2024年山西省太原市迎泽区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2024年山西省太原市迎泽区中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的绝对值是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果.下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. 2× 3= 6B. 3÷(− 5)=−35
C. 5a2+a3=6a3D. (−3a2)3=−9a4
4.瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌，在商业包装中有着举足轻重的作用.如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何体的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，点E，F分别在直线AB，CD上，AB/​/CD，G是直线AB上方一点，∠FEG=76°，∠CFE=56°，若EH平分∠FEG，则∠BEH的度数为( )
A. 14°B. 16°C. 18°D. 28°
6.如图，点A是反比例函数y=kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值是( )
A. 3
B. −6
C. 6
D. −3
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，直线EF与⊙O相切于点A，且AB=AD.若∠BAE=35°，则∠BCD的度数为( )
A. 35°
B. 55°
C. 70°
D. 80°
8.化简15−x+10x2−25的结果为( )
A. x+5B. x−5C. −1x+5D. 1x+5
9.杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来测定物体质量的简易衡器.如图1所示是兴趣小组自制的一个无刻度简易杆秤，其使用原理：将待测物挂于秤钩A处，提起提纽B，在秤杆上移动金属秤锤C(质量为1.5kg)，当秤杆水平时，金属秤锤C所在的位置对应的刻度就是待测物的质量(量程范围内).为了给秤杆标上刻度，兴趣小组做了如下试验，用m(单位：kg)表示待测物的质量，l(单位：cm)表示秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离，则水平距离l与待测物质量m之间的关系如图2所示．

根据以上信息，下列说法正确的是( )
A. 待测物的质量越大(量程范围内)，秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离越小
B. 当待测物的质量m为3kg时，测得水平距离l为8cm
C. 若秤锤C在水平距离l为15cm的位置，则秤杆在此处的刻度应为5kg
D. 若秤杆长为80cm，则杆秤的最大称重质量为40kg
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s.设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若最简二次根式 a+3与 5是同类二次根式，则a=______．
12.黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”(桃、李、梅、杏、枣)之一“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打______折.
13.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH.若OB=5，则OH的长为______．
14.苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物.如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要______根小木棒.(用含n的代数式表示)
15.如图，在正方形ABCD中，F是AB边上一点，连接CF，过点B作BE⊥CF于点E，连接AE并延长，交BC边于点G.若AF=1，BC=4，则线段CG的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(−4+1)−(−5)0+(−4)2×4−1
(2)化简：(1m+2−2mm2−4)÷m+2m2−2m．
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠ACB<90°．
(1)实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)
①作AC的垂直平分线交AC于点O，交BC于点D；
②在线段DO的延长线上截取线段OE，使OE=OD，连接AE，CE，AD．
(2)猜想与证明：试猜想四边形ADCE的形状，并进行证明．
18.(本小题8分)
“杨花榆荚无才思，惟解漫天作雪飞”，每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰.某市为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，随机抽取了部分市民进行问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

解答下列问题：
(1)本次接受调查的市民共有______人，在扇形统计图中，E所对应的扇形圆心角的度数为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该市共有500万人，请估计该市选择”A.减少杨树新增面积，控制每年杨树的栽种量”的人数有多少万人．
19.(本小题8分)
为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品.校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案(只能选择其中一种)．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买x个A种奖品，且x是5的倍数，选择方案一的总费用为y1元，选择方案二的总费用为y2元.
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
20.(本小题10分)
项目化学习：
项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图．
成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务：
任务一：填空：如图2，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆CF与伞体支架DE的关系是______；
任务二：请你参照“创新小组”的项目结果进行计算(注意：计算结果均精确到0.1米)．
①如图3，求立柱上的滑动调节点P离地面AB的距离约多少米；
②如图4，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子BQ的长．
21.(本小题8分)
阅读材料，并解决下列问题：
在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值.我们知道，面积为2的正方形的边长为 2，易知 2>1.因此可设 2=1+x.如图1所示构造边长为1+x的正方形，则它的面积为( 2)2=2，
根据图中面积关系，得x2+2x+1=2，
略去x2，得2x+1≈2，解得x≈0.5，∴ 2=1+x≈1.5，
易知 2<1.5，因此可设 2=1.5−x.如图2所示构造边长为1.5−x的正方形，则它的面积为( 2)2=2，

(1)上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______.(填序号即可)
A.数形结合B.统计C.分类讨论D.转化
(2)把上述内容补充完整，使 2的近似值更加准确.(结果精确到0.001)
22.(本小题12分)
综合与探究
如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.P是抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，过点P作直线PF/​/AC，交y轴于点F，交BC于点G，连接DF，过点C作CH⊥PD于点H．
(1)求二次函数的表达式，并直接写出直线BC的函数表达式．
(2)求线段GE的最大值．
(3)在点P运动的过程中，是否存在点F，使△DOF≌△CHE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：如图1，正方形纸片ABCD和EFGB有公共顶点B，其中AB=4 5，BE=4，将正方形EBGF绕点B按顺时针方向旋转α．
观察发现：(1)如图2，当α<90°时，连接AE，CG，小组成员发现AE与CG存在一定的关系，其数量关系是______，位置关系是______．
探索研究：(2)当A，E，F三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时DE的长度．
拓展延伸：(3)猜想图3中CF与FG的数量关系并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的绝对值是2，
即|−2|=2．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，
C.该图既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
D.该图既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意，
故选：D．
轴对称图形是沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形是绕某点旋转180°与原图形完全重合，根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A.∵ 2× 3= 6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
B.∵ 3÷(− 5)=− 155，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵5a2，a3不是同类二次根式，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵(−3a2)3=−27a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
A.根据二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可；
B.根据二次根式的除法法则进行计算，然后判断即可；
C.先判断5a2，a3是不是同类二次根式，能否合并，然后判断即可；
D.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式和二次根式的有关运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则和幂的乘方与积的乘方法则．
4.【答案】B
【解析】解：从正面看，可得选项B的图形．
故选：B．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠FEG=76°，EH平分∠FEG，
∴∠FEH=12∠FEG=38°，
∵AB/​/CD，∠CFE=56°，
∴∠BEF=∠CFE=56°，
∴∠BEH=∠BEF−∠FEH=56°−38°=18°，
故选：C．
根据∠FEG=76°，EH平分∠FEG得到∠FEH=12∠FEG=38°，根据AB/​/CD，∠CFE=56°得到∠BEF=∠CFE=56°，即可得到答案．
本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC/​/AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=12|k|，
∴12|k|=3，
∵k<0，
∴k=−6．
故选：B．
连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
7.【答案】C
【解析】解：作直径AM，连接AC，BM，
∴∠ABM=90°，
∵EF切圆于A，
∴直径AM⊥FE，
∴∠M+∠BAM=∠EAB+∠BAM=90°，
∴∠M=∠EAB=35°，
∵AE=AD，
∴AB=AD，
∴∠ACB=∠ACD=∠M=35°，
∴∠BCD=35°+35°=70°．
故选：C．
作直径AM，连接AC，BM，由圆周角定理得到∠ABM=90°，由切线的性质推出直径AM⊥FE，由余角的性质推出∠M=∠EAB=35°，由圆心角、弧、弦的关系得到AB=AD，由圆周角定理推出∠ACB=∠ACD=∠M=35°，于是得到∠BCD=35°+35°=70°．
本题考查圆周角定理，切线的性质，圆心角、弧、弦的关系，关键是由切线的性质，圆周角定理求出∠M=35°，由圆周角定理推出∠ACB=∠ACD=∠M=35°．
8.【答案】C
【解析】解：15−x+10x2−25
=−1x−5+10(x+5)(x−5)
=−x−5(x+5)(x−5)+10(x+5)(x−5)
=−x+5(x+5)(x−5)
=−1x+5．
故选：C．
先通分，再加减．
本题考查了分式的运算，掌握异分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，待测物体的质量越大，则秤杆水平时秤锥C与提纽B的水平距离越大，故A错误，不符合题意；
由图2可知，待测物体质量为3kg，则秤杆水平时秤锤C与提纽B之间的水平距离l为8cm，故B正确，符合题意；
若秤锤C在水平距离l为15cm的位置时，则秤杆D处的刻度应为15÷83=458(kg)，故C错误，不符合题意；
若l=80cm，则杆秤的最大称重质量为80÷83=30(kg)，故D错误，不符合题意；
故选：B．
根据题意，即可判断A错误；由图象可判断B正确；根据B可判断C，D错误．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得：12(16−2t)(12−2t)=12×12×16×12，
整理得：t2−14t+24=0，
解得：t=2或t=12，
当t=2时，16−2t=12，12−2t=8，符合题意；
当t=12时，16−2t=−8，12−2t=−12，不符合题意，舍去；
∴t=2，
故选：B．
由三角形面积公式结合题意△PCQ的面积是△ABC的面积的一半，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及三角形面积公式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵最简二次根式 a+3与 5是同类二次根式，
∴a+3=5，
解得：a=2，
故答案为：2．
根据同类二次根式的定义得出a+3=5，再求出a即可．
本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
12.【答案】九
【解析】解：设打x折销售，
由题意可得：21×x10−18≥18×5%，
x≥9，
答：至多打九折，
故：答案为：九．
设打x折销售，由要保证利润率不低于5%，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DH⊥AB，即∠BHD=90°，
∴OH=12BD=OB=5．
故答案为：5．
根据平行四边形的性质，可得OB=OD，再由直角三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】(7n+2)
【解析】解：∵第1个图形中木棒的根数为：9=7+2，
第2个图形中木棒的根数为：16=7×2+2，
第3个图形中木棒的根数为：23=7×3+2，
…，
∴第n图形中木棒的根数为：7n+2，
故答案为：(7n+2)．
通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加7根，据此可求解．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．
15.【答案】1613
【解析】解：作EH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是正方形，BC=4，AF=1，
∴∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴BF=AB−AF=4−1=3，
∴CF= BC2+BF2= 42+32=5，
∵BE⊥CF于点E，
∴∠BEF=90°，
∴HFEF=EFBF=cs∠BFC=BFCF=35，HEEF=sin∠BFC=BCCF=45，
∴EF=35BF=35×3=95，
∴HF=35EF=35×95=2725，HE=45EF=45×95=3625，
∴AH=AF+HF=1+2725=5225，
∵∠AHE=∠ABG=90°，∠HAE=∠BAG，
∴△AHE∽△ABG，
∴HEBG=AHAB=52254=1325，
∴BG=2513HE=2513×3625=3613，
∴CG=BC−BG=4−3613=1613，
故答案为：1613．
作EH⊥AB于点H，由正方形的性质得∠ABC=90°，AB=BC=4，而AF=1，则BF=3，求得CF=5，由BE⊥CF于点E，得∠BEF=90°，则HFEF=EFBF=cs∠BFC=BFCF=35，HEEF=sin∠BFC=BCCF=45，求得EF=35BF=95，则HF=35EF=2725，HE=45EF=3625，所以AH=AF+HF=5225，再证明△AHE∽△ABG，得HEBG=AHAB=1325，求得BG=2513HE=3613，所以CG=BC−BG=1613，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=−3−1+16×14
=−4+4
=0．
(2)原式=(1m+2−2mm2−4)÷m+2m2−2m
=(m−2(m+2)(m−2)−2m(m+2)(m−2))⋅m(m−2)m+2
=m−2−2m(m+2)(m−2)⋅m(m−2)m+2
=−(m+2)⋅m(m+2)(m+2)
=−mm+2．
【解析】(1)根据实数的性质进行化简即可求解．
(2)根据异分母的通分，提公因式、平方差公式因式分解的整式的运算法则即可求解．
此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知实数的性质及整式的运算法则．
17.【答案】解：(1)按照要求，如图所示，即为所求作的图形．
．
(2)猜想：四边形ADCE为菱形．
证明：∵DE为AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵OD=OE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴四边形ADCE为菱形．
【解析】(1)利用尺规作垂直平分线的方法画图，再按照要求取点连线即可．
(2)先猜想四边形ADCE为菱形，再证明，由于DE为AC的垂直平分线，故OA=OC，又因为OD=OE，可证明四边形ADCE为平行四边形，然后利用DE⊥AC即可证明出四边形是菱形．
本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、垂直平分线的性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
18.【答案】2000 28.8°
【解析】解：(1)本次接受调查的市民共有300÷15%=2000(人)，
在扇形统计图中，E所对应的扇形圆心角的度数为360°×1602000=28.8°；
故答案为：2000，28.8°；
(2)D选项的人数为2000×25%=500(人)，
补全条形统计图如图：
(3)500×15%=75(万人)，
答：估计该市选择“A.减少杨树新增面积，控制每年杨树的栽种量”的人数有75万人．
(1)根据A组人数以及百分比求解即可求出调查的人数，根据圆心角=360°×百分比，即可求出E所对应的扇形圆心角的度数；
(2)求出D选项的人数，即可补全条形统计图；
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】解：(1)根据题意，得y1=20x+15(300−x−x5)=2x+4500，
y2=20x+15×80%×(300−x)=8x+3600．
(2)由y1>y2，得2x+4500>8x+3600．
解得x<150；
∴购买A种奖品少于150个时，方案一支付费用少．
由y1=y2，得2x+4500=8x+3600．
解得x=150；
∴购买A种奖品150个时，方案一和方案二支付费用一样多；
由y1解得x>150．
∴购买A种奖品超过150个时，方案二支付费用少；
答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．
【解析】(1)根据总费用=A，B两种奖品费用之和列出y1、y2关于x的函数解析式；
(2)根据(1)中解析式分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出函数解析式．
20.【答案】CF/​/DE，CF=12DE
【解析】解：任务一：∵AB/​/PE，AC⊥AB，
∴PE⊥AC，
∴∠CPE=90°，
∵∠DPE=15°，
∴∠CPF=75°，
∵PD=2米，点F为PD的中点，
∴PF=2PD=1米，CF=PF=12PD，
∴∠FCP=∠FPC=75°，
∴∠CFD=∠FCP+∠FPC=150°，
∵PD=CD，
∴∠DPC=∠DCP=15°，CF=12DE，
∴∠D=180°−∠DPC−∠DCP=150°，
∴∠D=∠CFD，
∴CF/​/DE，
∴CF/​/DE，CF=12DE；
故答案为：CF/​/DE，CF=12DE；
任务二：①如图2所示，过点P作PH/​/AB交BE于H，过点F作FG⊥AC于G，
由题意得∠ABE=65°，∠PEH=90°，
∵PH/​/AB，
∴∠EHP=∠ABE=65°，
∴∠EPH=25°，
由任务一可知∠CPH=90°，CF=PF=1米，
又∵∠DPE=15°，
∴∠FPC=50°；
∵CF=PF=1米，FG⊥AC，
∴PC=2PG，
在Rt△PFG中，PG=PF⋅cs∠FPG=1⋅cs50°≈0.64(米)，
∴PC=2PG=1.28米，
∴PA=AC−PC≈1.5米，
∴立柱上的滑动调节点P离地面AB的距离约1.5米；
②如图3所示，过点P作PH/​/AB交BE于H，过点D作DK⊥PE于K，
∵DP=DE，
∴PE=2PK，
在Rt△DPK中，PK=PD⋅cs∠DPK=2⋅cs15°≈1.94(米)，
∴PE=2PK=3.88米，
在Rt△PHE中，PH=PEsin∠PHE=3.88sin65∘≈4.3(米)，
∵PQ//BH，PH//BQ，
∴四边形PQBH是平行四边形，
∴BQ=PH=4.3米，
∴伞体在地面上留下的影子BQ的长为4.3米．
任务一：先证明PE⊥AC得到∠CPE=90°，则∠CPF=75°，再证明CF=PF，推出∠CFD=∠FCP+∠FPC=150°，再由PD=CD，得到∠DPC=∠DCP=15°，CF=12DE，进而得到∠D=∠CFD=150°，即可得到CF//|DE，CF=12DE；
任务二：①如图2所示，过点P作PH/​/AB交BE于H，过点F作FG⊥AC于G，由题意得∠ABE=65°，∠PEH=90°，求出∠EPH=25°，进而得到∠FPC=50°；由等腰三角形三线合一定理得到PC=2PG，解Rt△PFG得到PG≈0.64米，则PC=2PG=1.28米，即可得到PA=AC−PC≈1.5米；
②如图所示，过点P作PH/​/AB交BE于H，过点D作DK⊥PE于K，由三线合一定理得到PE=2PK，解Rt△DPK，得到PK≈1.94米，则PE=2PK=3.88米，再解Rt△PHE得到PH≈4.3米，证明四边形PQBH是平行四边形，得到BQ=PH=4.3米，则伞体在地面上留下的影子BQ的长为4.3米．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定等等，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】A
【解析】解：(1)由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想，
故选：A；
(2)根据图中面积关系，得1.52−x2−2x(1.5−x)=2，
整理得x2−3x+2.25=2，
略去x2，得−3x+2.25≈2，解得x≈0.0833，
∴ 2=1.5−x≈1.5−0.0833≈1.417．
(1)由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想；
(2)根据图中面积关系，得1.52−x2−2x(1.5−x)=2，然后根据实例的方法进行求解即可；
本题考查了无理数的估算，正确理解题意，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得：y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)=ax2+bx+2，
则a=−12，
则抛物线的表达式为：y=−12x2+32x+2，
则点C(0,2)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−12x+2；
(2)设点P(m,−12m2+32m+2)，则点E(m,−12m+2)，H(m,2)，
过点E作ME/​/x轴交过点G和y轴的平行线于点M，则∠GEM=∠CBA，
由直线BC的表达式知，tan∠CBA=12=tan∠GEM，
则cs∠GEM=2 5，
则CE=MEcs∠GEM= 52ME，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=2x+2，
∵PF/​/AC，
则直线PF的表达式为：y=2(x−m)−12m2+32m+2，
联立上式和直线BC的表达式为：−12x+2=2(x−m)−12m2+32m+2，
解得：xG=15(m2+m)，
则ME=xE−xG=m−15(m2+m)=−15m2+45m，
∵−15<0，
当m=2时，ME有最大值为45，
则CE的最大值为：2 55；
(3)存在，理由：
当点F在x轴的下方时，如下图，过点F作FM⊥PD交于点M，则四边形ODMF为矩形，
则DM=OF，FM=DO，

由(2)知，点P(m,−12m2+32m+2)，则点E(m,−12m+2)，H(m,2)，
则tan∠EPC=tan∠OBC=12，
∵△DOF≌△CHE，
则DO=CH=MF=m，OF=DM=HE=2+12m−2=12m，
则PM=−12m2+32m+2+12m=−12m2+2m+2，
在Rt△PFM中，tan∠FPM=FMPM=m−12m2+2m+2=12，
解得：m=−2(舍去)或2，
即点F(0,−1)；
当点F在x轴的上方时，
同理可得：m−12m2+m+2=12，
解得：m=−1− 5(舍去)或−1+ 5，
即点F(0, 5−12)，
综上，点F的坐标为：(0,−1)或(0, 5−12).
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)证明CE=MEcs∠GEM= 52ME，而ME=xE−xG=m−15(m2−m)=−15m2+65m，即可求解；
(3)证明tan∠EPC=tan∠OBC=12，由△DOF≌△CHE，得到DO=CH=MF=m，OF=DM=HE=2+12m−2=12m，
则PM=−12m2+32m+2+12m=−12m2+2m+2，在Rt△PFM中，tan∠FPM=FMPM=m−12m2+2m+2=12，即可求解；当点F在x轴的上方时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、线段长度的表示方法、三角形全等等，确定线段长度的表示方法是解题的关键．
23.【答案】AE=CG AE⊥CG
【解析】解：(1)如图1，
延长AE，交CG于点H，交BC于点O，
在正方形纸片ABCD和EFGB中，
∠ABC=∠EBG=90°，AB=CB，BE=BG，
∴∠ABC−∠CBE=∠EBG−∠CBE，
∴∠ABE=∠CBG，
∴△ABE≌△CBG(SAS)，
∴AE=CG，∠BAE=∠BCG，
∴∠ABE+∠AOB=∠BCG+∠AOB=90°，
∵∠COH=∠AOB，
∴∠BCG+∠COH=90°，
∴∠CHA=90°，
∴AE⊥CG，
故答案为：AE=CG，AE⊥CG；
(2)如图2，
当点E在AF上时，
∵四边形EFGB是正方形，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEB=90°，
作EM⊥AB于M，作EN⊥AD于N，
∴∠AME=∠BEM=∠ANE=∠AFB=90°，
∴四边形AMEN是矩形，
∵cs∠ABE=BMBE=BEAB，
∴BM4=44 5，
∴BM=4 55，
∴EM= BE2−BM2= 42−(4 55)2=8 55，
∴AM=AB−BM=4 5−4 55=16 55，
AN=EM=8 55，
∴DN=AD−AN=4 5−8 55=12 55，
∴DE= DN2+EN2= (12 55)2+(16 55)2=4 5，
如图3，
当E在AF的延长线上时，
由上知：EM=8 55，EN=16 55，
∴DN=AD+AN=4 5+8 55=28 55，
∴DE= (16 55)2+(28 55)2=4 13，
综上所述：DE=4 5或4 13；
(3)如图2和图3中，
AE= AB2−BE2= (4 5)2−42=8，
由(1)得CG=AE=8，
∴图2中，CF=FG，
图3中，CF=3FG，
综上所述：CF=FG或CF=3FG．
(1)证明△ABE≌△CBG(SAS)，从而AE=CG，∠BAE=∠BCG，进一步得出结果；
(2)分为两种情形：当点E在AF上时，由cs∠ABE=BMBE=BEAB，求得BM=4 55，EM=8 55，从而得出AM=AB−BM=4 5−4 55=16 55，AN=EM=8 55，进一步得出结果；当E在AF的延长线上时，结合上面情形得出EM=8 55，EN=16 55，进而得出结果；
(3)结合(1)和(2)得出AE= AB2−BE2= (4 5)2−42=8，CG=AE=8，进而得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是画出图象，分类讨论．调查问卷治理杨絮——您选哪一项？(单选)A.减少杨树新增面积，控制每年杨树的栽种量B.调整树种结构，逐渐更换现有杨树C.选育无絮杨树品种，并推广种植D.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮E.其他
项目主题
遮阳伞下的影子
项目素材
我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表：
时刻
12：00
13：00
14：00
15：00
16：00
17：00
太阳光线与地面的夹角α(度)
90
80
65
50
35
20
参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，sin15°≈0.26，cs15°≈0.97， 2≈1.4, 3≈1.7．
示意图
测量数据
如图，某款遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，CF为悬托支杆，F为PD的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为△PDE，DP、DE为伞体支架，且DP=DE，测量得到AC=2.8米，PD=2米，CF=1米，∠DPE=15°．
项目结果
“智慧小组”
“创新小组”
“奋斗小组”
中午12：00时，太阳光线与地面垂直时，将点P的位置进行适当调整，使PE/​/AB，遮阳效果最佳．
下午14：00时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
下午17：00时，…
项目反思
…