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九年级数学下册专题07相似三角形的基本模型(K字型)(原卷版+解析)(人教版)
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这是一份九年级数学下册专题07相似三角形的基本模型(K字型)(原卷版+解析)(人教版)，共53页。
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
【例题精讲】
例1．（基本模型）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
例2．（培优综合1）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
例3．（培优综合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
例4．（培优综合3）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.
⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.
①求证：；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；
⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值.
例5．（与反比例函数综合）如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为 ．
例6．（与二次函数综合）如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
课后训练
1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）
A．－6B．－12C．－18D．－24
2．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，点在上，连接，，，，则线段 ．
4．如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为
5．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．
6．已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
9．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
10．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．
12．如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求；
（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝．
专题07 相似三角形的基本模型（K字型）
【模型说明】
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
【例题精讲】
例1．（基本模型）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，即，解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
例2．（培优综合1）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
【答案】3．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．
【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
例3．（培优综合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
【答案】（1）AF=DF，AF⊥DF，证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．证明△AHF≌△FJD（SAS），可得结论；
（2）如图②中，结论：．证明△AHF∽△FJD，可得结论；
（3）如图③中，结论：，证明方法类似（2）．
【详解】解：（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，
∴BH=CH，CJ=JE，
∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ=AH，FH=JE=DJ，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF≌△FJD（SAS），
∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；
（2）如图②中，结论：．
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=120°，
∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，
∴，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF；
（3）如图③中，结论：，
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=180°-α，
∴CJ=JE，，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
例4．（培优综合3）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.
⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.
①求证：；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；
⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值.
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② ；（3） .
【分析】（1）利用AAS证明可得AC=BE；
（2）①先证明△DAC∽△CBE，再利用相似三角形的性质可得；
②根据∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而求出相应的线段长度，得到tan∠CDB的值．
（3）根据∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而得到AD的长，根据∠BCE+∠BAD=180°，以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△ADC，则.
【详解】（1）证明：如图1，
，
又，
又
（2）①证明：∵∠DCA+∠DCE+∠ECB=180°，
∠DCA+∠A+∠CDA=180°，∠A=∠DCE，
∴∠ADC=∠ECB，
∵∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE，
②如图2，
∵∠ADC=∠DBA，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ABD，
AB=AC+BC=
∴
解得AD=5，
设∠DBA=∠CDA=α，
∴∠CDG=90-2α，
∴∠CGD=2α，
∴∠GCB=∠GBC=α，
∴CG=GB，
设CG=GB=x，
解得
（3）如图3，
∵∠ADC=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ADB，
解得AD=5，
∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°，
∴∠ADC+∠DCA=∠BCE，
以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，
∴EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，
∵∠B=∠ADC，
∴∠BEH=∠ACD，
∴△BEH∽△ADC，
故答案为
【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键．
例5．（与反比例函数综合）如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为 ．
【答案】
【分析】过点作轴于点，根据翻折的性质得到，进而证明，再根据相似的性质得到，通过矩形EAOM的性质得到EM的长度，进而得到DB的长度，最后在中应用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点作轴于点，
∵四边形AOBC为矩形，OA=3，OB=4，
∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．
∴，，，．
∵点F在边BC上，点E在边AC上，
∴，．
又∵点E，F在反比例函数的图象上，
∴，．
∴，．
∴，．
∴，．
∵沿EF对折后得到，
∴，，．
∴．
∵轴，∴
∴，．
∴．
∴．∴．
∵四边形AOBC是矩形，∴．
又∵轴，∴．∴四边形EAOM是矩形，
∴．
在中，满足，
即，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，坐标与长度之间的关系以及勾股定理，作出合适的辅助线，熟练应用以上知识点是解题关键．
例7．（与二次函数综合）如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）可求出直线AB的解析式，进而求得E点的坐标，表示出DE，然后利用三角形面积公式可求得△ABD的面积；
（3）当△ABM为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分三种情况分别讨论可求得N点坐标．
【详解】（1）∵抛物线过点和点，
∴，
解得，
∴此抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴顶点C的坐标为，
∵点D在抛物线上A，C两点之间，点D的横坐标为m，
∴，
由点和点得出直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当m的值为时，S有最大值．
（3）∵以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，
为直角三角形，
①当，则M在y轴上时，过点B作轴，轴，交于Q点，如图1，
由点和点可知，，，
则有∽，
∴，即，解得，
∵≌，
∴，，
∴，
②当，则M在x轴上时，作轴于H，轴于G，如图2，
由点和点可知，，
则有∽，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴G，H重合，
∴，
∴，
③当时，则M只能在y轴上，作轴于P，轴于Q，如图3，
∵，
∴，
而，，
∴，
在与中，
∴≌（）
∴，，
∵直线AB的解析式为，
∴直线AM的解析式为，
∴，
∴，
∴，
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（2）中求得E坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较基础，难度适中．
课后训练
1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）
A．－6B．－12C．－18D．－24
【答案】B
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，得出，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．
【详解】如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO，
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB，
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∵，
∴，
∴CF＝2AE，OF＝2OE，
又∵AE•OE＝3，
∴CF•OF＝|k|＝4×3＝12，
∴k＝±12，
∵点C在第二象限，
∴k＝−12，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF＝12．解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
2．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，
为的中点，为的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
矩形是中心对称图形，过矩形的中心．
过点，且，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，或4，
或4，
当时，，则，
，
四边形的周长；
同理，当时，四边形的周长；
故选：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．
3．如图，在中，，点在上，连接，，，，则线段 ．
【答案】
【分析】作CE＝AC交AB于E，证明△DCE是等腰三角形，过点D作DF⊥CE于F，求出CF＝2，然后证明△ABC∽△CDF，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可．
【详解】解：如图，作CE＝AC交AB于E，则∠A＝∠CEA，CE＝4，
∵∠ADC＝∠DCE＋∠CEA，∠ADC＝2∠A，∴∠DCE＝∠A＝∠CEA，∴DC＝DE，
过点D作DF⊥CE于F，则CF＝EF＝＝2，
∵∠DCE＝∠A，∠DFC＝∠BCA＝90°，∴△ABC∽△CDF，∴，
在Rt△ABC中，，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，通过作辅助线，构造出等腰三角形和相似三角形是解题的关键．
4．如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为
【答案】−8
【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系数法即可．
【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴B点的坐标是（−2n，2m），
∴k＝−2n•2m＝−4mn＝−8．
故答案为：−8．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
5．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．
【答案】7：8
【分析】设AD=2x，DB=3x，连接DE、DF，由折叠的性质及等边三角形的性质可得△ADE∽△BFD，由相似三角形的性质即可求得CE:CF的值．
【详解】设AD=2x，DB=3x，则AB=5x
连接DE、DF，如图所示
∵△ABC是等边三角形
∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60°
由折叠的性质得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60°
∴∠ADE+∠BDF=180°−∠EDF=120°
∵∠BDF+∠DFB=180°−∠B=120°
∴∠ADE=∠DFB
∴△ADE∽△BFD
∴
即CE：CF=7：8
故答案为：7：8
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是本题的关键．
6．已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
【分析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案；
（2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案；
（3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解 从而可得答案．
【详解】解：（1）为的中点，
故答案为：
（2）如图，过作于 过作于
由（1）同理可得 ：
故答案为：
（3）过点分别作于点，于点，
∵，∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理可得：．
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】解：当时，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如图3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如图4图5图6，连接EF．
在中，，，
，
如图4，当E在线段AC上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，或舍
如图5，当E在AC延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
③如图6，当E在CA延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或（舍），
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．
8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
【答案】(1)等边三角形；(2)；(3)4
【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现；
（2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可．
【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，
，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
（2）过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，，
在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠PFE＝60°，
∴∠GFC＝90°，
直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，
∴GC＝2CF＝8，
∴GB＝GC﹣BC＝2，
直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，
∴PE＝2，BE＝2，
∴EH＝BE•PE÷BP＝，
∴S△GBE＝；
（3）∵在BPE中，∠B＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝120°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠FPC＝120°，
∴∠BEP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴，
设BP＝x，则CP＝6﹣x．
∴＝，
解得：x＝2或4．
当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，
过E作EH⊥BC于H，
则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2，
∴PH＝0，
即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去；
当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，
则△BEP是等边三角形，
∴PE＝4．故PE＝4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．
9．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
10．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵，∴．
在和中，
∴，∴．
（2）发生变化，．证明：由（1）得，，，∴，
∴，∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．
【答案】(1)（0，2）
(2)
(3)（，）
【分析】（1）先根据抛物线解析式求出点B、点A的坐标，再利用待定系数法求出直线BC解析式，即可求得D点坐标；
（2）过E作x轴平行线l，过A、F作l的垂线段，垂足分别为N、M，证明出△ANE≌△EMF，得AN=EM，NE=MF，用t、d表示出F点坐标，将该坐标代入直线BC解析式即可得d与t的函数关系式；
（3）过C作CQ⊥PG于Q，由∠CEF=∠AEH，知△CEQ∽△EHG，得：，即，求出HG的表达式，可得用t表示的AH的长度，再利用，可得EH-CE与CE的关系，代入EH-CE=即可得CE关于t的表达式，由勾股定理得到关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：令抛物线中的y=0，即，
解得：x=-4或x=1，
当x=-1时，y=4，即C（-1，4），
即A（-4，0），B（1，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
即直线BC解析式为y=-2x+2，
当x=0时，y=2，
则点D的坐标为．
（2）解：过E作x轴平行线l，过A、F作l的垂线段，垂足分别为N、M，如图所示，
由∠AEN+∠FEM=90°，∠AEN+∠EAN=90°知∠FEM=∠EAN，
∵AE=EF，
∴△ANE≌△EMF，
∴AN=EM，NE=MF，
∵P点横坐标为t，PE=d，
∴P（t，yP），NE=t+4=MF，EG=yP－d=AN=EM，其中，
∴F点横坐标为：t+EM=t+yP－d，
F点纵坐标为：EG－MF=yP－d－（t+4），
将F点坐标代入y=-2x+2得：
yP－d－（t+4）=－2（t+yP－d）+2，
化简得：3d=，
即．
（3）解：过C作CQ⊥PG于Q，如图所示，
∵∠CEF=∠AEH，∠AEF=90°，
∴∠EFH=90°，
则∠CEQ+∠ECQ=∠CEQ+∠HEG=90°，
∴∠ECQ=∠HEG，
∴△CEQ∽△EHG，
∴，
由（2）知，EG=yP－d=，
∴QE=4-EG=，CQ=-1-t，
∴，
∴HG=，，
∴，AH=AG+GH=t+4+=，
即，
∵EH-CE=，
∴=，
即：，
∵C（－1，4），E（t，），
∴由勾股定理得：（t+1）2+（-4）2=（）2，
解得：（舍）或，
∴P（，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形判定及性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及一元二次方程的解法等知识点．作出辅助线构造出全等三角形及相似三角形是解题关键．
12．如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求；
（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝．
【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）证明△ABE∽△DEF，可得结论．
（2）如图2中，过点H作HM⊥EH交BE于M，过即可点M作MN⊥AB于N．设AH=m，BH=5m，证明△EAH≌△HNM（AAS），推出MN=AH=m，AE=HN，设AE=HN=x，可得BN=5m-x，由MN∥AE，推出，可得，整理得，x2-5xm+6m2=0，解得x=2m或3m，接下来分两种情形分别求解．
（3）如图3中，作∠MEB=∠J，过点M作MN⊥ME交BE于N，过点N作NP⊥AB于P．由△JDE∽△EMB，推出，设DE=2k，BM=3k，由△EAM∽△MPN，推出，设PM=a，则AE=2a，推出AD=AE+DE=2a+2k=AB，AM=2a-k，推出PN，PB=，由PN∥AE，推出，推出，求出a与k的关系即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF，
∴，
∴EA•ED=AB•DF；
（2）解：如图2中，过点H作HM⊥EH交BE于M，过点M作MN⊥AB于N，过点E作ET⊥BD于T．
∵，
∴设AH=m，BH=5m，
∵∠EHM=90°，∠HEM=45°，
∴∠HEM=∠HME=45°，
∴HE=HM，
∵∠EAH=∠EHM=∠MNH=90°，
∴∠EHA+∠MHN=90°，∠MHN+∠HMN=90°，
∴∠EHA=∠HMN，
∴△EAH≌△HNM（AAS），
∴MN=AH=m，AE=HN，设AE=HN=x，
∴BN=5m-x，
∵MN∥AE，
∴，
∴，
整理得，，
∴或，
①当时，
∵BE平分∠ABD，EA⊥BA，ET⊥BD，
∴EA=ET，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，即，
整理得：，
解得：或(舍去)，
∴DE=，AD=AE+DE=，BG=，
∵AE∥BG，
∴，
∴EK=EB，
∵tan∠ABE=tan∠DBE=，
∴EJ=EB，
∴；
②当时，同理可得；
综上所述，的值为或；
（3）解：如图3中，作∠MEB=∠J，过点M作MN⊥ME交BE于N，过点N作NP⊥AB于P．
∵∠MEB=∠J，
∴tan∠MEB=tan∠J=，
∵∠BEJ=∠A=90°，
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∴△JDE∽△EMB，
，
设DE=2k，BM=3k，
∵∠EMA+∠AEM=90°，∠EMA +∠NMP=90°，
∴∠AEM =∠NMP，
∵Rt△EAM∽Rt△MPN，
，
设PM=a，则AE=2a，
∴AD=AE+DE=2a+2k=AB，AM=2a-k，
∴PN，PB=，
∵PN∥AE，
∴，
∴，
∴（负根已经舍弃），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
【例题精讲】
例1．（基本模型）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
例2．（培优综合1）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
例3．（培优综合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
例4．（培优综合3）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.
⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.
①求证：；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；
⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值.
例5．（与反比例函数综合）如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为 ．
例6．（与二次函数综合）如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
课后训练
1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）
A．－6B．－12C．－18D．－24
2．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，点在上，连接，，，，则线段 ．
4．如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为
5．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．
6．已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
9．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
10．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．
12．如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求；
（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝．
专题07 相似三角形的基本模型（K字型）
【模型说明】
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED.
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
图1 图2 图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
【例题精讲】
例1．（基本模型）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，即，解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
例2．（培优综合1）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
【答案】3．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．
【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
例3．（培优综合2）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
【答案】（1）AF=DF，AF⊥DF，证明见解析；（2），证明见解析；（3）．
【分析】（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．证明△AHF≌△FJD（SAS），可得结论；
（2）如图②中，结论：．证明△AHF∽△FJD，可得结论；
（3）如图③中，结论：，证明方法类似（2）．
【详解】解：（1）如图①中，结论：AF=DF，AF⊥DF．
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，DC=DE，∠BAC=∠CDE=90°，
∴BH=CH，CJ=JE，
∴AH=BH=CH，DJ=CJ=JE，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ=AH，FH=JE=DJ，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF≌△FJD（SAS），
∴AF=FD，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF；
（2）如图②中，结论：．
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=120°，
∴CJ=JE，∠DEC=∠DCE=30°，
∴，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF；
（3）如图③中，结论：，
理由：过点A作AH⊥BC于H，过点D作DJ⊥EC于J．
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴BH=CH，，
∵DC=DE，∠CDE=180°-α，
∴CJ=JE，，
∵BF=FE，
∴HJ=BF=EF，
∴BH=FJ，HF=JE，
∴，
∴，
∵∠AHF=∠FJD=90°，
∴△AHF∽△FJD，
∴，∠HAF=∠DFJ，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH+∠DFJ=90°，
∴∠AFD=90°，即AF⊥DF，
∴，AF⊥DF．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
例4．（培优综合3）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE.
⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°.
①求证：；②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值；
⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值.
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② ；（3） .
【分析】（1）利用AAS证明可得AC=BE；
（2）①先证明△DAC∽△CBE，再利用相似三角形的性质可得；
②根据∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而求出相应的线段长度，得到tan∠CDB的值．
（3）根据∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而得到AD的长，根据∠BCE+∠BAD=180°，以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△ADC，则.
【详解】（1）证明：如图1，
，
又，
又
（2）①证明：∵∠DCA+∠DCE+∠ECB=180°，
∠DCA+∠A+∠CDA=180°，∠A=∠DCE，
∴∠ADC=∠ECB，
∵∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE，
②如图2，
∵∠ADC=∠DBA，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ABD，
AB=AC+BC=
∴
解得AD=5，
设∠DBA=∠CDA=α，
∴∠CDG=90-2α，
∴∠CGD=2α，
∴∠GCB=∠GBC=α，
∴CG=GB，
设CG=GB=x，
解得
（3）如图3，
∵∠ADC=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ADB，
解得AD=5，
∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°，
∴∠ADC+∠DCA=∠BCE，
以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，
∴EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，
∵∠B=∠ADC，
∴∠BEH=∠ACD，
∴△BEH∽△ADC，
故答案为
【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键．
例5．（与反比例函数综合）如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为 ．
【答案】
【分析】过点作轴于点，根据翻折的性质得到，进而证明，再根据相似的性质得到，通过矩形EAOM的性质得到EM的长度，进而得到DB的长度，最后在中应用勾股定理即可求解．
【详解】如图，过点作轴于点，
∵四边形AOBC为矩形，OA=3，OB=4，
∴BC=OA=3，AC=OB=4，，．
∴，，，．
∵点F在边BC上，点E在边AC上，
∴，．
又∵点E，F在反比例函数的图象上，
∴，．
∴，．
∴，．
∴，．
∵沿EF对折后得到，
∴，，．
∴．
∵轴，∴
∴，．
∴．
∴．∴．
∵四边形AOBC是矩形，∴．
又∵轴，∴．∴四边形EAOM是矩形，
∴．
在中，满足，
即，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，坐标与长度之间的关系以及勾股定理，作出合适的辅助线，熟练应用以上知识点是解题关键．
例7．（与二次函数综合）如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）可求出直线AB的解析式，进而求得E点的坐标，表示出DE，然后利用三角形面积公式可求得△ABD的面积；
（3）当△ABM为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分三种情况分别讨论可求得N点坐标．
【详解】（1）∵抛物线过点和点，
∴，
解得，
∴此抛物线的解析式为．
（2）∵，
∴顶点C的坐标为，
∵点D在抛物线上A，C两点之间，点D的横坐标为m，
∴，
由点和点得出直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当m的值为时，S有最大值．
（3）∵以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，
为直角三角形，
①当，则M在y轴上时，过点B作轴，轴，交于Q点，如图1，
由点和点可知，，，
则有∽，
∴，即，解得，
∵≌，
∴，，
∴，
②当，则M在x轴上时，作轴于H，轴于G，如图2，
由点和点可知，，
则有∽，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴G，H重合，
∴，
∴，
③当时，则M只能在y轴上，作轴于P，轴于Q，如图3，
∵，
∴，
而，，
∴，
在与中，
∴≌（）
∴，，
∵直线AB的解析式为，
∴直线AM的解析式为，
∴，
∴，
∴，
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（2）中求得E坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较基础，难度适中．
课后训练
1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ）
A．－6B．－12C．－18D．－24
【答案】B
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，得出，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．
【详解】如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO，
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB，
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∵，
∴，
∴CF＝2AE，OF＝2OE，
又∵AE•OE＝3，
∴CF•OF＝|k|＝4×3＝12，
∴k＝±12，
∵点C在第二象限，
∴k＝−12，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF＝12．解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
2．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，
为的中点，为的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
矩形是中心对称图形，过矩形的中心．
过点，且，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，或4，
或4，
当时，，则，
，
四边形的周长；
同理，当时，四边形的周长；
故选：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形．
3．如图，在中，，点在上，连接，，，，则线段 ．
【答案】
【分析】作CE＝AC交AB于E，证明△DCE是等腰三角形，过点D作DF⊥CE于F，求出CF＝2，然后证明△ABC∽△CDF，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可．
【详解】解：如图，作CE＝AC交AB于E，则∠A＝∠CEA，CE＝4，
∵∠ADC＝∠DCE＋∠CEA，∠ADC＝2∠A，∴∠DCE＝∠A＝∠CEA，∴DC＝DE，
过点D作DF⊥CE于F，则CF＝EF＝＝2，
∵∠DCE＝∠A，∠DFC＝∠BCA＝90°，∴△ABC∽△CDF，∴，
在Rt△ABC中，，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，通过作辅助线，构造出等腰三角形和相似三角形是解题的关键．
4．如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为
【答案】−8
【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系数法即可．
【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴B点的坐标是（−2n，2m），
∴k＝−2n•2m＝−4mn＝−8．
故答案为：−8．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
5．如图，已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果，则的值为 ．
【答案】7：8
【分析】设AD=2x，DB=3x，连接DE、DF，由折叠的性质及等边三角形的性质可得△ADE∽△BFD，由相似三角形的性质即可求得CE:CF的值．
【详解】设AD=2x，DB=3x，则AB=5x
连接DE、DF，如图所示
∵△ABC是等边三角形
∴BC=AC=AB=5x，∠A=∠B=∠ACB=60°
由折叠的性质得：DE=CE，DF=CF，∠EDF=∠ACB=60°
∴∠ADE+∠BDF=180°−∠EDF=120°
∵∠BDF+∠DFB=180°−∠B=120°
∴∠ADE=∠DFB
∴△ADE∽△BFD
∴
即CE：CF=7：8
故答案为：7：8
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是本题的关键．
6．已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、．
（1）当为的中点，且、时，如图1，_______：
（2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______；
（3）若改变点到图3的位置，且时，求的值．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
【分析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案；
（2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案；
（3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解 从而可得答案．
【详解】解：（1）为的中点，
故答案为：
（2）如图，过作于 过作于
由（1）同理可得 ：
故答案为：
（3）过点分别作于点，于点，
∵，∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理可得：．
∴．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；
（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．
【详解】解：当时，即：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
成立如图3，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
∽，
，
，，
∽，
，
．
由有，∽，
，
，
，
如图4图5图6，连接EF．
在中，，，
，
如图4，当E在线段AC上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，或舍
如图5，当E在AC延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或舍，
③如图6，当E在CA延长线上时，
在中，，，
根据勾股定理得，，
，
，或（舍），
综上：或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．
8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
【答案】(1)等边三角形；(2)；(3)4
【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现；
（2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可．
【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，
，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
（2）过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，，
在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠PFE＝60°，
∴∠GFC＝90°，
直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，
∴GC＝2CF＝8，
∴GB＝GC﹣BC＝2，
直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，
∴PE＝2，BE＝2，
∴EH＝BE•PE÷BP＝，
∴S△GBE＝；
（3）∵在BPE中，∠B＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝120°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠FPC＝120°，
∴∠BEP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴，
设BP＝x，则CP＝6﹣x．
∴＝，
解得：x＝2或4．
当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，
过E作EH⊥BC于H，
则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2，
∴PH＝0，
即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去；
当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，
则△BEP是等边三角形，
∴PE＝4．故PE＝4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．
9．（1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．
10．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3）
【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵，∴．
在和中，
∴，∴．
（2）发生变化，．证明：由（1）得，，，∴，
∴，∴．
（3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点，则，，，
由（1）同理可证，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．
【答案】(1)（0，2）
(2)
(3)（，）
【分析】（1）先根据抛物线解析式求出点B、点A的坐标，再利用待定系数法求出直线BC解析式，即可求得D点坐标；
（2）过E作x轴平行线l，过A、F作l的垂线段，垂足分别为N、M，证明出△ANE≌△EMF，得AN=EM，NE=MF，用t、d表示出F点坐标，将该坐标代入直线BC解析式即可得d与t的函数关系式；
（3）过C作CQ⊥PG于Q，由∠CEF=∠AEH，知△CEQ∽△EHG，得：，即，求出HG的表达式，可得用t表示的AH的长度，再利用，可得EH-CE与CE的关系，代入EH-CE=即可得CE关于t的表达式，由勾股定理得到关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：令抛物线中的y=0，即，
解得：x=-4或x=1，
当x=-1时，y=4，即C（-1，4），
即A（-4，0），B（1，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
即直线BC解析式为y=-2x+2，
当x=0时，y=2，
则点D的坐标为．
（2）解：过E作x轴平行线l，过A、F作l的垂线段，垂足分别为N、M，如图所示，
由∠AEN+∠FEM=90°，∠AEN+∠EAN=90°知∠FEM=∠EAN，
∵AE=EF，
∴△ANE≌△EMF，
∴AN=EM，NE=MF，
∵P点横坐标为t，PE=d，
∴P（t，yP），NE=t+4=MF，EG=yP－d=AN=EM，其中，
∴F点横坐标为：t+EM=t+yP－d，
F点纵坐标为：EG－MF=yP－d－（t+4），
将F点坐标代入y=-2x+2得：
yP－d－（t+4）=－2（t+yP－d）+2，
化简得：3d=，
即．
（3）解：过C作CQ⊥PG于Q，如图所示，
∵∠CEF=∠AEH，∠AEF=90°，
∴∠EFH=90°，
则∠CEQ+∠ECQ=∠CEQ+∠HEG=90°，
∴∠ECQ=∠HEG，
∴△CEQ∽△EHG，
∴，
由（2）知，EG=yP－d=，
∴QE=4-EG=，CQ=-1-t，
∴，
∴HG=，，
∴，AH=AG+GH=t+4+=，
即，
∵EH-CE=，
∴=，
即：，
∵C（－1，4），E（t，），
∴由勾股定理得：（t+1）2+（-4）2=（）2，
解得：（舍）或，
∴P（，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形判定及性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及一元二次方程的解法等知识点．作出辅助线构造出全等三角形及相似三角形是解题关键．
12．如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求；
（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝．
【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）证明△ABE∽△DEF，可得结论．
（2）如图2中，过点H作HM⊥EH交BE于M，过即可点M作MN⊥AB于N．设AH=m，BH=5m，证明△EAH≌△HNM（AAS），推出MN=AH=m，AE=HN，设AE=HN=x，可得BN=5m-x，由MN∥AE，推出，可得，整理得，x2-5xm+6m2=0，解得x=2m或3m，接下来分两种情形分别求解．
（3）如图3中，作∠MEB=∠J，过点M作MN⊥ME交BE于N，过点N作NP⊥AB于P．由△JDE∽△EMB，推出，设DE=2k，BM=3k，由△EAM∽△MPN，推出，设PM=a，则AE=2a，推出AD=AE+DE=2a+2k=AB，AM=2a-k，推出PN，PB=，由PN∥AE，推出，推出，求出a与k的关系即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△DEF，
∴，
∴EA•ED=AB•DF；
（2）解：如图2中，过点H作HM⊥EH交BE于M，过点M作MN⊥AB于N，过点E作ET⊥BD于T．
∵，
∴设AH=m，BH=5m，
∵∠EHM=90°，∠HEM=45°，
∴∠HEM=∠HME=45°，
∴HE=HM，
∵∠EAH=∠EHM=∠MNH=90°，
∴∠EHA+∠MHN=90°，∠MHN+∠HMN=90°，
∴∠EHA=∠HMN，
∴△EAH≌△HNM（AAS），
∴MN=AH=m，AE=HN，设AE=HN=x，
∴BN=5m-x，
∵MN∥AE，
∴，
∴，
整理得，，
∴或，
①当时，
∵BE平分∠ABD，EA⊥BA，ET⊥BD，
∴EA=ET，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，即，
整理得：，
解得：或(舍去)，
∴DE=，AD=AE+DE=，BG=，
∵AE∥BG，
∴，
∴EK=EB，
∵tan∠ABE=tan∠DBE=，
∴EJ=EB，
∴；
②当时，同理可得；
综上所述，的值为或；
（3）解：如图3中，作∠MEB=∠J，过点M作MN⊥ME交BE于N，过点N作NP⊥AB于P．
∵∠MEB=∠J，
∴tan∠MEB=tan∠J=，
∵∠BEJ=∠A=90°，
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∴△JDE∽△EMB，
，
设DE=2k，BM=3k，
∵∠EMA+∠AEM=90°，∠EMA +∠NMP=90°，
∴∠AEM =∠NMP，
∵Rt△EAM∽Rt△MPN，
，
设PM=a，则AE=2a，
∴AD=AE+DE=2a+2k=AB，AM=2a-k，
∴PN，PB=，
∵PN∥AE，
∴，
∴，
∴（负根已经舍弃），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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