2023-2024学年山东省济宁市泗水县高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年山东省济宁市泗水县高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若Cn+16−Cn6=Cn7(n∈N*)，则n等于( )
A. 11B. 12C. 13D. 14
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′(π3)+sinx，则f′(π3)=( )
A. 32B. 12C. −12D. − 32
3.函数f(x)=exsinx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( )
A. π4B. 0C. 3π4D. 1
4.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)>0的解集为( )
A. (0,13)∪(2,+∞)B. (−∞,13)∪(13,2)C. (−∞,0)∪(13,2)D. (−1,0)∪(1,3)
5.“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A，B，C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为( )
A. 6种B. 12种C. 24种D. 30种
6.已知a=lg23，函数f(x)=ex+lnx−4的零点为b，g(x)=x3−12x2−x的极小值点为c，则( )
A. b>a>cB. a>b>cC. c>b>aD. b>c>a
7.定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a=b(mdm)，比如：26=16(md10).已知n=C100+C101⋅8+C102⋅82+⋅⋅⋅+C1010⋅810，满足n=p(md7)，则p可以是( )
A. 23B. 31C. 32D. 19
8.方程f(x)=f′(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”．如果函数g(x)=lnx+2的“新驻点”为a，那么a所在区间是( )
A. (0,12)B. (12,1)C. (1,32)D. (32,2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列各式正确的有( )
A. (1x)′=−1x2B. (csπ6)′=−12C. (2x)′=x⋅2x−1D. (ln2x)′=1x
10.已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是( )
A. 若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B. 若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C. 若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D. 若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
11.若不等式ax−exlna0f′(x)>0或x0，
则h(x)的零点即为g(x)的“新驻点”，
因为h′(x)=1x+1x2>0，即h(x)单调递增，
h(12)=ln120，
根据零点存在性定理知，h(x)的零点在(12,1)内，
所以g(x)的“新驻点”的所在区间是(12,1)，即a所在区间是(12,1).
故选：B.
9.【答案】AD
【解析】解：(1x)′=−1x2，故A正确；
(csπ6)′=0，故B错误；
(2x)′=2xln2，故C错误；
(ln2x)′=(ln2+lnx)′=1x，故D正确．
故选：AD.
结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A：甲不能排在最后，则甲有C41种排法，剩下乙、丙、丁、戊4个人全排有A44种排法，
所以排队方法有C41A44=96种，故A正确；
对于B：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有A32种排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有A33种排法；
则所有的排队方法有A32A33=36种，故B错误；
对于C：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余3人放在一起排队，
则共有A22A44=48种排队方法，故C正确；
对于D：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊3个人，有A33种排法，在形成的4个空中，再排甲乙，有A42种排队方法，
故共有A33A42=72种排队方法，故D错误．
故选：AC.
对于AB，先安排特殊的人甲或甲、乙、，再安排其它人即可；对于C，采用捆绑法，将甲和乙捆绑在一起，再和剩余3人放在一起排队，即可求得结果；对于D，采用插空法，先安排丙、丁、戊3个人，在形成的4个空中，再排甲乙，即可求得结果．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由ax−exlna0恒成立，所以f(x)=xex的图象如下：
xexf(2)，根据图象可得f(x)1)，g′(t)=t2−2t−2(t−1)2(t>1).
由g′(t)=t2−2t−2(t−1)2=0，解得t=1+ 3(t>1)，
当t∈(1,1+ 3)时，g′(t)0，g(t)单调递增，
∴当t=1+ 3(t>1)时，g(t)min=3+2 3.
故a+b+4cb−a的最小值为3+2 3.
故答案为：3+2 3.
15.【答案】解：(1)所有的不同选法种数，就是从7名学生中选出3人的组合数，所以选法种数为C73=35.
(2)设有男生x人，女生则有7−x人，
从这7人中选出2名男生2女生方法有Cx2C7−x2种
要求每人参加一项且每项活动都有人参加C42A33种，
根据分步乘法计数原理得Cx2C7−x2C42A33=648，
所以x(x−1)(7−x)(6−x)=72，(x∈N*且2≤x≤5)，
解得x=3，或x=4，
所以该组学生中男生3人，女生4人或男生4人，女生3人．
【解析】(1)根据组合的定义即可求出；
(2)设有男生x人，女生则有7−x人，根据分步计数原理得，列出方程，解方程求得．
本题考查了组合数公式的应用，应注意未知数的范围限制．
16.【答案】解：(1)∵(2x+ 3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=1，可得(2+ 3)4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0，可得(0+ 3)4=a0，
∴a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4−a0=(2+ 3)4−(0+ 3)4=88+56 3.
(2)①Tk+1=C8k⋅( x)8−k⋅(−2x2)k=(−1)k⋅C8k⋅2k⋅x4−52k.
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
所以T5=C84⋅24⋅x4−202=1120x−6.
②设第k+1项系数的绝对值最大，
则C8k2k≥C8k−12k−1C8k2k≥C8k+12k+1，
所以2k≥19−k18−k≥2k+1解得5≤k≤6(k∈N)，
故k=5或6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
【解析】本题考查了二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
(1)对x进行赋值，x=1与x=0时即可求得．
(2)①利用二项式定理写出通项公式Tk+1=C8k⋅( x)8−k⋅(−2x2)k，二项式系数最大项即为展式中的中间项；
②设第k+1项系数最大，则有不等式组C8k2k≥C8k−12k−1C8k2k≥C8k+12k+1可求得k值．
17.【答案】解：(1)由已知f′(x)=3x2+2ax+b，
由于f(x)在x=−23与x=1时都取得极值，
所以−23+1=−2a3−23×1=b3，解得a=−12,b=−2，
所以f′(x)=3x2−x−2=(x−1)(3x+2)，
所以在(−∞,−23),(1,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(−23,1)上f′(x)f(−23)，
所以f(x)在区间[−1,2]上的最大值是f(2)=2+c，
f(x)0，当x∈( a,+∞)时，f′(x)0时，f(x)在(0, a)上单调递增，在( a,+∞)上单调递减，
所以f(x)max=f( a)=aln a−12a>0，所以a>e，
又x→+∞，f(x)→−∞；x→+0，f(x)→−∞；
所以a的取值范围是(e,+∞).
②证明：曲线y=f(x)在(x1,0)和(x2,0)处的切线分别是：
l1:y=(ax1−x1)(x−x1),l2:y=(ax2−x2)(x−x2)，
联立两条切线方程得x0=x1+x2ax1x2+1，所以x1+x2x0=ax1x2+1.
因为alnx1−12x12=0alnx2−12x22=0，所以a=12(x12−x22)lnx1−lnx2.
要证x1+x2>2x0，只需证x1+x2x0>2，
即证ax1x2>1，只要证12(x1x2−x2x1)lnx1x2>1..
令t=x1x22，即证ax1x2>1，只要证12(x1x2−x2x1)lnx1x2>1即可．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，分析法的应用，化归转化思想，属难题．
19.【答案】解：(1)当n=3时，(x2+x+1)3=D30x6+D31x5+D32x4+⋯+D35x+D36，
令x=1，则D30+D31+D32+D33+D34+D35+D36=33=27，
令x=−1，则D30−D31+D32−D33+D34−D35+D36=1，
两式相加得2(D30+D32+D34+D36)=28，
所以D30+D32+D34+D36=14，
(2)∵(x2+x+1)2022=D20220x4044+D20221x4043+D20222x4042+⋯+D20224043x+D20224044，
(1−x)2022=C20220−C20221x+C20222x2−C20223x3+−⋯−C20222021x2021+C20222022x2022，
∴(1+x+x2)2022(1−x)2022的展开式中，x4044的系数为D20220C20220−D20221C20221+D20222C20222−⋯+(−1)kD2022kC2022k⋯+D20222022C20222022，
∵(1−x3)2022的展开式的通项公式Tr+1=C2022r(−x3)r=C2022r(−1)rx3r，
令3r=4044，得r=1348，
∴(1−x3)2022的展开式中x4044的系数为C20221348，
∵(1+x+x2)2022(1−x)2022=(1−x3)2022，
∴D20220C20220−D20221C20221+D20222C20222−⋯+(−1)kD2022kC2022k⋯+D20222022C20222022=C20221348.
【解析】(1)利用赋值法，分别令x=1和x=−1，再将得的式子相加可求得结果．
(2)根据二项式定理和三项式的n次系数列的定义，分别展开，然后比较x4044的系数，建立方程关系进行求解即可．
本题主要考查二项式定义的应用，利用二项式定理和三项式的n次系数列的定义，进行计算是解决本题的关键，是中档题．