数学：四川省泸州市古蔺县金兰教育集团2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：四川省泸州市古蔺县金兰教育集团2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 若有意义，则x的取值范围是（ ）．
A. x＞﹣1B. x≥0C. x≥﹣1D. 任意实数
【答案】C
【解析】由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：C．
2. 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.，故此选项错误；
B.是最简二次根式，故此选项正确；
C.，故此选项错误；
D.，故此选项错误；
故选：B．
3. 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（ ）

A. 5米B. 6米C. 7米D. 8米
【答案】D
【解析】∵垂直于地面大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.与不能合并，故不符合题意；
B.，故符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （ ）
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】B
【解析】如图，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故选B．
6. 下列命题错误的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 矩形的四个内角都是直角
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，符合题意；
B.平行四边形的对角线互相平分，命题正确，不符合题意；
C.矩形的四个内角都是直角，命题正确，不符合题意；
D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意；
故选：A．
7. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过O的直线EF分别交AB,CD于点E,F,若图中阴影部分的面积为6,则矩形ABCD的面积为( )
A. 12B. 18C. 24D. 30
【答案】C
【解析】∵在矩形ABCD，
∴OA=OC，AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，∠CFE=∠AEF，
∴△CFO≌△AEO，即△CFO的面积等于△AEO的面积，
∵图中阴影部分面积为6，
∴△AOB的面积是6，
∴矩形ABCD的面积是4×6=24．
故选C．
8. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A选项．
∵∠A=∠B-∠C，
∴∠A+∠C=∠B．
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°．
∴∠B=90°．
∴△ABC为直角三角形．
故A选项不符合题意．
对于B选项．
∵∠A：∠B：∠C=1:2:3，
∴．
∴△ABC为直角三角形．
故B选项不符合题意．
对于C选项．
∵，
∴．
∴△ABC为直角三角形．
故C选项不符合题意．
对于D选项．
∵，
∴设，则，．
∵，
∴△ABC不是直角三角形．
故D选项不符合题意．
故选：D．
9. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ）
A. 1B. 2C. 1.5D. 2.5
【答案】A
【解析】∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB=90°，
∴，
∴EF=DE-DF=1，
故选A．
10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A. 9B. 6C. 4D. 3
【答案】D
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
或（舍去），
故选：D．
11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（ ）
A. B. 2C. 2D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
解得：x＝，
∴DE＝，
故选A．
12. 如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，取的中点M，连接，作于N．

∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
易知的最大值为的长，最小值为的长，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
故选：C．
二、填空题
13. 在中，，则______°．
【答案】130
【解析】如图，

在中，，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 若x，y为实数，且满足，则的值为_____．
【答案】1
【解析】，
，
解得，
，故答案为：1．
15. 矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则______．
【答案】
【解析】由翻折的性质可知，，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，
∴；
故答案为：．
16. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为_____．
【答案】16
【解析】∵点F是Rt△BDE的斜边上的中点，
∴DF=BF=EF=4，
根据矩形的性质可知AB=DC=x，BC=AD=y，
∴在Rt△CDF中，，即，
∴ ．
三、解答题
17. 计算：．
解：
18. 计算：．
解：原式
．
19. 如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：．

证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
∴≌，
．
20. 先化简，再求值：，其中．
解：原式=
=
=，
将代入得：原式===．
21. 在四边形ABCD中AB=CB=，CD=，DA=1且ABCB试求四边形ABCD的面积．
解：连接AC，
∵AB⊥CB于B，
∴∠B=90°，
在△ABC中，∵∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
又∵AB=CB=，
∴AC=2，
∵CD=，DA=1，
∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．
∴AC2+DA2=CD2，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC=AB×BC+DA×AC=．
22. 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC===5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
23. 年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．
（1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由．
（2）若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
解：（1）会受到台风的影响，理由：
如图，过点作，垂足为，
因在中，，，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以农场会受到台风的影响；
（2）如图，假设台风在线段上移动时，会对农场造成影响，
所以，，
由勾股定理，可得，
因为台风的速度是，
所以受台风影响的时间为，
答：台风影响该农场持续时间为．
24. 阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为、、，，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．完成下列问题：
（1）一个三角形边长依次为、、，利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是_____．
（2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，＝，＝，＝，求 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作于，设＝，用含的代数式表示，则＝____；
②请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；
③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
解：（1）∵三角形边长依次是、、，
∴ ，
∴ ；
（2）①，，
；
②，，，
，
，
解得：；
③由②得 ： ，
．
25. 如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？
解：（1），
，
解得: ,
∴,
∵,,
∴,
∴；
（2）由题意得: ,
则:，，
∵,
∴当时, 四边形是平行四边形,
∴,
解得: ,
故当时，四边形是平行四边形；
（3）∵是以为腰的等腰三角形,
∴分两种情况:或.
①当时, 如图, 过作于,
∵,
∴四边形是矩形,
∴
∴,
∴中:
∵,
，即
解得：
②当时, 过作轴于,
∴,
由题意得:,则,
解得：，
综上所述，当或 时, 是以为腰的等腰三角形；