还剩21页未读，
继续阅读
2024年山东省济宁市曲阜市中考数学二模试卷（含解析）
展开
这是一份2024年山东省济宁市曲阜市中考数学二模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.为了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为−2℃，最高气温为7℃.则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)为( )
A. −9℃B. −5℃C. 5℃D. 9℃
2.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
A. B. C. D.
3.下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (−ab3)2=a2b6D. 2a6÷a3=2a2
5.某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．
在下列统计量，不受影响的是( )
A. 中位数，方差B. 众数，方差C. 平均数，中位数D. 中位数，众数
6.如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为( )
A. 2
B. π2
C. π4
D. 1
7.如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形( )
A. 6个
B. 7个
C. 9个
D. 10个
8.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=3：2，过点B作BE//AC，过点C作CE//DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC=( )
A. 29B. 14C. 26D. 310
9.如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.=An−IAn，过A1、A2、A3、A4、A5.An分别作x轴的垂线与反比例函数y=4x的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5.Pn，并设ΔOA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3.△An−1AnPn面积分别为S1、S2、S3.Sn，按此作法进行下去，Sn的值为(n为正整数)( )
A. 4n
B. n2
C. 12n
D. 2n
10.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE=DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE.下列结论：①CH=BE；②CH⊥BE；③S△GCE=S△GDH；④当E是CD的中点时CFHF=23；⑤当EC=2DE时，S正方形ABCD=6S四边形DEGH，其中正确结论的序号是( )
A. ①②③⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ①②④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：4−4y2= ______．
12.我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络，截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中数64580000用科学记数法可表示为______．
13.若x1，x2是关于x的方程x2−2x−5=0的两个实数根，则代数式x12−3x1−x2+4的值是______．
14.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根是______．
15.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC//AD，CD//AB.若⊙O的半径为1，则图中阴影部分的面积是______(结果保留π)．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
(1)计算：−2−1+( 3−π)0−| 3−2|−2sin60°；
(2)解方程：2x+3=1x−1．
17.(本小题7分)
某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷(每人必选且只能选一种支付方式)，在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)随机调查的顾客有______人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数______．
(2)将条形统计图补充完整．
(3)若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
(4)在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−2,1)，C(−1,3)．
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4,0)，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)求出(2)中点A旋转到点A2所经过的路径长．
19.(本小题8分)
综合与实践
20.(本小题7分)
如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若tan∠BAD=23，AC=9，求⊙O的半径．
21.(本小题9分)
(1)【阅读理解】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.试判断CD与AB的数量关系.解决此问题可以用如下方法：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE.易证四边形ACBE是矩形，得到AB=EC，即可作出判断.则CD与AB的数量关系为______；
(2)【问题探究】如图②，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB.若BC=2，求CE的长度；
(3)【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D是边AB的中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？
22.(本小题10分)
如图，抛物线y=−12x2+bx与x轴交于点A(5,0)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点B(1,m)是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若OCCD=54，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使得∠OPA=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：7−(−2)=9(℃)．
故选：D．
根据题意列出式子再进行计算即可．
本题考查有理数的减法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是：
故选：A．
根据平行投影的定义判断即可．
本题考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义．
4.【答案】C
【解析】解：A.a2与a3不是同类项不能合并，故A错误；
B.a2⋅a3=a5，底数不变指数相加，故B错误；
C.(−ab3)2=a2b6，故C正确；
D.2a6÷a3=2a3，底数不变指数相减，故D错误；
故选：C．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，熟记整式的运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为：20−2−8−3=7，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为：15+152=15(岁)，
故统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案．
本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：连接AQ，BQ，
∵∠P=45°，
∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB=2，
∴2BQ2=4，
∴BQ= 2．
故选：A．
连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：五边形的内角和为(5−2)×180°=540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°−108°×3=360°−324°=36°，
360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
∴10−3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
先根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
8.【答案】A
【解析】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=3：2，
∴设AB=3x，BC=2x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形BOCE是菱形．
∴OE与BC垂直平分，
∴EF=12BC=12AD=x，OE//AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE=AB，
∴CF=12OE=12AB=32x.
∴tan∠EDC=EFDF=x3x+32x=29．
故选：A．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G.根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12BC=12AD=x，CF=12OE=12AB=32x.再由锐角三角函数定义作答即可．
本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=12|k|=2．
又因为OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5
所以S1=2，S2=12S1=1，S3=13S1=23，S4=14S1=24，S5=15S1=25．
依此类推：Sn的值为2n．
故选：D．
根据反比例函数y=kx中k的几何意义再结合图象即可解答．
主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．
10.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，AD//BC，∠BCD=∠CDA=90°，
在△CBE和△DCH中，
BC=CD∠BCE=∠CDH=90°CE=DH，
∴△CBE≌△DCH(SAS)，
∴BE=CH，
故结论①正确；
②∵△CBE≌△DCH，
∴∠CBE=∠DCH，
∵∠BCF+∠DCH=∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CH⊥BE，
故结论②正确；
③过点G作GP⊥CD于P，GQ⊥AD于Q，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，BD为一对角线，
∴BD平分∠CDA，
∴GP=GQ，
又∵CE=DH，
∴S△GCE=S△GDH，
故结论③正确；
④当E是CD的中点时，如图2所示：
设正方形ABC的边长为2a，
∴BC=CD=DA=2a，
∵E是CD的中点，CE=DH，
∴CE=DH=a，
由勾股定理得：BE=CH= BC2+CE2= 5a，
由结论②正确可知：CH⊥BE，
由三角形面积得：S△BCE=12BE⋅CF=12BC⋅CE，
∴CF=BC⋅CEBE=2a×a 5a=2 5a5，
∴HF=CH−CF= 5a−2 5a5=3 5a5，
∴CFHF=23，
故结论④正确；
⑤当EC=2DE时，如图3所示：
∴DE：CE=1：2，
∴S△GDE：S△GCE=DE：CE=1：2，
设S△GDE=x，S△△GCE=2x，
由结论③正确得：S△GDH=S△GEC=2x，
∴S四边形DEGH=S△GDE+S△GDH=x+2x=3x，
∵EC=2DE，
∴CE：CD=2：3，
∵CE=DH，BC=CD，
∴DH：BC=CE：CD=2：3，
∵AD//BC，
∴△GDH∽△GCB，
∴S△GDHS△GCB=(DHBC)2=49，
∴S△GCB=94S△GDH=94×2x=4.5x，
∴S△BCD=S△GCB+S△GEC+S△GDE=4.5x+2x+x=7.5x，
∴S正方形ABCD=2S△BCD=2×7.5x=15x，
∴S正方形ABCD=5S四边形DEGH，
故结论⑤不正确．
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选：B．
①证明△CBE和△DCH全等，根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；
②由△CBE≌△DCH得∠CBE=∠DCH，再根据∠BCF+∠DCH=∠BCD=90°得∠BCF+∠CBE=90°，由此可对结论②进行判断；
③过点G作GP⊥CD于P，GQ⊥AD于Q，根据正方形性质得GP=GQ，再根据CE=DH可对结论③进行判断；
④当E是CD的中点时，设正方形ABC的边长为2a，则BE=CH= 5a，根据三角形面积得求出CF=2 5a5，则HF=CH−CF=3 5a5，进而得CFHF=23，由此可对结论④进行判断；
⑤当EC=2DE时，则DE：CE=1：2，DH：BC=CE：CD=2：3，由此得S△GDE：S△GCE=1：2，设S△GDE=x，则S△GCE=2x，由结论③正确得S△GDH=S△GEC=2x，则S四边形DEGH=3x，证△GDH和△GCB相似得S△GCB=4.5x，进而得S△BCD=S△GCB+S△GEC+S△GDE=7.5x，则S正方形ABCD=2S△BCD=15x，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
11.【答案】4(1+y)(1−y)
【解析】解：4−4y2=4(1−y2)=4(1+y)(1−y)．
故答案为：4(1+y)(1−y)．
提公因式法分解因式即可．
本题主要考查了提公因法分解因式，解题的关键是掌握因式分解放方法．
12.【答案】6.458×107
【解析】解：64580000用科学记数法可表示为6.458×107．
故答案为：6.458×107．
根据科学记数法的方法进行解题即可．
本题考查了科学记数法，在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为a×10n的形式时，我们要注意两点：①a必须满足：1≤|a|<10；②n比原来的数的整数位数少1(也可以通过小数点移位来确定n).熟练掌握以上知识点是解题的关键，
13.【答案】7
【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2−2x−5=0的两根，
∴x12−2x1=5，x1+x2=2，
∴x12−3x1−x2+4=(x12−2x1)−(x1+x2)+4
=5−2+4
=7．
故答案为：7．
由一元二次方程的解结合根与系数的关系，可得出x12−2x1=5、x1+x2=2，将其代入x12−3x1−x2+9=(x12−2x1)−(x1+x2)+4中即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
14.【答案】−3或−2
【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象过(0,2)，(1,2)，
得方程ax2+bx+c=2的根是x=0或1，
故方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根满足x+3=0或1，
故方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根是x=−3或−2．
故答案为：−3或−2．
由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象过(2,0)，得方程ax2+bx+c=2的根是x=0，即可得方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根满足x+3=0，故方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根是x=−3．
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是正确应用整体思想．
15.【答案】32−π4
【解析】解：∵∠DAB=45°，BC//AD，CD//AB，
∴∠DOB=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OD=OB=1，AB=2，
∴阴影部分的面积为：2×1−1×12−90π×12360=32−π4，
故答案为：32−π4．
根据题意和图形，可知阴影部分的面积为平行四边形ABCD的面积−△AOD的面积−扇形BOD的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、圆周角定理、平行四边形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】解：(1)−2−1+( 3−π)0−| 3−2|−2sin60°
=−12+1−(2− 3)−2× 32
=−12+1−2+ 3− 3
=−12−1
=−32；
(2)2x+3=1x−1，
2(x−1)=(x+3)，
2x−2=x+3，
x=5，
经检验x=5是原方程的解，
故原方程的解为x=5．
【解析】(1)先计算幂运算，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可得解；
(2)将分式方程改为整式方程求解，再验算即可．
本题考查实数的混合运算(涉及特殊角的三角函数值、分母有理化、负整数指数幂和有理数的乘方)，解分式方程等知识，解题的关键是掌握实数的混合运算法则，解分式方程的方法．
17.【答案】200 90°
【解析】解：(1)这次活动共调查了(45+50+15)÷(1−15%−30%)=200(人)，
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为360°×50200=90°，
故答案为：200，90°
(2)微信的人数为200×30%=60(人)，银行卡的人数为200×15%=30(人)，
补全图形如下：
(3)选择“支付宝”支付的人约有1800×45200=405(人)；
(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13．
(1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“现金”人数所占比例即可得；
(2)根据题意将条形统计图补充完整即可；
(3)用总人数乘以对应百分比可得“支付宝”的人数；
(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
18.【答案】解：(1)如图，
∵点C(−1,3)的对应点C1(4,0)，
∴横坐标+5，纵坐标−3，
∴点A1(−3+5,5−3)即A1(2,2)，
(2)如图，旋转90°后点C2的坐标为(−3,−1)，
(3)如图，点A旋转到点A2 所经过的路径是弧长，
由旋转性质可知，∠AOA2=90°，OA= 32+52= 34，
∴点A旋转到点A2所经过的弧长为90π× 34180= 342π．
【解析】(1)根据三角形在平面直角坐标系点的平移变化，记住对应点一定作相同的变化即可；
(2)根据旋转性质，△ABC绕点O逆时针旋转90°，结合图形，对应点C2易求解；
(3)求点A旋转到点A2所经过的路径长，转化为求弧长即可．
本题考查了旋转变换和平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，弧长公式的应用．
19.【答案】解：思考一：∵CD=x，篱笆共40米，MN=12米，
∴BC=[12(40−x)]米，
∴S=12(40−x)⋅x=−12(x−20)2+200，
由题意得，0∴当x=12时，S取最大值为168平方米，
思考二：如图，AN=(x−12)米，
∴BC=(26−x)米，(12≤x<26)，
∴S=(26−x)⋅x=−(x−13)2+169，
∴当x=13时，S取最大值为169平方米，
∵168<169，
∴矩形种植园的面积最大值为169平方米．
【解析】已知CD=x，篱笆共40米，MN=12米，可求得BC的长，根据矩形面积公式可得S，由自变量x的取值范围确定S的最大值，判断思考一与思考二两种方案中的S的最大值可得．
本题考查了二次函数的应用，关键是根据自变量范围确定最大值．
20.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠BDC=∠A，
∴∠BDC+∠ODB=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠ADB=90°，tan∠BAD=23，
∴BDAD=23，
∵∠C=∠C，∠BDC=∠BAD，
∴△BDC∽△DAC，
∴CDAC=BCCD=BDAD=23，
∵AC=9，
∴CD9=23，
∴CD=6，
∴BC6=23，
∴BC=4，
∴AB=AC−BC=9−4=5．
∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径为52．
【解析】(1)连接OD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；
(2)证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出CDAC=BCCD=BDAD=23，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】CD=12AB
【解析】解：(1)CD=12AB，理由如下：
延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，则CD=12CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE=AB，
∴CD=12AB；
故答案为：CD=12AB；
(2)如图2中，设CE交AB于点O．
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，
∴∠A=∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD=∠DCE，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCE=∠A，
∴∠BCE=∠ACD=∠DCE=30°，
∴CO=CB⋅cs30°=2× 32= 3，
∵DA=DE，DA=DC，
∴DC=DE，
∵DO⊥CE，
∴CO=OE= 3，
∴CE=2 3；
(3)过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，
∵DG⊥AC，AC⊥BC，
∴DG//BC．
∵D是边AB中点，
∴DG=12BC，
同理：DH=12AC，
∵AC=BC，
∴DG=DH．
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH=90°．
∴∠GDF+∠FDH=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠GDF+∠EDG=90°．
∴∠EDG=∠FDH．
在△EDG和△FDH中，
∠EGD=∠FHD=90°GD=HD∠EDG=∠FDH，
∴△EDG≌△FDH(ASA)．
∴DE=DF．
∴△EDF为等腰直角三角形，
当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，
即M所经过的路径为12AB，
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB= 2AC=4 2，
∴EF的中点M所经过的路径长为2 2．
(1)延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，则CD=12CE，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
(2)如图2中，设CE交AB于点O.证明CO=OE，可得结论；
(3)过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，证明四边形DGCH为正方形，再证明△EDG≌△FDH(ASA).推出DE=DF.△EDF为等腰直角三角形，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)由已知得−12×25+b×5=0，
b=52，
∴y=−12x2+52x.
(2)作CE⊥OA于E，DF⊥OA于F．
当x=1时，
m=−12×12+52×1=2，
点B坐标为(1,2)．
设AB解析式为：y=kx+b，
2=k+b,0=5k+b.，
解得k=−12,b=52．．
∴y=−12x+52．
∵OCCD=54，
∴OCOD=59．
∵CE⊥OA于E，DF⊥OA于F，
∴CE//DF，
∴OCOD=OEOF=CEDF=59，
设E点坐标为(m,0)，
∴点C坐标为(m,−12m+52)，
点F坐标为(95m,0)，
点D坐标为(95m,−910m+92).
∵点D在抛物线上，
∴−12×(95m)2+52×95m=−910m+92，
∴9m2−30m+25=0，
m1=m2=53．
∴点D坐标为(3,3)．
(3)作过O、P、A三点的圆M，连接OM，AM，PM，作MN⊥OA于N，
∵∠OPA=45°，
∴∠AMO=90°，
∵OM=OA，OA=5，
又∵MN⊥OA，
∴ON=AN=MN=2.5，
∴点M坐标为(2.5,−2.5)，
∴OA=OM=5 22，
∴PM=5 22，
设点P坐标为(x,y)，
∴(x−2.5)2+(y+2,5)2=(5 22)2，
∴x2−5x+y2+5y=0，
∵y=−12x2+52x.
∴y2+3y=0，
∴y1=0，(不合题意舍去)，y2=−3．
∴y=−3，
∴−3=−12x2+52x，
∴x1=−1，x2=6，
∴点P坐标为(−1,−3)或(6,−3)．
【解析】(1)用待定系数法，把点A(5,0)代入y=−12x2+bx中，求出b.得到表达式．
(2)过C，D作OA的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点D坐标．
(3)添加过三点的圆，利用45度圆周角，得到90度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设P的坐标，P既在抛物线上又在圆上，列方程，求出P的坐标．
此题把抛物线和平行线，圆的知识结合在一起，综合性较强，难度较大，得分率较低．年龄(岁)
12岁
13岁
14岁
15岁
16岁
人数(个)
2
8
3
矩形种植园最大面积探究
情境
实践基地有一长为12米的墙MN.研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园.假设矩形一边CD=x，矩形种值园的面积为S．
分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园(边AB为墙MN的一部分)
思考二；将墙MN的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园(墙MN为边AB的一部分)
解决问题
根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．
1.为了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为−2℃，最高气温为7℃.则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)为( )
A. −9℃B. −5℃C. 5℃D. 9℃
2.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是( )
A. B. C. D.
3.下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (−ab3)2=a2b6D. 2a6÷a3=2a2
5.某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．
在下列统计量，不受影响的是( )
A. 中位数，方差B. 众数，方差C. 平均数，中位数D. 中位数，众数
6.如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为( )
A. 2
B. π2
C. π4
D. 1
7.如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形( )
A. 6个
B. 7个
C. 9个
D. 10个
8.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=3：2，过点B作BE//AC，过点C作CE//DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC=( )
A. 29B. 14C. 26D. 310
9.如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.=An−IAn，过A1、A2、A3、A4、A5.An分别作x轴的垂线与反比例函数y=4x的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5.Pn，并设ΔOA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3.△An−1AnPn面积分别为S1、S2、S3.Sn，按此作法进行下去，Sn的值为(n为正整数)( )
A. 4n
B. n2
C. 12n
D. 2n
10.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE=DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE.下列结论：①CH=BE；②CH⊥BE；③S△GCE=S△GDH；④当E是CD的中点时CFHF=23；⑤当EC=2DE时，S正方形ABCD=6S四边形DEGH，其中正确结论的序号是( )
A. ①②③⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ①②④⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：4−4y2= ______．
12.我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络，截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中数64580000用科学记数法可表示为______．
13.若x1，x2是关于x的方程x2−2x−5=0的两个实数根，则代数式x12−3x1−x2+4的值是______．
14.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根是______．
15.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC//AD，CD//AB.若⊙O的半径为1，则图中阴影部分的面积是______(结果保留π)．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
(1)计算：−2−1+( 3−π)0−| 3−2|−2sin60°；
(2)解方程：2x+3=1x−1．
17.(本小题7分)
某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷(每人必选且只能选一种支付方式)，在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)随机调查的顾客有______人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数______．
(2)将条形统计图补充完整．
(3)若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
(4)在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−2,1)，C(−1,3)．
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4,0)，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
(3)求出(2)中点A旋转到点A2所经过的路径长．
19.(本小题8分)
综合与实践
20.(本小题7分)
如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若tan∠BAD=23，AC=9，求⊙O的半径．
21.(本小题9分)
(1)【阅读理解】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.试判断CD与AB的数量关系.解决此问题可以用如下方法：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE.易证四边形ACBE是矩形，得到AB=EC，即可作出判断.则CD与AB的数量关系为______；
(2)【问题探究】如图②，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB.若BC=2，求CE的长度；
(3)【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，D是边AB的中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？
22.(本小题10分)
如图，抛物线y=−12x2+bx与x轴交于点A(5,0)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点B(1,m)是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若OCCD=54，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使得∠OPA=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：7−(−2)=9(℃)．
故选：D．
根据题意列出式子再进行计算即可．
本题考查有理数的减法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是：
故选：A．
根据平行投影的定义判断即可．
本题考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义．
4.【答案】C
【解析】解：A.a2与a3不是同类项不能合并，故A错误；
B.a2⋅a3=a5，底数不变指数相加，故B错误；
C.(−ab3)2=a2b6，故C正确；
D.2a6÷a3=2a3，底数不变指数相减，故D错误；
故选：C．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，熟记整式的运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为：20−2−8−3=7，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为：15+152=15(岁)，
故统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案．
本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：连接AQ，BQ，
∵∠P=45°，
∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB=2，
∴2BQ2=4，
∴BQ= 2．
故选：A．
连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：五边形的内角和为(5−2)×180°=540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°−108°×3=360°−324°=36°，
360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
∴10−3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
先根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
8.【答案】A
【解析】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC=3：2，
∴设AB=3x，BC=2x．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．
∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形BOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形BOCE是菱形．
∴OE与BC垂直平分，
∴EF=12BC=12AD=x，OE//AB，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴OE=AB，
∴CF=12OE=12AB=32x.
∴tan∠EDC=EFDF=x3x+32x=29．
故选：A．
如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G.根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12BC=12AD=x，CF=12OE=12AB=32x.再由锐角三角函数定义作答即可．
本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=12|k|=2．
又因为OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5
所以S1=2，S2=12S1=1，S3=13S1=23，S4=14S1=24，S5=15S1=25．
依此类推：Sn的值为2n．
故选：D．
根据反比例函数y=kx中k的几何意义再结合图象即可解答．
主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．
10.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，AD//BC，∠BCD=∠CDA=90°，
在△CBE和△DCH中，
BC=CD∠BCE=∠CDH=90°CE=DH，
∴△CBE≌△DCH(SAS)，
∴BE=CH，
故结论①正确；
②∵△CBE≌△DCH，
∴∠CBE=∠DCH，
∵∠BCF+∠DCH=∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CH⊥BE，
故结论②正确；
③过点G作GP⊥CD于P，GQ⊥AD于Q，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，BD为一对角线，
∴BD平分∠CDA，
∴GP=GQ，
又∵CE=DH，
∴S△GCE=S△GDH，
故结论③正确；
④当E是CD的中点时，如图2所示：
设正方形ABC的边长为2a，
∴BC=CD=DA=2a，
∵E是CD的中点，CE=DH，
∴CE=DH=a，
由勾股定理得：BE=CH= BC2+CE2= 5a，
由结论②正确可知：CH⊥BE，
由三角形面积得：S△BCE=12BE⋅CF=12BC⋅CE，
∴CF=BC⋅CEBE=2a×a 5a=2 5a5，
∴HF=CH−CF= 5a−2 5a5=3 5a5，
∴CFHF=23，
故结论④正确；
⑤当EC=2DE时，如图3所示：
∴DE：CE=1：2，
∴S△GDE：S△GCE=DE：CE=1：2，
设S△GDE=x，S△△GCE=2x，
由结论③正确得：S△GDH=S△GEC=2x，
∴S四边形DEGH=S△GDE+S△GDH=x+2x=3x，
∵EC=2DE，
∴CE：CD=2：3，
∵CE=DH，BC=CD，
∴DH：BC=CE：CD=2：3，
∵AD//BC，
∴△GDH∽△GCB，
∴S△GDHS△GCB=(DHBC)2=49，
∴S△GCB=94S△GDH=94×2x=4.5x，
∴S△BCD=S△GCB+S△GEC+S△GDE=4.5x+2x+x=7.5x，
∴S正方形ABCD=2S△BCD=2×7.5x=15x，
∴S正方形ABCD=5S四边形DEGH，
故结论⑤不正确．
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选：B．
①证明△CBE和△DCH全等，根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；
②由△CBE≌△DCH得∠CBE=∠DCH，再根据∠BCF+∠DCH=∠BCD=90°得∠BCF+∠CBE=90°，由此可对结论②进行判断；
③过点G作GP⊥CD于P，GQ⊥AD于Q，根据正方形性质得GP=GQ，再根据CE=DH可对结论③进行判断；
④当E是CD的中点时，设正方形ABC的边长为2a，则BE=CH= 5a，根据三角形面积得求出CF=2 5a5，则HF=CH−CF=3 5a5，进而得CFHF=23，由此可对结论④进行判断；
⑤当EC=2DE时，则DE：CE=1：2，DH：BC=CE：CD=2：3，由此得S△GDE：S△GCE=1：2，设S△GDE=x，则S△GCE=2x，由结论③正确得S△GDH=S△GEC=2x，则S四边形DEGH=3x，证△GDH和△GCB相似得S△GCB=4.5x，进而得S△BCD=S△GCB+S△GEC+S△GDE=7.5x，则S正方形ABCD=2S△BCD=15x，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
11.【答案】4(1+y)(1−y)
【解析】解：4−4y2=4(1−y2)=4(1+y)(1−y)．
故答案为：4(1+y)(1−y)．
提公因式法分解因式即可．
本题主要考查了提公因法分解因式，解题的关键是掌握因式分解放方法．
12.【答案】6.458×107
【解析】解：64580000用科学记数法可表示为6.458×107．
故答案为：6.458×107．
根据科学记数法的方法进行解题即可．
本题考查了科学记数法，在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为a×10n的形式时，我们要注意两点：①a必须满足：1≤|a|<10；②n比原来的数的整数位数少1(也可以通过小数点移位来确定n).熟练掌握以上知识点是解题的关键，
13.【答案】7
【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2−2x−5=0的两根，
∴x12−2x1=5，x1+x2=2，
∴x12−3x1−x2+4=(x12−2x1)−(x1+x2)+4
=5−2+4
=7．
故答案为：7．
由一元二次方程的解结合根与系数的关系，可得出x12−2x1=5、x1+x2=2，将其代入x12−3x1−x2+9=(x12−2x1)−(x1+x2)+4中即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
14.【答案】−3或−2
【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象过(0,2)，(1,2)，
得方程ax2+bx+c=2的根是x=0或1，
故方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根满足x+3=0或1，
故方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根是x=−3或−2．
故答案为：−3或−2．
由二次函数y=ax2+bx+c的部分图象过(2,0)，得方程ax2+bx+c=2的根是x=0，即可得方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根满足x+3=0，故方程a(x+3)2+b(x+3)+c=2的根是x=−3．
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是正确应用整体思想．
15.【答案】32−π4
【解析】解：∵∠DAB=45°，BC//AD，CD//AB，
∴∠DOB=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OD=OB=1，AB=2，
∴阴影部分的面积为：2×1−1×12−90π×12360=32−π4，
故答案为：32−π4．
根据题意和图形，可知阴影部分的面积为平行四边形ABCD的面积−△AOD的面积−扇形BOD的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、圆周角定理、平行四边形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】解：(1)−2−1+( 3−π)0−| 3−2|−2sin60°
=−12+1−(2− 3)−2× 32
=−12+1−2+ 3− 3
=−12−1
=−32；
(2)2x+3=1x−1，
2(x−1)=(x+3)，
2x−2=x+3，
x=5，
经检验x=5是原方程的解，
故原方程的解为x=5．
【解析】(1)先计算幂运算，绝对值，特殊角的三角函数值，再合并即可得解；
(2)将分式方程改为整式方程求解，再验算即可．
本题考查实数的混合运算(涉及特殊角的三角函数值、分母有理化、负整数指数幂和有理数的乘方)，解分式方程等知识，解题的关键是掌握实数的混合运算法则，解分式方程的方法．
17.【答案】200 90°
【解析】解：(1)这次活动共调查了(45+50+15)÷(1−15%−30%)=200(人)，
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为360°×50200=90°，
故答案为：200，90°
(2)微信的人数为200×30%=60(人)，银行卡的人数为200×15%=30(人)，
补全图形如下：
(3)选择“支付宝”支付的人约有1800×45200=405(人)；
(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13．
(1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“现金”人数所占比例即可得；
(2)根据题意将条形统计图补充完整即可；
(3)用总人数乘以对应百分比可得“支付宝”的人数；
(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
18.【答案】解：(1)如图，
∵点C(−1,3)的对应点C1(4,0)，
∴横坐标+5，纵坐标−3，
∴点A1(−3+5,5−3)即A1(2,2)，
(2)如图，旋转90°后点C2的坐标为(−3,−1)，
(3)如图，点A旋转到点A2 所经过的路径是弧长，
由旋转性质可知，∠AOA2=90°，OA= 32+52= 34，
∴点A旋转到点A2所经过的弧长为90π× 34180= 342π．
【解析】(1)根据三角形在平面直角坐标系点的平移变化，记住对应点一定作相同的变化即可；
(2)根据旋转性质，△ABC绕点O逆时针旋转90°，结合图形，对应点C2易求解；
(3)求点A旋转到点A2所经过的路径长，转化为求弧长即可．
本题考查了旋转变换和平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，弧长公式的应用．
19.【答案】解：思考一：∵CD=x，篱笆共40米，MN=12米，
∴BC=[12(40−x)]米，
∴S=12(40−x)⋅x=−12(x−20)2+200，
由题意得，0
思考二：如图，AN=(x−12)米，
∴BC=(26−x)米，(12≤x<26)，
∴S=(26−x)⋅x=−(x−13)2+169，
∴当x=13时，S取最大值为169平方米，
∵168<169，
∴矩形种植园的面积最大值为169平方米．
【解析】已知CD=x，篱笆共40米，MN=12米，可求得BC的长，根据矩形面积公式可得S，由自变量x的取值范围确定S的最大值，判断思考一与思考二两种方案中的S的最大值可得．
本题考查了二次函数的应用，关键是根据自变量范围确定最大值．
20.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠BDC=∠A，
∴∠BDC+∠ODB=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠ADB=90°，tan∠BAD=23，
∴BDAD=23，
∵∠C=∠C，∠BDC=∠BAD，
∴△BDC∽△DAC，
∴CDAC=BCCD=BDAD=23，
∵AC=9，
∴CD9=23，
∴CD=6，
∴BC6=23，
∴BC=4，
∴AB=AC−BC=9−4=5．
∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径为52．
【解析】(1)连接OD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，证出OD⊥CD，由切线的判定可得出结论；
(2)证明△BDC∽△DAC，由相似三角形的性质得出CDAC=BCCD=BDAD=23，由比例线段求出CD和BC的长，可求出AB的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】CD=12AB
【解析】解：(1)CD=12AB，理由如下：
延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，则CD=12CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE=AB，
∴CD=12AB；
故答案为：CD=12AB；
(2)如图2中，设CE交AB于点O．
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，
∴∠A=∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD=∠DCE，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCE=∠A，
∴∠BCE=∠ACD=∠DCE=30°，
∴CO=CB⋅cs30°=2× 32= 3，
∵DA=DE，DA=DC，
∴DC=DE，
∵DO⊥CE，
∴CO=OE= 3，
∴CE=2 3；
(3)过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，
∵DG⊥AC，AC⊥BC，
∴DG//BC．
∵D是边AB中点，
∴DG=12BC，
同理：DH=12AC，
∵AC=BC，
∴DG=DH．
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH=90°．
∴∠GDF+∠FDH=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠GDF+∠EDG=90°．
∴∠EDG=∠FDH．
在△EDG和△FDH中，
∠EGD=∠FHD=90°GD=HD∠EDG=∠FDH，
∴△EDG≌△FDH(ASA)．
∴DE=DF．
∴△EDF为等腰直角三角形，
当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，
即M所经过的路径为12AB，
∵AC=BC=4，∠C=90°，
∴AB= 2AC=4 2，
∴EF的中点M所经过的路径长为2 2．
(1)延长CD到E，使DE=CD，连接AE，BE，则CD=12CE，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
(2)如图2中，设CE交AB于点O.证明CO=OE，可得结论；
(3)过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，证明四边形DGCH为正方形，再证明△EDG≌△FDH(ASA).推出DE=DF.△EDF为等腰直角三角形，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)由已知得−12×25+b×5=0，
b=52，
∴y=−12x2+52x.
(2)作CE⊥OA于E，DF⊥OA于F．
当x=1时，
m=−12×12+52×1=2，
点B坐标为(1,2)．
设AB解析式为：y=kx+b，
2=k+b,0=5k+b.，
解得k=−12,b=52．．
∴y=−12x+52．
∵OCCD=54，
∴OCOD=59．
∵CE⊥OA于E，DF⊥OA于F，
∴CE//DF，
∴OCOD=OEOF=CEDF=59，
设E点坐标为(m,0)，
∴点C坐标为(m,−12m+52)，
点F坐标为(95m,0)，
点D坐标为(95m,−910m+92).
∵点D在抛物线上，
∴−12×(95m)2+52×95m=−910m+92，
∴9m2−30m+25=0，
m1=m2=53．
∴点D坐标为(3,3)．
(3)作过O、P、A三点的圆M，连接OM，AM，PM，作MN⊥OA于N，
∵∠OPA=45°，
∴∠AMO=90°，
∵OM=OA，OA=5，
又∵MN⊥OA，
∴ON=AN=MN=2.5，
∴点M坐标为(2.5,−2.5)，
∴OA=OM=5 22，
∴PM=5 22，
设点P坐标为(x,y)，
∴(x−2.5)2+(y+2,5)2=(5 22)2，
∴x2−5x+y2+5y=0，
∵y=−12x2+52x.
∴y2+3y=0，
∴y1=0，(不合题意舍去)，y2=−3．
∴y=−3，
∴−3=−12x2+52x，
∴x1=−1，x2=6，
∴点P坐标为(−1,−3)或(6,−3)．
【解析】(1)用待定系数法，把点A(5,0)代入y=−12x2+bx中，求出b.得到表达式．
(2)过C，D作OA的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点D坐标．
(3)添加过三点的圆，利用45度圆周角，得到90度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设P的坐标，P既在抛物线上又在圆上，列方程，求出P的坐标．
此题把抛物线和平行线，圆的知识结合在一起，综合性较强，难度较大，得分率较低．年龄(岁)
12岁
13岁
14岁
15岁
16岁
人数(个)
2
8
3
矩形种植园最大面积探究
情境
实践基地有一长为12米的墙MN.研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园.假设矩形一边CD=x，矩形种值园的面积为S．
分析
要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．
探究
思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园(边AB为墙MN的一部分)
思考二；将墙MN的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园(墙MN为边AB的一部分)
解决问题
根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．
相关试卷
2024年山东省济宁市曲阜市中考数学一模试卷（含详细答案解析）： 这是一份2024年山东省济宁市曲阜市中考数学一模试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024年山东省济宁市曲阜市中考数学二模试题： 这是一份2024年山东省济宁市曲阜市中考数学二模试题，共6页。
2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷 （含解析）： 这是一份2024年山东省济宁市曲阜市夫子学校中考数学一模试卷 （含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
