2023-2024学年辽宁省鞍山市高一（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市高一（下）月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin(−16π3)=( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
2.“tanx=1”是“x=π4”成立的( )
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.《九章算术》是我国古代的数学专著，卷一《方田》[三三]“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”译成现代汉语，其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少平方步？计算可知，这块田的面积是( )
A. 60平方步B. 90平方步C. 120平方步D. 240平方步
4.已知tanα=2，则sinαcsα=( )
A. −23B. 25C. −45D. 45
5.要得到函数y=2sin2x的图象，只要将函数y=2sin(2x+1)的图象( )
A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移12个单位D. 向右平移12个单位
6.关于函数f(x)=2sin(2x−π3)，下列选项中是f(x)对称中心的有( )
A. (π3,0)B. (π2,0)C. (π6,0)D. (−π6,0)
7.若θ为第三象限角，且tanθ=2，则 1+sinθ1−sinθ− 1−sinθ1+sinθ的值是( )
A. 4B. −4C. 14D. −14
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且|OB|=3|OA|，则( )
A. f(6)= 22
B. f(1)+f(9)=0
C. f(x)在(3,5)上单调递减
D. 函数f(x)的图象关于点(−52,0)中心对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=sin(ωx+φ)x(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A. φ=π3
B. 函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
C. 函数f(x)在[−5π12,π12]上单调递增
D. 将函数f(x)的图象向由右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+π4)的图象
10.下列命题正确的是( )
A. sin(−π10)>sin(−π8)
B. 第一象限角一定是锐角
C. 在与640°角终边相同的角中，最大的负角为−80°
D. sin1⋅cs2>0
11.对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：ℎ)近似地满足函数关系θ=Asinωt+B(A>0,B>0,0<ω<12)，其中0≤t≤24.已知当天开始计时(t=0)时的温度为25℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19℃，则( )
A. ω=π12
B. 当天下午3：00温度最高
C. 温度为28℃是当天晚上7：00
D. 从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22℃
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=sin(x+φ)且f(π3)=−12，写出满足条件的φ的一个值______．
13.cs21°+cs22°+cs23°+…+cs289°= ______．
14.已知sin(x+π6)=13，则sin(5π6−x)+2cs2(x−π3)的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知f(x)=sin(π2+x)cs(3π2−x)tan(π−x)cs(π−x)sin(π+x)．
(1)化简函数f(x)；
(2)若f(α)=3，求sinα+2csα2sinα−csα．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在区间[0,π3]上的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(2x−π6)．
(Ⅰ)求f(2π3)的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间；
(Ⅲ)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最大值与最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，函数f(x)图象关于(−13,0)对称，且函数f(x)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
(1)求ω，φ的值；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)若方程f(x)−m=0在x∈[0,83]有两个根，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，某公园摩天轮的半径为40m，其中心O距地面的高度为50m，该摩天轮按顺时针做匀速转动，每3min转一圈，轮上的点P的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻t(单位：min)时，点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+ℎ(单位：m)，求2024min时，点P距离地面的高度；
(2)当离地面的高度大于50+20 3m时，可以看到公园的全貌，求摩天轮转动一圈过程中，有多少时间可以看到公园全貌．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：sin(−16π3)=sin(−5π−π3)=−sin(5π+π3)=−sin(π+π3)=sinπ3= 32．
故选：D．
原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：tanx=1推不出x=π4，例如x还可以取5π4，
由x=π4可以推出tanx=1，
所以“tanx=1”是“x=π4”成立的必要条件．
故选：B．
根据充分条件和必要条件的定义即可判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为弧长为30步，所在圆的直径为16步，
所以这块田的面积S=12×30×8=120(平方步)．
故选：C．
由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得sinαcsα的值．
【解答】
解：∵tanα=2，
则sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=25，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：将函数y=2sin(2x+1)的图象向右平移12个单位，可得y=2sin2x的图象，
故选：D．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：令2x−π3=kπ，k∈Z，x=12kπ+π6，k∈Z，
则f(x)的对称中心为(12kπ+π6,0)，k∈Z，
令k=0，对称中心为(π6,0)，C正确，其它选项不符合．
故选：C．
根据正弦函数的性质即可得．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可得： 1+sinθ1−sinθ− 1−sinθ1+sinθ= (1+sinθ)21−sin2θ− (1−sinθ)21−sin2θ= (1+sinθ)2cs2θ− (1−sinθ)2cs2θ，
且θ为第三象限角，
则csθ<0，1+sinθ>0，1−sinθ>0，
可得 1+sinθ1−sinθ− 1−sinθ1+sinθ=−1+sinθcsθ+1−sinθcsθ=−2tanθ=−4．
故选：B．
根据题意结合同角三角关系分析求解，注意三角函数值的符号判断．
本题主要考查了同角三角关系的应用，解题时要注意三角函数值的符号判断，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，
所以f(x)max=1，
因为△ABC是等腰直角三角形，
所以|AB|=2=πω，所以ω=π2，
又因为|OB|=3|OA|，
所以点A(−12,0)，所以−12×π2+φ=0，解得φ=π4，
所以f(x)=sin(π2x+π4)；
对于A，f(6)=sin(π2×6+π4)=− 22，故A错误；
对于B，f(x)的最小正周期是4，所以f(1)+f(9)=2f(1)=2sin(π2+π4)= 2，故B错误；
对于C，因为3所以7π4<π2x+π4<11π4，所以函数f(x)在(3,92)上单调递增，在(92,5)上单调递减，故C错误；
对于D，f(−52)=sin(−52×π2+π4)=sin(−π)=0，
所以函数f(x)的图象关于点(−52,0)中心对称，故D正确．
故选：D．
借助图象求出ω、得出解析式后结合正弦型函数性质逐一判断选项即可．
本题考查三角函数的图象和性质，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：由题意可得T4=7π12−π3=π4，故T=π，则ω=2ππ=2，
f(7π12)=sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=−π2+2kπ(k∈Z)，
解得φ=−5π3+2kπ，又|φ|<π2，即φ=−5π3+2π=π3，故A正确；
即f(x)=sin(2x+π3)，当x=−π6时，有2x+π3=0，
故f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，故B正确；
当x∈[−5π12,π12]时，2x+π3∈[−π2,π2]，故C正确；
将函数f(x)的图象向由右平移π12个单位得到
sin(2x−2×π12+π3)=sin(2x+π6)，
故D错误．
故选：ABC．
借助图象周期求出ω、再由定点结合范围求出φ，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．
本题考查三角函数的图象和性质，图象变换，属中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：A：因为−π2<−π8<−π10<0，且函数y=sinx在(−π2,0)单调递增，所以sin(−π10)>sin(−π8)，故A正确；
B：390°是第一象限角，但不是锐角，故B错误；
C：因为640°=720°−80°，故C正确；
D：因为0<1<π2，π2<2<π，所以sin1>0，cs2<0，则sin1cs2<0，故D错误，
故选：AC．
A：利用正弦函数的单调性以及角的大小即可判断，B：举反例即可判断；C：利用终边相同角的定义即可判断；D：利用正余弦函数值的符号即可判断．
本题考查了命题的真假判断，涉及到三角函数线，终边相同角，象限角的定义，考查了学生的理解运算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意知，T=24，所以ω=2πT=π12，选项A正确；
t=0时，对应上午9点，θ=B=25；凌晨3点，对应t=−6，θ=−A+B=19，解得A=6，B=25；
所以下午3点，对应t=6，θ取得最大值为θ=A+B；
即当天下午3：00温度最高，选项B正确；
所以θ=6sin(π12t)+25；
令θ=28，得sin(π12t)=12，解得π12t=π6或5π6，所以t=2或10，
t=2时，对应为上午11点，t=10时，对应为晚上7点，选项C错误；
令θ≤22，得sin(π12t)≤−12，解得−5π6+2kπ≤π12t≤−π6+2kπ，k∈Z；
所以−10+24k≤t≤−2+24k，k∈Z，
k=0时，得−10≤t≤−2，对应时间为当天晚上23：00到第二天清晨7：00，选项D正确．
故选：ABD．
由题意知T=24，求出ω，t=0时对应上午9点，得出θ=B，凌晨3点对应t=−6，得出θ=−A+B，求出A，写出θ的解析式，再判断选项是否正确．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
12.【答案】5π6(答案不唯一)
【解析】解：根据题意，函数f(x)=sin(x+φ)且f(π3)=−12，
则有sin(π3+φ)=−12，即π3+φ=2kπ+7π6或2kπ−π6，(k∈Z)，
变形可得φ=2kπ+5π6或φ=2kπ−π2，(k∈Z)，
φ=5π6是一个符合条件的值．
故答案为：5π6(答案不唯一)．
根据题意，由函数的解析式可得sin(π3+φ)=−12，即π3+φ=2kπ+7π6或2kπ−π6，(k∈Z)，求出φ的值，取其中一个值即可得答案．
本题考查正弦函数的性质，涉及三角函数的求值，属于基础题．
13.【答案】892
【解析】解：cs21°+cs22°+cs23°+…+cs289°
=cs21°+cs22°+cs23°+⋅⋅⋅+sin23°+sin22°+sin21°
=(sin21°+cs21°)+(sin22°+cs22°)+(sin23°+cs23°)+⋅⋅⋅+(sin244°+cs244°)+cs245°
=44×1+12=892．
故答案为：892．
由诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可．
本题考查运用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值，属于基础题．
14.【答案】59
【解析】解：令t=x+π6，则x=t−π6，sint=13，
则sin(5π6−x)+2cs2(x−π3)=sin(π−t)+2cs2(t−π2)=sint+2sin2t=13+29=59．
故答案为：59．
令t=x+π6，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
15.【答案】解：(1)f(x)=sin(π2+x)cs(3π2−x)tan(π−x)cs(π−x)sin(π+x)
=csx(−sinx)(−tanx)(−csx)(−sinx)
=tanx；
(2)若f(α)=tanα=3，
则sinα+2csα2sinα−csα=tanα+22tanα−1=3+22×3−1=1．
【解析】(1)利用诱导公式即可求解；
(2)利用同角三角函数基本关系式即可求解；
本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16.【答案】解：(1)据图分析得T2=5π12−π12=π3，
∴T=23π，
又∵T=2πω，
∴ω=3，
∴函数f(x)=sin(3x+φ)，
∵sin(3×π12π+φ)=1，0<|φ|<12π，
∴φ=π4；
∴f(x)=sin(3x+π4)；
(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，
∴g(x)=sin3[(x−π6)+π4]=sin(3x−π4)，
当x∈[0,π3]时，3x−π4∈[−π4,3π4]，
sin(3x−π4)∈[− 22,1]．
∴当x=π4时，函数g(x)取得最大值1；
当x=0时，函数g(x)取得最小值− 22．
因此函数g(x)在区间[0,π3]上的最大值和最小值分别为1，− 22．
【解析】(1)由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值；
(2)求出g(x)的解析式，再结合正弦函数的性质即可求解结论．
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=2sin(2x−π6)，
所以f(2π3)=2sin(4π3−π6)=2sin7π6=−1；
(Ⅱ)令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ]，k∈Z；
(Ⅲ)当x∈[0,π2]时，−π6≤2x−π6≤5π6，
所以−12≤sin(2x−π6)≤1，
故f(x)的最大值为2，最小值为−1．
【解析】(I)把x=2π3代入已知函数解析式即可求解；
(Ⅱ)结合正弦函数的单调性即可求解；
(Ⅲ)结合正弦函数的最值即可求解．
本题主要考查了正弦函数单调性及最值的求解，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵f(x)图象上相邻的最高点与最低点的距离为4.且A= 3，
∴(T2)2+(2 3)2=16，∴T=4即2πω=4，∴ω=π2，
又f(x)图象关于(−13,0)对称，
∴−13×π2+φ=kπ，k∈Z，∴φ=π6+kπ，k∈Z，
又∵|φ|<π2，∴φ=π6．
(2)f(x)= 3sin(π2x+π6)，
由−π2+2kπ≤π2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z解得−43+4k≤x≤23+4k,k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为[−43+4k,23+4k],k∈Z．
(3)当x∈[0,83]时，f(0)= 32,f(23)= 3，
作出x∈[0,83]时f(x)的图象如下图：

若方程f(x)−m=0在x∈[0,83]有两个根，则 32≤m< 3．
即m的取值范围为{m| 32≤m< 3}.
【解析】(1)根据相邻的最高点与最低点的距离为4求得ω，根据图象关于(−13,0)对称求得φ=π6．
(2)由−π2+2kπ≤π2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z解得f(x)的单调增区间；
(3)作出x∈[0,83]时f(x)的图象，观察图象得m的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，正弦型定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)依题意，A=40，ℎ=50，T=3，则ω=2π3，
由于点P的起始位置在最低点处，则可取φ=−π2，
摩天轮按顺时针做匀速转动，则点P旋转tmin所得的角为−2π3t，
因此f(t)=40sin(−2π3t−π2)+50=−40cs2π3t+50,t≥0，
于是f(2024)=−40cs(2π3×2024)+50=−40cs4π3+50=70，
所以2024min时点P距离地面的高度为70m；
(2)由(1)知f(t)=−40cs2π3t+50,t≥0，
令f(t)>50+20 3，
即−40cs2π3t>20 3，整理得cs2π3t<− 32，
则有2kπ+5π6<2π3t<2kπ+7π6,k∈N，解得3k+54显然(3k+74)−(3k+54)=0.5，
所以转动一圈过程中，有0.5min时间可以看到公园全貌．
【解析】(1)根据题意得到振幅，最小正周期，求出ω=2π3，再求出φ=−π2，得到函数解析式，求出f(2024)；
(2)在(1)的基础上，得到f(t)>50+20 3，解不等式，求出3k+54本题考查三角函数的解析式的求法及三角函数的性质的应用，属于中档题．