数学：四川省达州市达川区2024年九年级教育质量监测(中考适应性)试题（解析版）

这是一份数学：四川省达州市达川区2024年九年级教育质量监测(中考适应性)试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题4分，共40分）
1. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】这个几何体的俯视图为：

故选C．
2. 这四个数中，最大的数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】，
，
即在这四个数中，最大的数是．
故选：C．
3. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：
解得
即蜡烛火焰的高度是.
故选:A.
4. 已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】①∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据作图可知，垂直平分，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，∴四边形为菱形，故①符合题意；
②根据作图可知，平分，但不能判定四边形为菱形，故②不符合题意；
③根据作图可知，，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故③符合题意；
④根据作图可知，不一定垂直平分，四边形不一定为菱形，故④不符合题意；
综上分析可知，正确的只有2个，故B正确．
故选：B．
5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：

故选：D．
6. 如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过作交延长线于，
，，，
，
，，
，
，
故选：．
7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设菱形的两条对角线长分别为，则，
∴，
∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴菱形的边长，
故选：．
8. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 同旁内角互补，两直线平行B. 若，那么
C. 若，则D. 等边三角形的三个内角都相等
【答案】B
【解析】A. 逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
B. 若那么，或，是假命题；
C. 若，则，真命题；
D. 三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题；
故选B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，等边，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴
∵每次旋转
∴每6次旋转
因为 余,
∴点在射线上，
因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的倍,
所以第次旋转所得三角形的边长为，
过点作轴于点H，
∴，
，
故点的坐标为
故选:D.
10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】由图象可知，，，，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，
∴，故正确；
∵点是图象上任意两点，且，
∴点离对称轴近，点离对称轴远，
∵，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴抛物线为轴的另一个交点为，
∵，
∴方程的所有整数根为，
∴所有整数根的绝对值的和为，故错误；
∴正确的结论有，共个，
故选：．
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题：把最后答案直接填在题中的横线上（本题5小题，每小题4分，共20分）
11. 函数中，自变量的取值范围是________．
【答案】x≤2且x≠－3．
【解析】根据题意得：2－x≥0且x+3≠0，
解得：x≤2且x≠－3，
故答案为：x≤2且x≠－3．
12. 在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】140万用科学记数法表示为．
13. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得___________．
【答案】
【解析】由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，已知，以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在反比例函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移d个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，d的值为_______．
【答案】
【解析】如图，过点作轴,交轴于点,过作轴, 过点作于点,
∵,
，
∵四边形为正方形，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
∴，
把坐标代入反比例函数解析式得：
∴反比例函数解析式为
同理可证
，
∴,
把代入反比例函数解析式，解得：
即的坐标为，
则将正方形沿轴负方向平移个单位长度，使点恰好落在函数的图象上的点处,
∴
故答案为:．
15. 如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为_______．
【答案】
【解析】如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，，
∴，，∴，
在和中，，
∴，∴，
∵矩形中，，
∴，，
∴，
∵当时，有最小值，
∴，∴，
∵，，∴，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴当线段的长度最小时，的面积为．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（90分）
16. （1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
解：(1)(﹣)﹣2﹣(π﹣3)0+|﹣2|+2sin60°
＝＝＝5；
(2) ＝
＝＝＝
＝,
当x＝﹣1时,原式＝．
17. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了_______名学生；
②A组人数_______，扇形统计图中，圆心角_______度；
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
解：（1）①由图可知，（人），
②组人数为（人），
（人），
，
故答案为：①；②；；
（2）人，
答：该校参加D组（阅读）的学生人；
（3）由题意可画树状图如下：
共有12中等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．
18. 如图，在中，，点E在线段上，连结．
（1）用尺规完成以下基本作图，过点E作的垂线交于点F、交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若点F为线段的中点，证明：．
（1）解：如图, 为所作；
（2）证明：连接,
，点为线段的中点，
∴垂直平分,
，
，
∵四边形是平行四边形，
∴,
，
，
∴,
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形,
，
．
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移个单位长度得到，请画出；
（2）画出与关于点对称的；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度．
解：（1）根据图示可知，，，，向右平移个单位长度得，
∴，，，如图所示，连接点，
∴即为所求图形．
（2）∵中点，，，关于原点对称得，
∴，，，如图所示，连接，
∴即为所求图形．
（3）∵中，，，中点，，，如图所示，连接对应点，交于点，如图所示，
当绕点顺时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为；
当绕点逆时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为，∴，
∴点到点所经过的路径长．
20. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端到底盘的距离的长；
（2）求的长．
解：（1）在中，，．
，
，
即的长为米；
（2）在中，，，
，
，
，
，
，
（米），
即的长为米．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C，已知点的坐标分别为和．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
解：（1）∵直线过点.
∴,
∴,
∴一次函数的解析式为，
∵反比例函数的图象过点,
∴,
∴反比例函数解析式为；
（2）把代入, 得,
∴点B的坐标为,
观察图象，不等式 的解集为或；
（3）把代入得: ,
即点的坐标为:,
，
，
，
，
当点的纵坐标为时，则，解得，
当点的纵坐标为时, 则 解得
∴点的坐标为或
22. 某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
（1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
（2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
（3）因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
解：（1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：，
解得：（舍去）或，
经检验：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒，
由题意，得：，
解得：，
∴的最大整数解为：35，
设总利润为，则：，
∴当时，有最大值：；
故总利润的最大值为元．
（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，
由题意，得：，
解得：，
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴，
整理，得：，
∵均为正整数，
∴或，
∴或．
23. 如图，在中，，点D在边上，且是的外接圆，是的直径，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
（1）证明： ∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：作， 垂足为点，
，
，
，
，
，
即，
又，
∴，
，
，
，即，
，
，
，
，
．
24. 已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标．
解：（1）∵抛物线 与轴相交于点
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）在 当时, ，
∴,
∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
的周长等于，为定长,
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
，
，
∴当三点共线时, 的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为
当 时,，，
∴，
，；
（3）当点在点下方时：
过点作, 交抛物线于点, 则此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则: 解得：，
或；
②当点在点上方时：设与轴交于点,
，
设,

，
解得：
，
同理可得DE的解析式为 ，
联立
解得： 或
或 ；
综上：或一或或
25. 综合与实践，在中，为边的中点，以为顶点作．
（1）如图，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图中与相似的三角形有_______．（填序号）
；；；．
（2）如图，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：．
（3）在图中，若，当的面积等于的面积的时，求线段的长．
（1）解：∵为边的中点，
∴，，，
∴，
在和中，只有，故无法判断相似，不符合题意；
∵，，
∴，故符合题意；
∵，，
∴，故符合题意；
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，故符合题意；
∴图中与相似的三角形有，
故答案为：；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点作，，垂足分别为
∵，是中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴．