2023-2024学年新疆乌鲁木齐六十一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐六十一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关于棱锥、棱台的说法正确的是( )
A. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B. 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图.若B′C′=2，A′B′=2，∠A′B′C′=30°，则△ABC的面积为( )
A. 2
B. 2 2
C. 4
D. 4 2
3.下列命题是真命题的是( )
A. 空间任意三个点确定一个平面B. 一个点和一条直线确定一个平面
C. 两两相交的三条直线确定一个平面D. 两两平行的三条直线确定一个或三个平面
4.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中AB与CD的位置关系是( )
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 不平行
5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是( )
A. 若m/​/α，n/​/α，则m/​/n
B. 若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α/​/β
C. 若m⊥α，n/​/α，则m⊥n
D. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则α/​/β
6.如图，在平行四边形ABCD中，AE=13AO，延长DE交AB于点F．AB=a，AD=b.则DF=( )
A. 15a−bB. a−15bC. 25a−bD. 25a+15b
7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2−c2=4，C=π3，则△ABC的面积为( )
A. 33B. 2 33C. 3D. 2 3
8.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN/​/平面ABC的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 在正方体ABCD−A′B′C′D′中，直线BD′与B′C是异面直线
B. 梯形的直观图仍是梯形
C. 在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
10.已知复数z满足zi=(1−2i)2，则( )
A. |z|=5B. z在复平面内对应的点位于第四象限
C. z2=7−12iD. z−是方程x2+8x+25=0的一个解
11.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若a2+b2C. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D. 若b=2，A=30°的三角形有两解，则a的取值范围为(1,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量a=(1,2)，b=(2,λ)，且a⊥b，则实数λ= ______．
13.若复数z满足(1+ 3i)z=| 3−i|，则z的虚部为______．
14.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知复数z=m+2+(m−2)i(i为虚数单位)，求适合下列条件的实数m的值；
(1)z为实数；
(2)z为虚数；
(3)z为纯虚数．
16.(本小题13分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC/​/平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(1)求证：AD/​/平面PBC；
(2)求证：CE/​/平面PAB．
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a, 3b)与n=(csA,sinB)平行．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO上的一点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)若O′是PO的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；
(2)当OO′为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．
19.(本小题17分)
已知|a|=4，|b|=3，(2a−3b)⋅(2a+b)=61．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a−2b|；
(3)若AB=a，BC=b，求△ABC的周长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，选项A错误；
两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，选项B错误，选项D正确；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，选项C错误．
故选：D．
由棱锥的定义可判断A，由棱台的定义可判断BCD．
本题考查了棱锥与棱台的定义与应用问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，直观图△A′B′C′中，由于B′C′=2，A′B′=2，∠A′B′C′=30°，
则△A′B′C′的面积S′=12×B′C′×A′B′×sin∠A′B′C′=1，
故原图△ABC的面积S=2 2S′=2 2．
故选：B．
根据题意，由三角形面积公式求出直观图的面积，结合原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对于A项，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题；
对于B项，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面，
如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题．
对于C项，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；
当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题；
对于D项，两两平行的三条直线，根据推理(3)可以确定一个或三个平面，所以D正确．
故选：D．
根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解．
本题考查基本事实，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，可将展开图还原为如图的正方体，
易得AB/​/CD．
故选：A．
根据题意，将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案．
本题考查直线与直线的位置关系，涉及正方体的展开图，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：若m/​/α，n/​/α，则m/​/n或m与n相交或m与n异面，故A错误；
若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α/​/β或α与β相交，故B错误；
若m⊥α，n/​/α，由直线与平面垂直的性质可得m⊥n，故C正确；
若m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，当m与n相交时，有α/​/β，否则，α与β不一定平行，故D错误．
故选：C．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：平行四边形ABCD中，AE=13AO=16AC，AB=a，AD=b，
所以AF=15DC=15a，
则DF=DA+AF=−b+15a．
故选：A．
由已知结合向量的线性运算即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由余弦定理可知csC=a2+b2−c22ab，
所以csπ3=(a+b)2−c2−2ab2ab=4−2ab2ab=12，
解得ab=43，
所以△ABC的面积S=12absinC=12×43×sinπ3=12×43× 32= 33．
故选：A．
由余弦定理可知csC=a2+b2−c22ab，结合完全平方公式可求出ab=43，再利用三角形面积公式求解即可．
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间中线面平行的判定定理，考查了数形结合思想的应用，注意解题方法的积累，属于基础题．
根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解．
【解答】
解：对于A，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN//EF//AC，可得直线MN/​/平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得MN//BF，可得直线MN/​/平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN/​/BD，可得直线MN/​/平面ABC，能满足；
对于D，作出完整的截面，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．
故选：D．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A，如图所示：
平面BCB′外一点D′与平面BCB′内一点B的连线BD′与平面BCB′内不经过点B的直线B′C是异面直线，选项A正确；
对于B，根据斜二测画法可知，平行于x轴或y轴的直线在直观图中仍然平行于x轴或y轴，选项B正确；
对于C，如图所示：
四面体D−A′BC′，它的每个面都是等边三角形，选项C正确；
对于D，如图所示：
平面ABCD//平面A′B′C′D′，且其余各面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，选项D错误．
故选：ABC．
根据异面直线的判定定理可知A正确；由斜二测画法可知B正确；根据正方体的结构特征可知C正确；由棱柱的定义可知，D错误．
本题考查了立体几何中的基本概念应用问题，也考查了推理于判断能力，是中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：由zi=(1−2i)2，得z=(1−2i)2i=−3−4ii=(−3−4i)(−i)−i2=−4+3i，
∴|z|= (−4)2+32=5，故A正确；
z在复平面内对应的点的坐标为(−4,3)，位于第二象限，故B错误；
z2=(−4+3i)2=7−24i，故C错误；
z−=−4−3i，方程x2+8x+25=0的解为x=−8±6i2=−4±3i，
∴z−是方程x2+8x+25=0的一个解，故D正确．
故选：AD．
把已知等式变形求解z，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为sinA>sinB，由正弦定理可得a>b，所以A>B，A正确；
对于B，由余弦定理csC=a2+b2−c22ab<0，可知C为钝角，B正确；
对于C，因为acsA=bcsB，所以sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，
即△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不正确；
对于D，因为三角形有两解，所以bsinA故选：ABD．
由正弦定理和余弦定理可判断A，B，利用正弦定理和倍角公式可判断C，结合三角形解的情况可判断D．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
12.【答案】−1
【解析】解：因为a=(1,2)，b=(2,λ)，且a⊥b，
所以a⋅b=0，即a⋅b=1×2+2λ=0，解得λ=−1．
故答案为：−1
依题意可得a⋅b=0，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】− 32
【解析】解：(1+ 3i)z=| 3−i|= ( 3)2+(−1)2=2，
z=21+ 3i=12− 32i
所以复数z的虚部为− 32，
故答案为：− 32．
对复数进行化简计算，得到其标准形式，然后得到答案．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式的应用，还考查了复数的基本概念，属于基础题．
14.【答案】 33π
【解析】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，
因为4π=πl2，所以l=2，
半圆的弧长为2π，
圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，
所以圆锥的体积为：13×π12× 22−1= 33π．
故答案为： 33π．
通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．
本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．
15.【答案】解：(1)若z为实数，则m−2=0，解得m=2；
(2)若z为虚数，则m−2≠0，解得m≠2；
(3)若z为纯虚数，则m+2=0m−2≠0，解得m=−2．
【解析】(1)根据题意结合复数的相关概念可得m−2=0，运算求解即可；
(2)根据题意结合复数的相关概念可得m−2≠0，运算求解即可；
(3)根据题意结合复数的相关概念可得m+2=0m−2≠0，运算求解即可．
本题考查了实数、虚数和纯虚数的定义，是基础题．
16.【答案】证明：(1)因为BC/​/平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以AD//BC，
又BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，则AD/​/平面PBC；
(2)取PA中点F，连接EF，BF，易得EF/​/AD，且EF=12AD，

由(1)知AD//BC且BC=12AD，
则EF/​/BC且EF=BC，则四边形BCEF为平行四边形，则CE/​/BF，
又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，则CE/​/平面PAB．
【解析】(1)由线面平行的性质可证得AD//BC，进而证得AD/​/平面PBC；
(2)取PA中点F，先证四边形BCEF为平行四边形，进而证得CE/​/BF，即可证得CE/​/平面PAB．
本题考查了线面平行的证明，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为m/​/n，所以asin B− 3bcs A=0，由正弦定理，得sin Asin B− 3sin Bcs A=0，
又sin B≠0，从而tan A= 3，
由于0(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccs A，及a= 7，b=2，A=π3，
得7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0，
因为c>0，所以c=3．
故△ABC的面积为12bcsin A=3 32．
【解析】(1)利用向量平行得到坐标的等式，求出A；
(2)利用余弦定理得到关于c的等式，求出c，然后由三角形的面积公式求面积．
本题考查了平面向量的平行以及解三角形；正确求出A是解答的关键．
18.【答案】解：(1)设圆柱的底面半径为r，
由三角形中位线定理可得，r=a4，圆柱的母线长为OO′=a2，
又圆锥的母线长为l= a2+a24= 52a，
所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，
则S=π×(a2)2+π×a2× 52a+2π×a4×a2= 5+24πa2，
圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积，
即V=13π(a2)2×a−π(a4)2×a2=596πa3；
(2)设OO′=x，由平面几何知识可知，a−xa=ra2，
所以r=12(a−x)，
故被挖去的圆柱的侧面积为S=2πr⋅x=πx(a−x)≤π(x−a−x2)2=πa24，
当且仅当x=a2时取等号，即OO′=a2时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为πa24．
【解析】本题考查了旋转体的理解与应用，圆锥的体积公式以及表面积公式，圆柱的体积公式以及表面积公式的应用，基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
(1)根据圆锥、圆柱的侧面积、表面积和体积公式求解即可；
(2)设OO′=x，用x的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值．
19.【答案】解：(1)∵(2a−3b)⋅(2a+b)=61，
∴4(a)2−4a⋅b−3(b)2=61，
又|a|=4，|b|=3，∴64−4a⋅b−27=61，
∴a⋅b=−6，∴csθ=a⋅b|a||b|=−64×3=−12，
又0≤θ≤π，∴θ=23π；
(2)∵|a−2b|2=(a)2−4a⋅b+(2b)2=16−4×(−6)+4×9=76，
∴|a+2b|=2 19；
(3)因为AB与BC的夹角θ=23π，
∴∠ABC=π−23π=π3，又|AB|=|a|=4，|BC|=|b|=3，
又AC=AB+BC=a+b，
所以|AC|2=|a+b|2=(a)2+2a⋅b+(b)2=16+2×(−6)+9=13，
则|AC|= 13；
所以△ABC周长为4+3+ 13=7+ 13．
【解析】(1)结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可；
(2)利用|a−2b|2=(a−2b)2，展开化简即可得到答案；
(3)结合(1)可得∠ABC=π3，利用AC=AB+BC可得|AC|= 13，从而求得△ABC的周长．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．