2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）段考数学试卷（一）-普通用卷

这是一份2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）段考数学试卷（一）-普通用卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设i是虚数单位，则复数i+12+i在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知a=(2,−1)，b=(1,−1)，则(a+2b)⋅(a−3b)=( )
A. 10B. −10C. 3D. −3
3.在△ABC中，AD为BC边上的中线，2AE=ED，则BE=( )
A. −56AB+16ACB. −16AB−56ACC. −56AB−16ACD. −16AB+56AC
4.在△ABC中角A、B、C所对边a、b、c满足a=c−2acsB，c=5，3a=2b，则b=( )
A. 4B. 5C. 6D. 6或152
5.在复数范围内方程x2+4x+5=0的根为( )
A. −5和1B. −1和5C. 2±iD. −2±i
6.在△ABC中，若asinB= 3bcsA，且sinC=2sinAcsB，那么△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
7.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高h=( )
A. acsαsin(γ−α)sin(γ−β)B. asinαsin(γ−α)sin(γ−β)
C. acsαsin(γ−β)sin(γ−α)D. asinαsin(γ−β)sin(γ−α)
8.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，则|a+b|+|a−b|的取值范围为( )
A. [4,2 13]B. [4,10]C. [6,10]D. [6,2 13]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z1，z2，下列结论正确的有( )
A. z1+z2−=z1−+z2−B. 若z1z2=0，则z1=z2=0
C. |z1z2|=|z1||z2|D. 若z12=1，则z1=z1−
10.下列说法中正确的是( )
A. 若AB=CD，则|AB|=|CD|，且A，B，C，D四点构成平行四边形
B. 若m为非零实数，且ma=nb，则a与b共线
C. 在△ABC中，若有AO=t(AB|AB|+AC|AC|)，那么点O一定在∠BAC的平分线所在直线上
D. 若向量a//b，则a与b的方向相同或相反
11.如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ，则( )
A. △ABC的面积S=12b2sinAsinCsinB
B. b=acsA+ccsC
C. asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθ
D. acs(B−θ)+bcs(A+θ)=ccsθ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=−12，则a在b方向上的投影向量是______.
13.在△ABC中，sinA:sinB:sinC= 3:4: 31，则A+B−C=______.
14.已知复数z满足|z|=1，则|z+5−12i|(i为虚数单位)的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=1，|b|= 3，a+b=( 3,1)，求：
(1)|a−b|；
(2)a+b与a−b的夹角．
16.(本小题15分)
设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=3−4i.
(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1.
17.(本小题15分)
已知a=(−1,0)，b=(2,1).
(1)若AB=2a−b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值.
(2)当实数k为何值时，ka−b与a+2b垂直？
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3c+bsinA= 3acsB.
(1)求A；
(2)若点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，求△ABC面积的最小值.
19.(本小题17分)
设A，B是单位圆上不同的两个定点，点O为圆心，点C是单位圆上的动点，点C满足OC=sinαOB+csαOA(α为锐角)线段OC交AB于点D(不包括A，B)，点P在射线OC上运动且在圆外，过P作圆的两条切线PM，PN.
(1)求OB⋅BA+CO⋅CA+BC⋅BO的范围.
(2)求PM⋅PN的最小值，
(3)若OD=λOC,BD=μBA，求λ2μ+1的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由i+12+i=(i+1)(2−i)(2+i)(2−i)=3+i5=35+15i，
得复数i+12+i对应的点的坐标为(35,15)，位于第一象限．
故选：A.
利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数的几何意义可得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：a=(2,−1)，b=(1,−1)，
则a+2b=(4,−3)，a−3b=(−1,2)，
(a+2b)⋅(a−3b)=4×(−1)+(−3)×2=−10.
故选：B.
利用向量的坐标运算分别求出a+2b，a−3b，再利用数量积的坐标运算求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵2AE=ED，
由已知可得，AD=12(AB+AC)，
∴AE=16(AB+AC)，
∴BE=AE−AB=16(AB+AC)−AB=−56AB+16AC.
故选：A.
根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案．
本题考查平面向量的基本定理，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由a=c−2acsB得a=c−2a⋅a2+c2−b22ac，
即ac=b2−a2，
又c=5，3a=2b，
故10b3=b2−4b92，
∴b=6，b=0(舍).
故选：C.
根据余弦定理化简a=c−2acsB可得ac=b2−a2，再结合条件即可求得答案．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由Δ=16−4×5=−4，则方程的根为−4± Δ2=−4±2i2=−2±i.
故选：D.
利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可．
本题考查复数的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：已知asinB= 3bcsA，
则sinAsinB= 3sinBcsA，
则tanA= 3，
即A=π3，
又sinC=2sinAcsB，
则sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB，
即sinAcsB−csAsinB=0，
即sin(A−B)=0，
又−π即A=B，
即A=B=C=π3，
即△ABC一定是等边三角形，
故选：D.
由两角和的正弦公式，结合正弦定理求解即可．
本题考查了两角和的正弦公式，重点考查了正弦定理，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：在△PAB中，∠PAB=α−β,∠BPA=(π2−α)−(π2−γ)=γ−α，
由正弦定理得PBsin(α−β)=asin(γ−α)，可得PB=asin(α−β)sin(γ−α)，
过点B作BD⊥AQ，
可得CQ=BD=asinβ，
所以PQ=PC+CQ=PB⋅sinγ+asinβ=asinαsin(γ−β)sin(γ−α).
故选：D.
在△PAB中，根据正弦定理求得PB=asin(α−β)sin(γ−α)，结合PQ=PC+CQ，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设向量a，b的夹角为θ，
则|a+b|= (a+b)2= 13+12csθ，|a−b|= (a−b)2= 13−12csθ，
即|a+b|+|a−b|= 13+12csθ+ 13−12csθ，
令y=|a+b|+|a−b|，
则y2=26+2 169−144cs2θ，
又cs2θ∈[0,1]，
则169−144cs2θ∈[25,169]，
即y2∈[36,52]，
又y>0，
即y∈[6,2 13]，
则|a+b|+|a−b|的取值范围为[6,2 13]，
故选：D.
设向量a，b的夹角为θ，则|a+b|= (a+b)2= 13+12csθ，|a−b|= (a−b)2= 13−12csθ，令y=|a+b|+|a−b|，然后两边平方，再结合三角函数的有界性求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，
对于A，z1+z2−=(a+c)−(b+d)i，z1−+z2−=(a+c)−(b+d)i，故选项A正确；
对于B，因为z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i=0，
则ac−bd=0ad+bc=0，则a=b=0或c=d=0，
所以z1，z2中至少有一个0，即z1=0或z2=0，故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
|z1z2|=|(a+bi)(c+di)|= (ac−bd)2+(ad+bc)2，
= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2，
|z1||z2|= a2+b2⋅ c2+d2= (ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2
所以|z1z2|=|z1||z2|，故选项C正确；
对于D，当z1=a+bi，则z12=(a+bi)⋅(a+bi)=a2−b2+2abi=1，
可得a2−b2=12ab=0，解得a=±1b=0，即z1=±1，
所以z1=z1−=±1，故选项D正确．
故选：ACD.
利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘法运算及共轭复数的概念判断选项D.
本题考查复数的运算，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，若AB=CD，则|AB|=|CD|，
则AB//CD，故A，B，C，D四点共线或构成平行四边形，故A错误；
对于B，若m为非零实数，且ma=nb，
则a=nmb，所以a与b共线，故B正确；
对于C，设AE,AF分别是与AB,AC方向相同的单位向量，
则AO=t(AB|AB|+AC|AC|)=t(AE+AF)，
设AP=AE+AF，则AO=tAP，
所以AO//AP，又A为公共始点，所以A，P，O三点共线，
因为|AE|=|AF|，所以平行四边形AEPF为棱形，
所以AP平分∠BAC，
所以点O一定在∠BAC的平分线所在直线上，故C正确．
对于D，若向量a//b，当a=0时，D错误．
故选：BC.
根据相等向量的定义即可判断A；根据平面向量共线定理即可判断B；根据平面向量加法的平行四边形法则即可判断C；根据共线向量的定义即可判断D.
本题主要考查了向量的基本概念，向量的线性运算及向量加法的三角形及平行四边形法则，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：A选项，由正弦定理得asinA=bsinB，即a=bsinAsinB，
△ABC的面积S=12absinC=12b2sinAsinCsinB，A正确；
B选项，因为A+B+C=π，所以sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
由正弦定理得b=acsC+ccsA，B错误；
CD选项，因为AC+CB=AB，所以(AC+CB)⋅ED=AB⋅ED，
即AC⋅ED+CB⋅ED=AB⋅ED，
故|AC|⋅|ED|cs(θ+A)+|CB|⋅|ED|cs(B−θ)=|AB|⋅|ED|csθ，
即|AC|cs(θ+A)+|CB|cs(B−θ)=|AB|csθ，
所以acs(B−θ)+bcs(A+θ)=ccsθ，C错误，D正确，
故选：AD.
A选项，由正弦定理和面积公式求出A正确；B选项，sinB=sinAcsC+csAsinC，由正弦定理得到B错误；CD选项，利用向量加法法则得到AC+CB=AB，进而由数量积的运算法则得到答案．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，向量数量积的应用，属于中档题．
12.【答案】−43b
【解析】解：设与b方向相同的单位向量为e，则e=b|b|，
则a在b方向上的投影向量为|a|csθe=(a⋅b|b|)b|b|=−123×3b=−43b.
故答案为：−43b.
设与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量与e共线，可用λe表示，由已知表示单位向量e，并求出λ可得所求向量．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
13.【答案】−2π3
【解析】解：因为sinA:sinB:sinC= 3:4: 31，
由正弦定理得a:b:c= 3:4: 31，
不妨设a= 3，则b=4，c= 31，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=( 3)2+42−( 31)22× 3×4=− 32，
因C∈(0,π)，所以C=5π6，
A+B−C=π−2C=π−2×5π6=−2π3，
故答案为：−2π3.
先根据正弦定理得到三边的比例，再根据余弦定理求出角C，进一步求出结果．
本题考查的知识点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】14
【解析】解：|z+5−12i|=|z−(−5+12i)|，
记z=a+bi(a,b∈R)，对应点为P(a,b)，−5+12i对应点为Q(−5,12)，复平面原点为O(0,0)，
由|z|=1可知，点P在单位圆x2+y2=1上，
由复数减法的几何意义可知，|z+5−12i|表示点P，Q的距离，
易知，|OQ|−1≤|PQ|≤|OQ|+1，
因为|OQ|= (−5)2+122=13，
所以12≤|PQ|≤14，故|z+5−12i|的最大值为14.
故答案为：14.
由|z+5−12i|=|z−(−5+12i)|，根据复数减法的几何意义将问题转化为点P，Q的距离问题，然后结合图形可解．
本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
15.【答案】解：(1)由已知a+b=( 3,1)，所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a⋅b=4，所以a⋅b=0，
所以|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=4，所以|a−b|=2；
(2)a+b与a−b的夹角的余弦值为(a+b)⋅(a−b)|a+b||a−b|=a2−b22×2=1−34=−12，
所以a+b与a−b的夹角为120∘.
【解析】(1)由已知，得到两个向量的数量积，然后将所求平方可求；
(2)利用数量积公式求之．
本题考查了向量的模的求法以及利用数量积公式求向量的夹角；属于基础题．
16.【答案】解：(1)由z1=1−ai，z2=3−4i，得z1+z2=4−(4+a)i，而z1+z2是实数，
于是4+a=0，解得a=−4，
所以z1⋅z2=(1+4i)(3−4i)=19+8i.
(2)依题意，z1z2=1−ai3−4i=(1−ai)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4a+(4−3a)i25是纯虚数，
因此3+4a=04−3a≠0，解得a=−34，
所以z1=1+34i.
【解析】(1)利用复数的加法及复数的分类求出a，再利用复数乘法求解即得．
(2)利用复数除法及复数的分类求出a即得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
17.【答案】(1)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，
则AB=(−4,−1)，BC=(2m−1,m)，且A、B、C三点共线，
则可得AB//BC，
即−4m−(2m−1)(−1)=0，解得m=−12；
(2)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，
则ka−b=(−k−2,−1)，a+2b=(3,2)，
因为ka−b与a+2b垂直，
则可得3(−k−2)+2×(−1)=0，解得k=−83.
【解析】(1)根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解；
(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为 3c+bsinA= 3acsB，
所以由正弦定理得： 3sinC+sinBsinA= 3sinAcsB，
即 3sin(A+B)+sinBsinA= 3sinAcsB，
即 3(sinAcsB+csAsinB)+sinBsinA= 3sinAcsB，
所以 3csAsinB+sinBsinA=0，
因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，
所以 3csA+sinA=0，即tanA=− 3，
又因为A∈(0,π)，所以A=2π3；
(2)因为点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，
所以∠BAD=∠CAD=12∠BAC=π3，
因为S△ABC=S△ABD+S△ADC，
所以12bcsin2π3=12×2×c×sinπ3+12×2×b×sinπ3，
化简得：bc=2(c+b)，所以bc=2(c+b)≥4 bc，当且仅当b=c时取等号，
解得：bc≥16，当且仅当b=c=4时取等号，
所以S△ABC=12bcsinA= 34bc≥4 3，
所以△ABC面积的最小值为4 3.
【解析】(1)利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得 3csA+sinA=0，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
(2)利用面积相等，即S△ABC=S△ABD+S△ADC，推出bc=2(c+b)，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案．
本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换知识，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵OC=sinαOB+csαOA，
∴OC2=sin2α+cs2α+2sinαcsαOB⋅OA=1+2sinαcsαOB⋅OA=1，
∵α为锐角，∴sinαcsα≠0，∴OB⋅OA=0，∴OB⊥OA，
∵OB⋅BA+CO⋅CA+BC⋅BO=OB⋅BA−BC⋅OB+CO⋅CA
=OB⋅(BA−BC)+CO⋅CA=OB⋅CA+CO⋅CA=CA⋅CB.
∵取AB的中点为E，CA⋅CB=CE2−BE2=CE2−12，
∵|CE|∈[1− 22, 22),∴|CE|2−12∈[− 2+1,0)；
(2)∵|OM|=|ON|=1，
∴|PM|2=|PN|2=|OP|2−1，
∴PM⋅PN=|PM|⋅|PN|⋅cs∠MPN
=|PM|⋅|PN|⋅(1−2sin2∠NPO)
=|PM|2[1−2(|ON||OP|)2]=(|OP|2−1)(1−2|OP|2)=|OP|2+2|OP|2−3
≥2 |OP|2⋅2|OP|2−3=2 2−3，
∴当且仅当|OP|=42时，等号成立，PM⋅PN的最小值为2 2−3；
(3)∵OD=λOC,BD=μBA，∴OD−OB=μ(OA−OB)，
∴OD=μOA+(1−μ)OB，
∴OC=1λOD=μλOA+1−μλOB，
∴OC2=(μλ)2+(1−μλ)2=1，
∴λ2=2μ2−2μ+1，
∴λ2μ+1=2μ2−2μ+1μ+1，
令μ+1=t，则原式=2t2−6t+5t=2t+5t−6≥2 10−6，
当且仅当t= 102，即μ= 102−1时等号成立，λ2μ+1的最小值为2 10−6.
【解析】(1)将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；
(2)将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；
(3)通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数λ结合不等式求解；
本题考查平面向量的线性运算和数量积，涉及最值的求法，属于中档题．