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数学：湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试试题（解析版）
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这是一份数学：湖南省常德市沅澧共同体2023-2024学年高二下学期期中考试试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则.
故选：C.
2. 等差数列的首项为2，公差不为0，若成等比数列，则前3项的和为（ ）
A. B. C. 18D. 6
【答案】A
【解析】等差数列中，根据题意，，
即，
解出（舍去），，，
所以数列前3项的和为：
.
故选：A.
3. 若函数是定义在上奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
显然时，满足；
因为在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
当时，不等式等价于，
因为在上单调递增，所以；
当时，不等式等价于，
因为在上单调递增，所以；
综上可知不等式的的取值范围是.
故选：B
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
则.
故选：D
5. 在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正四面体底面的中心记为点，连接，.
由正四面体的性质可得：面.
因为正四面体棱长为2，
所以底面三角形的高为，
则，
所以正四面体的高.
设正四面体内切球的半径为，球心为.
由等体积法可得：，
即，解得：.
所以正四面体的内切球表面积为.
故选：B.
6. 已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A. 9B. 2C. D. 8
【答案】C
【解析】依题意设，，
由，所以，则，
又，且，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则①，
令，则②，
②减①可得：.
故选：A.
8. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过4次而接通电话的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】第一次接通电话的概率为，第二次接通电话的概率为，
第三次接通电话的概率为，
第四次接通电话的概率为，
所以拨号不超过三次就接通电话的概率为.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “长沙沙水水无沙，常德德山山有德”2024年3月国家主席习近平走进湖南长沙和常德两个城市，感受了常德和长沙两地的好风光.从气象意义上从冬季进入春季的标志为：“连续5天日平均温度不低于18”.现有常德和长沙两地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位）满足以下条件：
常德：5个数据中位数是20，众数是18；
长沙：5个数据有1个27，平均数是21，方差是10.2.
则下列说法正确的是（ ）
A. 进入春季的地区有2个B. 长沙地区肯定进入了春季
C. 两地肯定还未进入春季D. 不能肯定常德地区进入了春季
【答案】AB
【解析】常德：5个数据的中位数是20，众数是18，
则5个数据中必有2个18，1个20，设剩余的两个数为，
则将5个数据从小到大排列为，
显然满足连续5天日平均温度不低于18，故常德地区进入春季；
长沙：5个数据有1个27，平均数是21，方差是10.2.
设5个数据依次为，
则且，
即，，
由于数据都是正整数，若中有数据小于等于时，
此时，不合要求，
故中数据均大于等于，显然满足连续5天日平均温度不低于18，
故长沙地区进入春季，故AB正确，CD错误.
故选：AB
10. 已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（ ）
A. 当实数变化时，直线恒过定点
B. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为
C. 当时，圆关于直线对称
D. 当时，直线与圆没有公共点
【答案】AD
【解析】A选项，变形为，
，解得，
故当实数变化时，直线恒过定点，A正确；
B选项，当直线与直线平行时，，
故直线，
故两条直线的距离为，B错误；
C选项，当时，直线，
，故圆心为，
其中，故圆心不在上，
故圆不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，
圆心到直线的距离，
的半径为，
由于，故直线与圆没有公共点，D正确.
故选：AD
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 只有一个零点
B. 在处取得极大值为
C.
D. 若在区间上恒成立，则
【答案】ABD
【解析】对于选项A：令，解得，
可知只有一个零点，故A正确；
对于选项B：由题意可知：的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
可知函数在处取得极大值也是最大值，故B正确；
对于选项C：因为函数在上单调递减，
且，
由，可得，故C错误；
对于选项D：若，则，
原题意等价于在内恒成立，则，
设，定义域为，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
可知的最大值为，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______________.
【答案】
【解析】因为，所以，
，，
曲线在点处的切线斜率为，
又因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以.故答案为：.
13. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则__________．
【答案】7
【解析】因为是关于的二次方程一个虚根，
所以，
即，可得，
解得，
则.
故答案为：7.
14. 设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为_____________．
【答案】
【解析】抛物线C：的焦点为，
则过焦点且斜率为的直线方程为：，
联立，消去可得：，,
设A、B两点的坐标分别为，
则，
由抛物线的性质可得：，
代入化简可得：，解得：.
则抛物线C的方程为:.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中已知.
（1）求；
（2）若面积为，求的最小值.
解：（1）因为，
由正弦定理的边角互化可得，而，
即，即，所以，，
即，则，.
（2）由（1）可知，则，
因为面积为，即，所以，
则，即，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
16. 近些年来，由于手机与电脑的影响，学生视力问题逐渐突出.习近平总书记作出重要指示，呵护好孩子的眼睛就是呵护孩子的未来.为了落实这一指示，某学校调查了学生的视力情况，随机抽取了200名学生，男生80人，女生120人，记录了他们的视力情况，结果如下表：
（1）是否有90％的把握认为近视与性别有关(结果精确到0.001)；
（2）从120名女生中按是否近视，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取4人做进一步调查，记抽到一名近视的得分，抽到一名不近视的得1分，设随机变量X表示抽取的4名学生的总得分，试求X的分布列与数学期望.
附：独立性验临界值表
公式，其中．
解：（1）补全列联表如下：
据列联表中的数据可得
，
根据临界值表可知，没有的把握认为近视与性别有关.
（2）由分层抽样可知，抽取的12人中，近视的有人，不近视的有人，
所以的可能取值为，则
，，
，，，
所以的分布列如下：
于是.
17. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．
（1）求证：直线平面；
（2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值.
解：（1）∵为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴,
∵四边形为矩形，平面，∴平面，
又平面，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）以C为坐标原点，所在直线分别为x，y轴，过点C且与平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值.
18. 已知双曲线过点，且离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，双曲线的离心率为，可得，
设，则，所以，
所以双曲线的方程可化为，
因为点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设，假设存在点，
易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为，
联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理，
得，
则，
且，
因为
，
所以当，即时，或
，
故存在定点，使直线与的斜率之积为定值．
19. 如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”.
（1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）已知数列“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
解：（1）设成公比为的等比数列，显然，
则有，
得，解得，由，
得，解得，
所以数列或为所求6阶“归化数列”；
（2）设等差数列的公差为，由，
所以，所以，即，
当时，与归化数列的条件相矛盾，当时，则，
所以，即，
所以，
当时，由，
所以，即，
所以，
故或；
（3）不能，理由如下：
记中所有非负项之和为，负项之和为，
因为数列为“阶可控摇摆数列”，则，得，
故，所以，
若存在，使得，即，
则，
且，
假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为，
则，
因为，所以，
所以；
又，则，
所以；
即与不能同时成立.
故数列不为“阶可控摇摆数列”.
近视
不近视
男生
50
30
女生
70
50
P
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
近视
不近视
合计
男生
50
30
80
女生
70
50
120
合计
120
80
200
0
2
4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则.
故选：C.
2. 等差数列的首项为2，公差不为0，若成等比数列，则前3项的和为（ ）
A. B. C. 18D. 6
【答案】A
【解析】等差数列中，根据题意，，
即，
解出（舍去），，，
所以数列前3项的和为：
.
故选：A.
3. 若函数是定义在上奇函数，且在上单调递增，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
显然时，满足；
因为在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
当时，不等式等价于，
因为在上单调递增，所以；
当时，不等式等价于，
因为在上单调递增，所以；
综上可知不等式的的取值范围是.
故选：B
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
则.
故选：D
5. 在棱长为2正四面体中，正四面体的内切球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正四面体底面的中心记为点，连接，.
由正四面体的性质可得：面.
因为正四面体棱长为2，
所以底面三角形的高为，
则，
所以正四面体的高.
设正四面体内切球的半径为，球心为.
由等体积法可得：，
即，解得：.
所以正四面体的内切球表面积为.
故选：B.
6. 已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A. 9B. 2C. D. 8
【答案】C
【解析】依题意设，，
由，所以，则，
又，且，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为.
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则①，
令，则②，
②减①可得：.
故选：A.
8. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过4次而接通电话的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】第一次接通电话的概率为，第二次接通电话的概率为，
第三次接通电话的概率为，
第四次接通电话的概率为，
所以拨号不超过三次就接通电话的概率为.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “长沙沙水水无沙，常德德山山有德”2024年3月国家主席习近平走进湖南长沙和常德两个城市，感受了常德和长沙两地的好风光.从气象意义上从冬季进入春季的标志为：“连续5天日平均温度不低于18”.现有常德和长沙两地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位）满足以下条件：
常德：5个数据中位数是20，众数是18；
长沙：5个数据有1个27，平均数是21，方差是10.2.
则下列说法正确的是（ ）
A. 进入春季的地区有2个B. 长沙地区肯定进入了春季
C. 两地肯定还未进入春季D. 不能肯定常德地区进入了春季
【答案】AB
【解析】常德：5个数据的中位数是20，众数是18，
则5个数据中必有2个18，1个20，设剩余的两个数为，
则将5个数据从小到大排列为，
显然满足连续5天日平均温度不低于18，故常德地区进入春季；
长沙：5个数据有1个27，平均数是21，方差是10.2.
设5个数据依次为，
则且，
即，，
由于数据都是正整数，若中有数据小于等于时，
此时，不合要求，
故中数据均大于等于，显然满足连续5天日平均温度不低于18，
故长沙地区进入春季，故AB正确，CD错误.
故选：AB
10. 已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（ ）
A. 当实数变化时，直线恒过定点
B. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为
C. 当时，圆关于直线对称
D. 当时，直线与圆没有公共点
【答案】AD
【解析】A选项，变形为，
，解得，
故当实数变化时，直线恒过定点，A正确；
B选项，当直线与直线平行时，，
故直线，
故两条直线的距离为，B错误；
C选项，当时，直线，
，故圆心为，
其中，故圆心不在上，
故圆不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，
圆心到直线的距离，
的半径为，
由于，故直线与圆没有公共点，D正确.
故选：AD
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 只有一个零点
B. 在处取得极大值为
C.
D. 若在区间上恒成立，则
【答案】ABD
【解析】对于选项A：令，解得，
可知只有一个零点，故A正确；
对于选项B：由题意可知：的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
可知函数在处取得极大值也是最大值，故B正确；
对于选项C：因为函数在上单调递减，
且，
由，可得，故C错误；
对于选项D：若，则，
原题意等价于在内恒成立，则，
设，定义域为，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
可知的最大值为，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______________.
【答案】
【解析】因为，所以，
，，
曲线在点处的切线斜率为，
又因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以.故答案为：.
13. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程一个虚根，则__________．
【答案】7
【解析】因为是关于的二次方程一个虚根，
所以，
即，可得，
解得，
则.
故答案为：7.
14. 设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为_____________．
【答案】
【解析】抛物线C：的焦点为，
则过焦点且斜率为的直线方程为：，
联立，消去可得：，,
设A、B两点的坐标分别为，
则，
由抛物线的性质可得：，
代入化简可得：，解得：.
则抛物线C的方程为:.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中已知.
（1）求；
（2）若面积为，求的最小值.
解：（1）因为，
由正弦定理的边角互化可得，而，
即，即，所以，，
即，则，.
（2）由（1）可知，则，
因为面积为，即，所以，
则，即，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
16. 近些年来，由于手机与电脑的影响，学生视力问题逐渐突出.习近平总书记作出重要指示，呵护好孩子的眼睛就是呵护孩子的未来.为了落实这一指示，某学校调查了学生的视力情况，随机抽取了200名学生，男生80人，女生120人，记录了他们的视力情况，结果如下表：
（1）是否有90％的把握认为近视与性别有关(结果精确到0.001)；
（2）从120名女生中按是否近视，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取4人做进一步调查，记抽到一名近视的得分，抽到一名不近视的得1分，设随机变量X表示抽取的4名学生的总得分，试求X的分布列与数学期望.
附：独立性验临界值表
公式，其中．
解：（1）补全列联表如下：
据列联表中的数据可得
，
根据临界值表可知，没有的把握认为近视与性别有关.
（2）由分层抽样可知，抽取的12人中，近视的有人，不近视的有人，
所以的可能取值为，则
，，
，，，
所以的分布列如下：
于是.
17. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．
（1）求证：直线平面；
（2）若，，，求平面和平面夹角的余弦值.
解：（1）∵为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴,
∵四边形为矩形，平面，∴平面，
又平面，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）以C为坐标原点，所在直线分别为x，y轴，过点C且与平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值.
18. 已知双曲线过点，且离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，双曲线的离心率为，可得，
设，则，所以，
所以双曲线的方程可化为，
因为点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设，假设存在点，
易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为，
联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理，
得，
则，
且，
因为
，
所以当，即时，或
，
故存在定点，使直线与的斜率之积为定值．
19. 如果数列满足：且，则称数列为阶“归化数列”．若数列还满足：数列项数有限为；则称数列为“阶可控摇摆数列”.
（1）若某6阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某13阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）已知数列“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
解：（1）设成公比为的等比数列，显然，
则有，
得，解得，由，
得，解得，
所以数列或为所求6阶“归化数列”；
（2）设等差数列的公差为，由，
所以，所以，即，
当时，与归化数列的条件相矛盾，当时，则，
所以，即，
所以，
当时，由，
所以，即，
所以，
故或；
（3）不能，理由如下：
记中所有非负项之和为，负项之和为，
因为数列为“阶可控摇摆数列”，则，得，
故，所以，
若存在，使得，即，
则，
且，
假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为，
则，
因为，所以，
所以；
又，则，
所以；
即与不能同时成立.
故数列不为“阶可控摇摆数列”.
近视
不近视
男生
50
30
女生
70
50
P
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
近视
不近视
合计
男生
50
30
80
女生
70
50
120
合计
120
80
200
0
2
4
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