2024年湖南省初中学业水平考试冲刺卷（六）数学试题

这是一份2024年湖南省初中学业水平考试冲刺卷（六）数学试题，共8页。

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．−2024的绝对值是（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
2．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5abB．2a2+3a2=6a4
C．a2⋅a6=a8D．a6÷a3=a2
3．第十四届全国人民代表大会第二次会议2024年3月5日在北京人民大会堂开幕．李强总理在政府工作报告中回顾过去一年，成绩来之不易、鼓舞人心——国内生产总值超过126万亿元．请将126000000000000用科学记数法表示为（ ）
A．126×1012B．12.6×1013C．1.26×1014D．0.126×1015
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．九（2）班同学张铭每周有五天晨跑锻炼身体，他记录的上周每次跑步的时间（单位：min）分别为：19，23，20，19，21.这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．20，19B．21，19C．23，19D．19，20
6．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=35°时，∠DCB的度数是（ ）
A．55°B．70°C．60°D．35°
第5题图 第6题图
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，ACA．11B．13C．73D．45
8．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形
9．伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力F1(N)和阻力臂L1(m)的函数图象如图，若小明想使动力F2不超过150N，则动力臂L2（单位：m)需满足（ ）
A．04D．L2≥4
10．“强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下4×4网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（ ）
A．强B．国C．有D．我
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若使代数式2−x有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式：a3−a= ．
13．如图是正方体的展开图，图中的六个正方形内分别标有：我、爱、树、德、实、验，将其围成一个正方体后，与“我”所在面相对面上的字是 ．
14．一个不透明的盒子中有红黄两种颜色的小球12个，它们除颜色外，其他都相同．小婷从中随机抽取一个小球后又放回，经过反复试验，发现从中抽取的小球中红色小球和黄色小球的次数的比稳定在0.5左右，那么估计红色小球的个数为 ．
15．若关于x的一元二次方程x2−8x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是 （写出一个即可）．
16．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是12米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是6米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 名观众同时观看演出．（π取3.14，3取1.73）
第16题图 第17题图 第18题图

17．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为 尺．
18．如图①，在菱形ABCD中，∠D=120°，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长度为x，PE与PB的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
19．计算：−3−2π−10+16+13−1．
20．解不等式组：x−32+3≥x−1①1−3x−1<8−x②并把解集在数轴上表示出来．
21．为了解某区初中生每周锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全区随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组3≤t<4，B组4≤t<5，C组5≤t<6，D组6≤t<7，E组7≤t<8进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)这次抽样调查的学生总人数为______，D组的频数为 ；
(2)A组所在扇形的圆心角度数为______°；
(3)若该区共有2500名初中生，请估算每周锻炼时间不低于6小时的学生共有______名．
22．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37∘，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．参考数据：sin37∘≈35,cs37∘≈45,tan37∘≈34,sin22∘≈38,cs22∘≈1516,tan22∘≈0.4
(1)真空管上端B到水平线AD的距离．
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．
23．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
24．已知，如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE=CF，连接BE、AE．
(1)求证：△CDF≌△EBF；
(2)求证：四边形AEBD是菱形；
(3)若BC=8，BE=5，求菱形AEBD的面积．
25．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点1,1，12,12，−2,−2都是和谐点．
(1)判断函数y=2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数y=ax2+6x+ca≠0的图象上有且只有一个和谐点52,52．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y=ax2+6x+c+14(a≠0)的最小值为－1，最大值为3，求实数m的取值范围．
26．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，BC=43，D是BC的中点．经过A，B，D三点的⊙O交AC于点E，连接BE．
(1)求AE和BE的长；
(2)如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接PQ．
①记AP=x，当△PQC的面积最大时，求x的值；
②如图3，连接BP并延长交⊙O于点F，连接AF、FE．当BE平分∠FBC时，求sin∠ABF的值．
湖南省2024年初中学业水平考试冲刺卷（六）
参考答案
选择题
填空题
11．x≤2 12．aa+1a−1 13．德 14．4
15．15，答案不唯一 16．265 17．292 18．433,23
三、解答题
19．【详解】解：原式=3−2×1+4+3=8．
20．【详解】解：x−32+3≥x−1①1−3x−1<8−x②，
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x>−2，
∴不等式组的解集为：−2∴表示在数轴上，如图所示：
21．【详解】（1）解：由题意知，10020%=500，
由题意知，D组人数为500−50−100−160−40=150（人），
（2）由题意知，A组所在扇形的圆心角度数为360°×50500=36°，
（3）解：∵2500×150+40500=950，
22．【详解】（1）解：过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB，
则BF=ABsin∠BAF=3sin37°≈3×35=1.8（米）．
答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；
（2）解：在Rt△ABF中，cs∠BAF=AFAB，
则AF=ABcs∠BAF=3×cs37°≈2.4（米），
∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF=CD，BC=FD，
∵EC=0.5米，
∴DE=CD−CE=1.3米，
在Rt△EAD中，tan∠EAD=DEAD，
则AD=DEtan∠EAD≈（米），
∴BC=DF=AD−AF=3.25−2.4≈0.9（米），
答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
23．【详解】（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，则节前每千克A粽子的进价为x+2元，根据题意，得：240x+2=200x，
解得x=10．
检验：当x=10时，x(x+2)≠0,x=10是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进400−m千克A粽子，根据题意得：10+2m+10400−m≤4600，
解得：m≤300．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
24．【详解】（1）证明：∵F是BD的中点，
∴ DF=BF，
∵ CF=EF，∠CFD=∠EFB，
∴ △CDF≌△EBF；
（2）证明：∵ ∠ABC=90°，BD是△ABC中线，
∴ BD=AD=CD
∵ △CDF≌△EBF，
∴ CD=BE，∠FCD=∠FEB，
∴ BE∥CD
∵ BE=CD=AD，∴四边形AEBD是平行四边形，
∵ BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形；
（3）解：连接ED，
∵BE∥CD，CD=BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=8，
∵AD=BE=5，BD是△ABC中线，
∴AC=2AD=10，
∵∠ABC=90°，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=102+82=6
∵四边形AEBD是菱形，∴菱形AEBD的面积为12×AB×DE=12×6×8=24．
25．【详解】（1）解：∵点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，
∴和谐点都在y=x上，y=xy=2x+1，解得x=−1y=−1，
∴ y=2x+1上的和谐点为−1，−1；
（2）解：①∵二次函数y=ax2+6x+ca≠0的图象上有且只有一个和谐点52,52，
∴y=ax2+6x+cy=x即ax2+5x+c=0有两个相等的实数根，
Δ=25−4ac=0，解得ac=254①，
将52,52代入y=ax2+6x+ca≠0得，52=254a+302+c②，
联立①②，得a=−1,c=−254，
②∵ a=−1,c=−254，
∴y=ax2+6x+c+14=−x2+6x−6=−x−32+3，
其顶点坐标为3,3，则最大值为3，
在x<3时，y随x的增大而增大，当x=1时，y=−1−32+3=−1，
根据对称轴可知，当x=5时，y=−1，
∵ 1≤x≤m时，函数y=−x−32+3的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当1≤x≤5时，函数y=−x−32+3的最小值为－1，最大值为3，
∴实数m的取值范围为：3≤m≤5．
26．【详解】（1）解：在RtΔABC中，
∵∠ABC=90°，∠C=30°，BC=43，
∴AB=4，AC=8，
连接AD，如图，
∵∠ABC=90°，
∴AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
又∵D是BC的中点，
∴ BD=CD=23，
在Rt△DEC中，
∵∠C=30°，CD=23，
∴CE=3，DE=3，
∴AE=AC−CE=8−3=5；
过点E作EG⊥BC于点G，
在Rt△DEG和Rt△CEG中，
∵ DE=3，∠EDG=60°，
∴DG=12DE=32，EG=12EC=32，
在Rt△BEG中，
∵BG=BD+DG=532，
∴BE=BG2+EG2=(532)2+(32)2=21；
（2）解：①∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点B，
∴ APCQ=AEBC，∵AP=x，BC=43，AE=5，
∴ xCQ=543，∴ CQ=435x，
过点Q作QH⊥AC于点H，如图，∵∠C=30°，
∴ QH=12CQ=235x，
∴△PQC的面积=12PC⋅QH=12(8−x)⋅235x=−35(x2−8x)=−35(x−4)2+1635．
∵0∴当△PQC的面积最大时，x的值为4；
②由（1）知：EG⊥BC，
过点E作EM⊥BF，过点P作PN⊥AB，如图，
∵BE平分∠FBC，EM⊥BF，EG⊥BC，
∴ EM=EG=32，
∵BE平分∠FBC，
∴EF=DE，∴ EF=ED=3，
又∠BFE=∠BAE=60°，∴MF=EF⋅cs60°=32，
∵ BE=21，EM=32，∴ BM=532，
∴ BF=BM+MF=33．
∵∠APB=∠FPE，∠BAP=∠PFE，∴△ABP∽△FEP，
∴ ABEF=APFP=BPEP，∴ 43=AP33−BP=BP5−AP，
解得：AP=4413，BP=28313，
在Rt△APN中，
∵∠PAN=60°，AP=4413，
∴ PN=22133．
∴ sin∠ABF=PNBP=2213328133=1114．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
A
C
C
D
A
B
D
A
D
B