2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第04讲：二次函数 原卷版

这是一份2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第04讲：二次函数 原卷版，共17页。
考点一：二次函数的图像和性质考点二：二次函数图像和系数的关系
考点三：二次函数的对称性和最值考点四：二次函数和一元二次方程
考点五：二次函数和不等式考点六：二次函数线段和面积问题
考点七：二次函数的角度问题考点八：二次函数的特殊三角形问题
考点九：二次函数的特殊四边形问题考点十：二次函数的相似三角形问题
考点十一：二次函数的交汇综合问题
【题型精讲】
题型一：二次函数的图像和性质
1．（2024·山东烟台·一模）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2024·山东青岛·一模）如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山东潍坊·二模）已知点，点是二次函数图象上的两点，其中，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
题型二：二次函数图像和系数的关系
4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①；②；③；④若方程的两实数根为且，则．其中结论错误的选项是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．（2024·湖北孝感·三模）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③；④若方程的两根为，，则．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线交 轴于点， 对称轴为，与 轴的另一个交点为 ，为抛物线的顶点．下列结论：
；②；③；④；⑤若是等腰直角三角形，则．其中结论正确的个数有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型三：二次函数的对称性和最值
7．（2024·湖北黄石·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·新疆喀什·三模）如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，3．与y轴负半轴交于点C，在下面结论中：
①；②；③当时，；④若，且，则．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点，，且，结合图象给出下列结论：①；②；③；④方程的两根和为；⑤对于任意实数m都有；其中正确结论有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
题型四：二次函数和一元二次方程
10．（2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
11．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，下列结论：①；②；③关于x的方程的解为为；④对于任意实数t，总有．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
12．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点在和之间（不含端点）则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
题型五：二次函数和不等式
13．（2024·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或．其中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．（2024·四川广安·模拟预测）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：①，；②当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；③的长度可以等于；④当时，；⑤连接，，当时，，其中正确的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
题型六：二次函数线段和面积问题
16．（2024·湖南益阳·二模）如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为直线下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，，垂足为，求出周长的最大值；
(3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与x 轴相交于A，B两点（点A 在点B 的左侧），顶点在直线上，动点 P在抛物线上

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)直线l交x轴于点C，则点C的坐标为 ．
(3)设点P的横坐标为m，当时，求四边形面积的最大值；
(4)设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，点G为点E 关于x轴的对称点，请探索四边形的面积是否随着点P的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
题型七：二次函数的角度问题
18．（2024·安徽淮北·三模）抛物线与直线交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
(1)求点B和点D的坐标；
(2)如图①，连接，P为x轴上的动点，当时，求点P的坐标；
(3)如图②，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接交直线于点E，求的最大值．
19．（2024·湖北孝感·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，过点B，C作直线．
(1)求b，c的值和直线的解析式；
(2)点P是直线下方的抛物线上的点，轴与直线交于点D，设点P的横坐标为t．
①如图2，连接，当的面积最大时，试判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，抛物线的对称轴为直线l，直线与x轴交于点E，过点D作直线的垂线，与直线l交于点F，与y轴交于点G，连接．当时，求t的值．
题型八：二次函数的特殊三角形问题
20．（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2024·山东济南·二模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形；
(3)如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围．
题型九：二次函数的特殊四边形问题
22．（2024·江苏苏州·一模）如图，二次函数（其中）的图像与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接、，点为的外心．
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2)记的面积为，的面积为，试探究是否为定值？如果是，求出这个定值；
(3)若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 ．
23．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型十：二次函数的相似三角形问题
24．（2024·湖北十堰·模拟预测）抛物线交轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值；
(3)如图（2），将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点G，求点G的坐标．
25．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM．
①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；
②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标．
题型十一：二次函数的交汇综合问题
26．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、（在的左边），与轴交于，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，且在直线下方，若以为圆心作，当与直线相切时，求最大半径及此时坐标；
(3)如图2，是抛物线上一点，连接交轴于，作关于轴对称的直线交抛物线于，连接、，点是的中点，若、的纵坐标分别是、．直接写出，的数量关系．
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．
(1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，点，N均为（1）中抛物线上的点，，求点N的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移使其顶点为，点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．
【专题精练】
一、单选题
28．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①④
29．（2024·河北石家庄·三模）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．当时，
D．若，，在该函数图像上，则
31．（2024·广东梅州·模拟预测）已知抛物线（，a，b，c是常数）开口向上，过，两点（其中），下列四个结论：①；②若，则；③对于任意实数t，总有；④关于x的一元二次方程（）必有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③C．③④D．①③④
32．（2024·山东济南·二模）已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·江苏常州·二模）如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（ ）
A．①B．②C．③D．④
34．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中：
①当或时，；
②当或时，；
③当时随x的增大而增大；
④使的x的值有3个．
其中正确的个数有（ ）

A．1B．2C．3D．4
35．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
36．（2024·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数）
（1）直线经过的定点坐标为 ；
（2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ．
37．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最小值是 ．
38．（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数的图象与轴有两个不同的交点，与轴相交于负半轴，对称轴为直线，有下列结论：
①；
②若（为任意实数），则有；
③若点，在抛物线上，当时，；
④若是方程的两根，则方程的两根，满足．
其中正确的是 （填写序号）．
39．（2024·江苏淮安·一模）如图，矩形纸片中，，，点P为边上一点(不与点A，D重合)，把沿所在的直线折叠，点A的对应点为点，过点P对折，折痕所在的直线交于点Q，D 点的对应点为点．则的最大值为 ．
三、解答题
40．（2024·西藏日喀则·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
(1)求a的值．
(2)将直线BC向下平移个单位长度，交抛物线于两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都使点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
41．（2024·湖北荆门·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
(1)直接写出b，c的值；
(2)如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l右侧时，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段．当点D恰好落在直线l上时，求m的值；
(3)直线与直线相交于点M，的值记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
42．（2024·吉林长春·二模）如图，抛物线与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为点P在此抛物线上，其坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，结合图象，直接写出n的取值范围．
(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围．
(4)当时，以为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值．
43．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在抛物线上，且在对称轴右侧，若，求点的坐标；
(3)如图2，将抛物线通过变换得到顶点为的抛物线，交轴于，两点，，点在第四象限的抛物线上，过点作不平行轴的直线，分别交直线，于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证：．
44．（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标．
45．（2024·福建泉州·模拟预测）抛物线：交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
(1)直接写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于O，G两点，过的中点H作直线MN（异于直线）交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
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