八年级数学下册专题01勾股定理中的最短路径模型(原卷版+解析)

这是一份八年级数学下册专题01勾股定理中的最短路径模型(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了圆柱中的最短路径模型，长方体中的最短路径模型，阶梯中的最短路径模型，7米、0，将军饮马与最短路径模型等内容，欢迎下载使用。
模型1.圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（ ）

A．B．C．D．
例3．（2023春·四川德阳·八年级校考期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm．
模型2.长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2022·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图所示，在正三棱柱中，已知，，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·广东·八年级校考期中）如图，长方体的长、宽、高分别为 ．如果一只小虫从点 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ）

A．5B．4C．6D．7
例3．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．

例4．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A．16B．C．15D．14
模型3.阶梯中的最短路径模型
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：

注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是________米．
例2．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是________．
例3．（2023春·重庆八年级课时练习）在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是______米．
模型4.将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计）
A．20B．25C．30D．40
例2.（2022·陕西·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．

例3．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．B．C．D．
课后专项训练
1．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长，高，宽，在顶点处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）如图，正方体的棱长为，已知点B与点C之间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川成都·八年级校考期中）有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为( )

A．3B．C．8D．5
5．（2023·陕西榆林·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，且，．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是 ．

6．（2023·江苏·八年级专题练习）如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块．一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点A处爬行至右上角的点B处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为 cm．
7．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，有一个长方体，长、宽、高分别为6，4，4，在长方体的底面A处，有一蚂蚁，它想吃长方体上面与A相对的B点处的食物，那么最短需要爬行的路程是 ．

8．（2023春·陕西西安·八年级统考期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高厘米，底面周长厘米，在杯口内壁离杯口厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是 厘米．

9．（2023春·重庆江津·八年级校考阶段练习）如图，圆柱的底面周长为10，，动点从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到点，则移动的最短距离为

10．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，已知圆柱底面直径，高．小虫在圆柱表面爬行，先从点C爬行到点A．再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 ．

11．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）已知，且x，y均为正数，则的最小值是 ．
12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．
13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 cm．
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为 （取3）．
15．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ．
（1）一根长7 的木棒能否放人盒子里？__________（选填“能”或“不能”）
（2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ．
16．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是 厘米．

17．（2022·内蒙古包头·九年级统考自主招生）圆柱的高为，底面半径为，点B离地面，一只蜘蛛以的速度从底面上的点A处绕曲面到达点B捕食被网到的昆虫，蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是多少？（π取3）

18．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）如图，某工厂前面有一条笔直的公路，原来有两条路，可以从工厂到达公路，经测量，，，现需要修建一条路，使工厂到公路的路程最短．请你用尺规作图画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长．

19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．

（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
专题01 勾股定理中的最短路径模型
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型1.圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：
计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．

圆柱底面的周长为，圆柱高为，，，
，，这圈金属丝的周长最小为．故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
例2．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，由勾股定理即可得出的距离．
【详解】解：将半圆面展开可得：米，米，

在中，（米）．即滑行的最短距离为米．故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于本题就是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
例3．（2023春·四川德阳·八年级校考期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为___________cm．
【答案】15
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ；
又∵圆柱高为，∴小长方形的一条边长是；
根据勾股定理求得；∴；故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
模型2.长方体中的最短路径模型
【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：
计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2022·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图所示，在正三棱柱中，已知，，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正三棱柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】∵一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点，
∴如图所示，将正三棱柱展开2次，∴，
∵正三棱柱的高∴．故选：D．
【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．
例2．（2023·广东·八年级校考期中）如图，长方体的长、宽、高分别为 ．如果一只小虫从点 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ）

A．5B．4C．6D．7
【答案】A
【分析】根据题意把图形展开，连接，得出的长就是从处爬到处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出的长，再比较即可.
【详解】如图将正面与右面展开在同一平面，连接，由勾股定理得：，

如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，由勾股定理得：，
如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，由勾股定理得：，
∴从处爬到处的最短路程是，故选：．
【点睛】此题考查了立方体侧面展开图最短路径问题，解题关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意要进行分类讨论．
例3．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．

【答案】10
【分析】如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，由题意知，，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，
由题意知，，，，∴，
由勾股定理得，，故答案为：10．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理最短路径的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
例4．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（ ）米
A．16B．C．15D．14
【答案】B
【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过P作于G，连接，
∵米，米，∴米，
∴（米），∴（米）
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
模型3.阶梯中的最短路径模型
【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下：

注意：展开—定点—连线—勾股定理
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是________米．
【答案】5
【分析】先将台阶展开，再根据勾股定理求解即可．
【详解】将三级台阶展开，如图所示．可知（米），（米），
根据两点之间线段最短，可知为最短路径，根据勾股定理得（米）．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了根据两点之间线段最短求最短路径，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
例2．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是________．
【答案】
【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．
【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加，
原图长度增加，则，连接，
四边形是长方形，，宽，，
蚂蚱从点爬到点，它要走的路程．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
例3．（2023春·重庆八年级课时练习）在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是______米．
【答案】
【分析】如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为米，
长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，
米，故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键．
模型4.将军饮马与最短路径模型
【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下：
解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计）
A．20B．25C．30D．40
【答案】B
【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．
【详解】把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，
由已知得：，，，
在中，由勾股定理得：，
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．
例2.（2022·陕西·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．

【答案】（1）见解析；（2）100cm
【分析】(1)做出A关于BC的对称点A’，连接A’G，与BC交于点Q，由两点之间线段最短，此时A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G为直角△A’EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：(1)如下图所示，
作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点，
由两点之间线段最短，此时A’G最短，则为最短路线．
(2)∵，∴，∴．
在中，，，∴．
由对称性可知，∴．故小虫爬行的最短路线长为100cm．
【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
例3．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【详解】解：如图所示：作点关于直线的对称点，再连接，交直线于点
则此时最小，过点作延长线于点，
，，，，则，
在中，，则的最小值为：．故选：B．
【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
课后专项训练
1．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长，高，宽，在顶点处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段的长，求出线段的长即可．
【详解】解：把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段的长，
，．故选：B．
【点睛】本题考查最短路径问题，关键是掌握两点之间线段最短，从而可找到最短路径．
2．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图（见解析），将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，作，交延长线于点，则，

由两点之间线段最短可知，当点、F、B在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长度，
由题意可知，，，则，
即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为，故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将立体图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
3．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）如图，正方体的棱长为，已知点B与点C之间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要求正方体中两点之间的最短距离，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：按照正面和右面展开，如下：∴，，∴；

按照正面和下面展开，如下：∴，，∴，
按照上面和右面展开，如下：∴，，∴，
∵，∴需要爬行的最短距离为．故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路线问题，涉及到勾股定理，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短是解题的关键．
4．（2023·四川成都·八年级校考期中）有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为( )

A．3B．C．8D．5
【答案】D
【分析】圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求出结果．
【详解】解：的长就是蚂蚁爬行的最短距离．，分别是，的中点．

，．．故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．
5．（2023·陕西榆林·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，且，．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是 ．

【答案】10
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求．
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，

∵圆柱的底面周长为， ∴． ∵，．∴，
在中，， ∴，
即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm． 故答案为10．
【点睛】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
6．（2023·江苏·八年级专题练习）如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块．一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点A处爬行至右上角的点B处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为 cm．
【答案】
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得；
（2）展开前面上面由勾股定理得；
（3）展开左面上面由勾股定理得．
∵，∴最短路径的长为．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，解题的关键是正确理解两点之间，线段最短．并在平面图形上构造直角三角形解决问题．
7．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，有一个长方体，长、宽、高分别为6，4，4，在长方体的底面A处，有一蚂蚁，它想吃长方体上面与A相对的B点处的食物，那么最短需要爬行的路程是 ．

【答案】10
【分析】将长方体展开，把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【详解】解：第一种情况∶把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是8和6，则所走的最短线段是；
第二种情况∶把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和4，
所以走的最短线段是；
第三种情况∶把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是10和4，所以走的最短线段是；
三种情况比较而言，第一种情况最短，故答案为∶10．
【点睛】考查了平面展开—最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．
8．（2023春·陕西西安·八年级统考期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高厘米，底面周长厘米，在杯口内壁离杯口厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是 厘米．

【答案】
【分析】将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接，
最短距离为的长度，

厘米，最短路程为厘米．故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
9．（2023春·重庆江津·八年级校考阶段练习）如图，圆柱的底面周长为10，，动点从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到点，则移动的最短距离为

【答案】
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长．
【详解】解：如图所示，

∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开一最短路径问题,根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
10．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，已知圆柱底面直径，高．小虫在圆柱表面爬行，先从点C爬行到点A．再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 ．

【答案】100
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，

点A． C的最短距离为线段的长．
在中，，，为底面半圆弧长，，
所以，
∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为．故答案为：100．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
11．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）已知，且x，y均为正数，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】将转化为：，看作是平面直角坐标系中，x轴上一点到点，的距离之和，进而得到当三点共线时，的值最小，即为点和点之间的距离，进行求解即可．
【详解】解：∵，且x，y均为正数，
∴，
∴，
∴可看作是平面直角坐标系中，x轴上一点到点，的距离之和，
∴当三个点共线时，的值最小，即为点和点之间的距离，
∴的最小值为：；故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是将代数式的最值问题转化为坐标系下两点间的距离问题．
12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．
【答案】25
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：将台阶展开矩形，线段恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，
由勾股定理得寸．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 cm．
【答案】15
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ；
又∵圆柱高为，∴小长方形的一条边长是；根据勾股定理求得；
∴；故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘，点在上，．一名滑雪爱好者从点滑到点时，他滑行的最短路程约为 （取3）．
【答案】15
【分析】要使滑行的距离最短，则沿着的线段滑行，先将半圆展开为长方形，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，求出和的长，再据勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：将半圆面展开可得，如图所示：
∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆∴，
∵， ，∴，
在中，．故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，再利用勾股定理求解．
15．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5 ．
（1）一根长7 的木棒能否放人盒子里？__________（选填“能”或“不能”）
（2）一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁爬行的最短行程为__________ ．
【答案】 能
【分析】（1）利用勾股定理求出线段的长度与7比较大小即可；
（2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】如图，
长方体盒子的长、宽、高分别为4 ，3 ，5
∴
（1）在中，
在中，
∴一根长7的木棒能放人盒子里． 故答案为：能；
（2）①如图1，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，

在中，由勾股定理得：；
②如图2，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：；
③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离，
在中，由勾股定理得：．
∴蚂蚁爬行的最短路程是. 故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．
16．（2023春·山东临沂·八年级统考期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是 厘米．

【答案】30
【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为厘米≈36厘米，
作点A关于直线EF的对称点，连接A′B，则的长度即为它爬行最短路程，
∴厘米， 厘米，

∴，故答案为：30．
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．
17．（2022·内蒙古包头·九年级统考自主招生）圆柱的高为，底面半径为，点B离地面，一只蜘蛛以的速度从底面上的点A处绕曲面到达点B捕食被网到的昆虫，蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是多少？（π取3）

【答案】蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是2秒
【分析】将圆柱的侧面展开，先求出，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，
∵底面半径为，∴，由题意得，
∴，∴，∴蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间为：，
答：蜘蛛到昆虫所在点B所用最短时间是2秒．

【点睛】本题考查了常见几何体的展开图，勾股定理的应用，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形，再确定两点之间的最短路径；一般情况是利用的两点之间线段最短，在平面图形中构造直角三角形，用勾股定理求解．
18．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）如图，某工厂前面有一条笔直的公路，原来有两条路，可以从工厂到达公路，经测量，，，现需要修建一条路，使工厂到公路的路程最短．请你用尺规作图画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长．

【答案】图见解析，
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：过点作于点，则线段为新建公路．
，，，，
，是直角三角形．
，，新建路的长为．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用直角三角形的性质是解题关键．
19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可；
（2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；
（2）如图，作出以为斜边的直角，由（1）可知：，
由题意可得：，，，
∴，，，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键．
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．

（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．
【答案】（1）10；（2）13；（3）
【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可；
（2）如图所示，，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可；
（3）如图所示，，，，
，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，，，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，∵，，，
∴由长方形的性质得，，∴，
∴，∴的最小值为10，故答案为：10；
（2）如图所示，，，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，过点B作交延长线于F，
∵，，，∴由长方形的性质，，
∴，∴，∴的最小值为13，故答案为：13；

（3）如图所示，，，，，
∴，，，
∴的面积即为所求，∴
．

【点睛】本题考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解．