吉林省桦甸市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

这是一份吉林省桦甸市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，即形如的函数，叫做正比例函数，根据定义逐项判断即可．
【详解】因为不符合正比例函数的形式，所以A不正确；
因为不符合正比例函数的形式，所以B不正确；
因为符合正比例函数的形式，所以C正确；
因为是一次函数，不是正比例函数，所以D不正确．
故选：C．
2. 自由下落物体下落的高度与下落的时间之间的关系为，在这个变化中，变量为（ ）
A. ，B. ，C. ，D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的定义，根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量进行分析．
【详解】解：在这个变化中，变量为、
故选A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的运算试卷源自 每日更新，会员下载免费且不限量。法则是解题的关键．
【详解】解：、和不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
4. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
5. 的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股逆定理以及三角形内角和性质，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、设，则
解得，则，故该选项是符合题意的；
B、因为，所以，解得，故该选项是不符合题意的；
C、设，则，即，所以是直角三角形，故该选项是不符合题意的；
D、因为，所以是直角三角形，该选项是不符合题意的；
故选：A
6. 如图，点O为正方形的对角线的中点，点E为线段上一点，连接，是以为底边的等腰三角形，若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，先根据正方形的性质得出是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质得出，然后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是正方形，O是的中点，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 平行四边形中，，则_______°
【答案】80
【解析】
【分析】利用平行四边形的对角相等，进而求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：80．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质：对角相等，是解题的关键．
8. 如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加的条件是______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：四边形是菱形，
当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形为正方形，
当或时，菱形为正方形，
故答案为：或．
9. 若是正比例函数，则m值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意的系数不等于0这个条件．根据的次数为1，系数不等于0，计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
故答案为：．
10. 若与最简二次根式可以合并，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
【详解】解∶，
与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
11. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为_____．

【答案】4
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD＝AC＝2OA，即可得到答案．
【详解】∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．
12. 如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，，则B、D两点间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，根据题意可证明四边形是菱形，则，再证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图所示，连接交于O，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则中间小正方形的边长是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，求出连个正方形的面积是解决问题的关键．由题意勾股定理求出大正方形的边长，即可得出大正方形的面积，再减去4个三角形面积即可得到小正方形面积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
依据勾股定理可知，大正方的边长，
∴大正方形的面积，
三角形的面积为，
小正方形的面积，
小正方形的边长．
故答案为：1．
14. 如图1，已知长方形，动点P沿长方形的边以B→C→D的路径运动，记的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 _______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题侧重考查用图象表示变量间关系、实际问题中的函数关系所表示的函数图象的题目，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点C处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案．
【详解】解：从图（2）看，，，
则当时，点P在点C处，
则．
故答案为：12．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算减法即可．
【详解】解；
．
16. 写出下列各问题中的函数关系式，并指出自自变量的取值范围．
（1）圆的周长C是半径r的函数；
（2）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）是所用时间t（小时）的函数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式：
（1）根据圆周长计算公式求解即可；
（2）根据路程速度时间进行求解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：．
17. 如图，在四边形中，，E上一点，且，，，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，先证明，得出，再由平行四边形的判定可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
18. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E．
（1）求证：；
（2）连接，直接写出的形状：___________．
【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等：
（1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得即可证明结论；
（2）由直角三角形的性质可得，且，可证明为等边三角形．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，

∵在中，，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
解：∵是的垂直平分线，
∴D为中点，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 已知正比例函数．
（1）为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
（2）为何值时，函数值随自变量的增大而减小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比例系数之间的关系，是解决问题的关键．
（1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有，求解就能确定k的范围；
（2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有，求解就能确定k的范围．
【小问1详解】
∵函数的图象经过一、三象限，
∴，
解得．
故当时，函数的图象经过一、三象限．
【小问2详解】
∵y随x的增大而减小，
∴，
解得．
故当时，y随x的增大而减小．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、、、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段为边画一个直角；
（2）在图②中以线段为边画一个面积为9的平行四边形；
（3）在图③中以线段为边画一个正方形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，正方形的判定：
（1）如图所示，取格点M，连接，，即为所求；
（2）如图所示，取格点N、P，连接，四边形即为所求；
（3）如图所示，取格点，连接 ，四边形即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，四边形即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，四边形即为所求．
21. 已知与成正比例，且当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若点在这个函数的图象上，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值：
（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【小问1详解】
解：设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
∴．
22. 如图，这是某推车的简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），按照设计要求需满足，请判断该推车是否符合设计要求，并说明理由．
【答案】该推车符合设计要求，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理．
首先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得即可得答案．
【详解】∵，，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴该推车符合设计要求．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当______°时，四边形是正方形；
（3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）45
（3）12
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到 ，再证明，继而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形．
（2）欲证明四边形BECF是正方形，因为第一问已经证明四边形BECF是菱形，所以只需
要证明其中一个角是直角，根据题目条件分析，可证明当∠A= 45°时，
∠EBF= 2∠CBA= 90°，即四边形BECF是正方形．
（3）在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，得出四边形ABFC为直角梯形，求出FC，AB，BF的长，再根据梯形的面积公式即可得四边形的面积．
【小问1详解】
证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形
又∵
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：当∠A = 45°时，四边形BECF是正方
形，证明如下：
∵∠A= 45°，∠ACB = 90°
∴∠CBA = 45°
∴∠EBF= 2∠CBA = 90°
∴菱形BECF是正方形．
所以，当∠A=45°时，四边形BECF是正方形．
【小问3详解】
解：在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，∠A=∠ECA=45°，
∴∠FBA=∠BFC=90°，
四边形ABFC为直角梯形，
又∵AC=4
∴AE=EC=
∵CE=CF=2 ，AB=BE+AE=2
∴
=
故四边形的面积为12．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质及判定以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形．
24. 问题呈现如图是李老师在一节课中的例题内容．
例：已知：如图，在中，、是对角线上的两点，并且．求证：．

证明：四边形是平行四边形，
（平行四边形的对边相等），（平行四边形的定义）．
．
又，
≌．
．
【结论应用】
如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，连接、，请判断四边形的形状，并证明；

【拓展提升】
如图，点是正方形对角线上的两点且，；、分别是、的中点；

（1）则四边形的形状为______ ；
（2）若正方形的面积为．则四边形的面积为______ ．
【答案】结论应用：平行四边形，证明见解析；拓展提升：（1）矩形；（2）
【解析】
【分析】结论应用：根据平行四边形的性质证明，可得，同理，可得，所以四边形是平行四边形，进而可得结论；
拓展提升：（1）如图，连接，交于点，根据正方形的性质得到，，得到，根据平行四边形的性质得到，推出▱是矩形，得到，根据全等三角形的性质得到，，得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形；
（2）根据正方形性质得到，求得，由勾股定理得到，根据，求得四边形的面积的面积．
【详解】解：结论应用四边形是平行四边形，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
同理，
，
四边形是平行四边形；
拓展提升（1）矩形，
理由：如图，连接，交于点，

四边形是正方形，
，，
、分别是和的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
▱是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形；
故答案为：矩形；
（2）正方形的面积为，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
四边形的面积的面积．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形判定与性质，矩形和平行四边形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握同高三角形面积的关系是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 小红星期日从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是小红离家的距离（米）与所用时间（分钟）的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）求小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了多少米？
（2）小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是______米/分钟；
（3）小红在骑车______分钟时，距离商店300米．
【答案】（1）1200米
（2）450 （3）1、3、6、
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，函数的常量与变量，解题的关键是熟练掌握函数的图象，函数的常量与变量的定义．
（1）根据题意以及图象可知，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个米；
（2）根据图象中数据用返回后去往的路程除以所用的时间即可；
（3）分开始去时、返回后时、再离开时，三种情况解答即可．
【小问1详解】
解：小红途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了：米；
【小问2详解】
解：（米分钟），
即小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是米分钟；
【小问3详解】
解：小红刚开始时的速度为：（米分钟），
当小红去舅舅家时，
（分钟）；
∴出发后1分钟时，距离商店300米，
（分钟），
∴出发后3分钟时，距离商店300米；
当小红返回商店时，
（分钟），
∴出发后6分钟时，距离商店300米；
当小红再次离开商店时，
（分钟），
∴出发后分钟时，距离商店300米．
26. 如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．
（1）当_______时，四边形BMNC为矩形；
（2）当时，求的值；
（3）当_____，在点、运动过程中，四边形能构成菱形．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，四边形BMNC为矩形，则，即可求解；
（2）分两种情况，①当四边形为等腰梯形时，过点作于点，过点作于点，求出，得，解得；②当四边形为平行四边形时，，即，解得：；
（3）由菱形的性质得，由（2）可知，当 时，，过点作于点，则，得，最后根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
由题意得：，，
则，
，，
当时，四边形BMNC为矩形，
，
，
故答案为：．
【小问2详解】
，
当时，分两种情况：
①当四边形为等腰梯形时，过点作于点，过点作于点，如图1，
则，，，
，
又，
，
解得：；
②当四边形为平行四边形时，
，
即，
解得：；
综上所述，当时，的值为或；
【小问3详解】
四边形是菱形，
，
由（2）可知，当时，或，
时，四边形为等腰梯形，不符合题意，
，
，
如图2，过点作于点，
则，，
，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形的综合题目，考查了等腰梯形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的判定与性质以及菱形的性质是解题的关键．