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精品解析：北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
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2023.7
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 计算（ ）
A. B. C. D. 4
2. 已知，，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A B. C. D.
4. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（ ）
A. “都是白球”与“至少有一个白球”B. “恰有一个白球”与“都是红球”
C. “都是白球”与“都是红球”D. “至少有一个白球”与“都是红球”
5. 已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且a⊥，则“b⊥”是“a//b”的（ ）
A. 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
7. 已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数据、、、、的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则（ ）
A. B. C. D.
9. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（ ）
A. B. C. D.
10. 设为平面四边形所在平面内的一点，，，，．若且，则平面四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 梯形
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，复数对应的点为，则________．
12. 某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人．
13. 在中，，，，则________；________．
14. 把函数图象上的所有点向右平行移动个单位长度得到函数的图象，则的一个对称中心坐标为________．
15. 如图，在中，设，，的平分线和交于点，点在线段上，且满足，设，则______；当______时，.
16. 如图1，四棱锥是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过，其中、分别为棱、的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：
①没有水的部分始终呈棱锥形；
②有水的部分始终呈棱柱形；
③棱始终与水面所在平面平行；
④水的体积与四棱锥体积之比为.
其中所有正确结论的序号为________．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
18. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于的概率；
（3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
19. 在中，已知，．
（1）求证：；
（2）在①；②；③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值和的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）设棱与平面交于点，求的值．
21. 设，已知由自然数组成集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，设，令是，，…，中的最大值．
（1）若，，且，求，，及；
（2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
（3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
2023.7
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 计算（ ）
A. B. C. D. 4
2. 已知，，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A B. C. D.
4. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（ ）
A. “都是白球”与“至少有一个白球”B. “恰有一个白球”与“都是红球”
C. “都是白球”与“都是红球”D. “至少有一个白球”与“都是红球”
5. 已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且a⊥，则“b⊥”是“a//b”的（ ）
A. 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
7. 已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数据、、、、的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则（ ）
A. B. C. D.
9. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（ ）
A. B. C. D.
10. 设为平面四边形所在平面内的一点，，，，．若且，则平面四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 梯形
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，复数对应的点为，则________．
12. 某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人．
13. 在中，，，，则________；________．
14. 把函数图象上的所有点向右平行移动个单位长度得到函数的图象，则的一个对称中心坐标为________．
15. 如图，在中，设，，的平分线和交于点，点在线段上，且满足，设，则______；当______时，.
16. 如图1，四棱锥是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过，其中、分别为棱、的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：
①没有水的部分始终呈棱锥形；
②有水的部分始终呈棱柱形；
③棱始终与水面所在平面平行；
④水的体积与四棱锥体积之比为.
其中所有正确结论的序号为________．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
18. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于的概率；
（3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
19. 在中，已知，．
（1）求证：；
（2）在①；②；③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值和的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）设棱与平面交于点，求的值．
21. 设，已知由自然数组成集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，设，令是，，…，中的最大值．
（1）若，，且，求，，及；
（2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
（3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
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