2+4x)ex=x(x+4)ex,
即g(x)在区间(-∞,-4),(0,+∞)内单调递增,在区间(-4,0)内单调递减,
则g(x)的极大值为g(-4)=6e-4,极小值为g(0)=-2.
因为当x<-4时,(x2+2x-2)ex>0,
所以由f(x)有3个极值点,可得0故实数m的取值范围是(0,6e-4).
14.已知函数f(x)=ax3-32x2+b(x∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值;
(2)若a>0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值.
解:(1)f'(x)=3ax2-3x.
由题意得f'(2)=6,f(2)=4,
解得a=1,b=2.
(2)f(x)=ax3-32x2+2(a>0).
f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).
令f'(x)=0,
解得x=0或x=1a.
分以下三种情况讨论:
①若1a>1,即0因为f(-1)=12-a,f(1)=a+12,
所以f(x)min=f(-1)=12-a.
②若0<1a<1,即a>1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
因为f(-1)=12-a,f1a=2-12a2,
f1a-f(-1)=2-12a2−12-a=32+a-12a2>0,
所以f(x)min=f(-1)=12-a.
③当a=1时,f(x)=x3-32x2+2,则f'(x)=3x2-3x=3x(x-1).
由f(x)在区间[-1,1]上的单调性,知求此区间的最小值只比较f(1),f(-1)的大小即可,f(1)=32,f(-1)=-12,
所以f(x)min=f(-1)=-12.
综上所述,f(x)min=f(-1)=12-a.
三、探究创新
15.已知函数f(x)=x2-1x+aln x(a∈R).
(1)当a=-3时,讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.
解:(1)当a=-3时,f(x)=x2-1x-3ln x(x>0),
f'(x)=2x+1x2−3x=2x3-3x+1x2=2x2(x-1)x-3-12x+3+12,
当3-121时,f'(x)>0.
即f(x)的单调递减区间是3-12,1,单调递增区间是0,3-12和(1,+∞).
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,
则需f'(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2(x>0)有两个不相等的正零点.
令g(x)=2x3+ax+1(x>0),故需g(x)有两个不相等的正零点,而g'(x)=6x2+a.
①当a≥0时,g'(x)>0,此时g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不可能有两个极值点.
②当a<0时,g'(x)=6x2+a=6x2--a6=6x+-a6x--a6,
当0当x>-a6时,g'(x)>0.
故g(x)在区间0,-a6内单调递减,在区间-a6,+∞内单调递增.
则需g(x)min=g-a6=2a3-a6+1<0,解得a<-3342.
由于a3<-272<-6,a3<-272<-154,
-1a<-a6<-3a,
而g-1a=-2a3>0,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+1>0,
故g(x)在区间0,-a6内和-a6,+∞内各有一个零点,
则g(x)有两个不相等的正零点,即f(x)有两个极值点.
综上所述,a的取值范围是-∞,-3342.x
(-∞,1)
1
(1,b)
b
(b,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
(-1,0)
0
(0,1)
f'(x)
+
0
-
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
x
(-1,0)
0
0,1a
1a
1a,1
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增