2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题密卷（一）

这是一份2024年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题密卷（一），共12页。试卷主要包含了803×1011B．8，5°=∠DNF，等内容，欢迎下载使用。

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1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
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4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．4的相反数是（ ）
A．14B．−14C．−4D．4
2．下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形；它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．33−3=3B．21÷3=7C．a−12=a2−1D．−a2·a=a3
4．2023年三峡水电站完成发电量约80300000000千瓦时，将数字80300000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.803×1011B．8.03×1010C．80.3×1010D．803×109
5．一根直尺和一个45°角的三角板按如图方式叠合在一起，若经∠1=32°，则∠2的度数是（ ）
A．58°B．68°C．60°D．32°
6．若一次函数y=(k+2)x+1的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围（ ）
A．k<−2B．k>−2C．k>0D．k<0
7．如图，在∠MON中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，过点C作CD⊥OM于点D，且CD=2.5，点E是射线ON上一点，则CE的长度不可能是（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
8．某公司统计了今年3月销售部10名员工的销售某种商品的业绩如表：
则这10名销售人员在该月销售量的中位数和众数分别为（ ）
A．250，230B．250，210C．210，230D．210，210
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=kx（k为常数，k>0，x>0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为34，则k的值（ ）
A．32B．34C．38D．316
10．五个人站成一排，每个人戴一顶不同的帽子，编号为1、2、3、4、5．每个人只能看到前面的人的帽子，小王一顶都看不到，小孔只看到4号帽子；小田没有看到3号帽子，但看到了1号帽子；小严看到了有3顶帽子，但没有看到3号帽子；小韦看到了3号帽子和2号帽子，小韦戴______号帽子．（ ）
A．1B．5C．3D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，若棋盘中“相”的坐标是4,1，“卒”的坐标是2,1，则“馬”的坐标是 ．
12．分解因式：xy−x= ．
13．网上购物已经成为人们常用的一种购物方式．购物方式的改变给快递行业带来了商机，也带来了挑战．为了提高效率，某快递公司研发了快递机器人专门负责分拣包裹．已知单个机器人比人工（一个人）每小时多分拣100个包裹，单个机器人分拣9000个包裹和人工（一个人）分拣6000个包裹所用时间相同．设人工（一个人）每小时分拣x个包裹，则可列方程为 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=8，BD=6，AC交BD于点O，则△ABC的面积是 ．
第14题图 第15题图 第16题图

15．某节活动课上，安安用一张半径为18cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（如图，接缝处忽略不计）．若圆锥形帽子的半径为10cm，则这张扇形纸板的面积为 cm²．
16．赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径AB=18m，拱高CD=5m，则拱桥的半径为 m．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：8−3sin30°+1−2+2−1．
18．先化简，再求值：2x+y2x−y−2x−y2，其中x=−2， y=−12
19．如图，彩旗旗杆AB用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD，BC=2m，∠ACB=45°，∠ADB=30°．
(1)求旗杆AB部分的长．
(2)求钢丝的总长度．（结果保留根号）
20．在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是______；
(3)若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数；
(4)若小明和小亮可从这五个社团活动中任选一个参加，请直接写出两人恰好选择同一个社团的概率．
21．学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作AC的垂线交AC于点E，交AB边上的高CD于点P．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在锐角△ABC中，BE⊥AC,CD⊥AB，且BE=CD，求证：AB=AC．

证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDB=① =90°．
在Rt△BCD与Rt△CBE中，② CD=BE，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，
∴③ ，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④ ．
22．茶道被视为一种修身养性的生活艺术，图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则等六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”．某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装，若购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；若购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元．
(1)求甲、乙两种套装的单价．
(2)某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过500元，请通过计算说明最多可购买多少套甲种套装．
23．【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B)．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题；
【深入探究】（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①甲组提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题：
②乙组提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=12，AC=16，求AH的长．
24．定义：如果函数C：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（m，n）、（-m，-n），那么我们称函数C为对称点函数，这对点叫做对称点函数的友好点．
例如：函数y=x2+2x−1经过点（1，2）、（-1，-2），则函数y=x2+2x−1是对称点函数，点（1，2）、（-1，-2）叫做对称点函数的友好点．
（1）填空：对称点函数y=x2+bx+c一个友好点是（3，3），则b= ，c= ；
（2）对称点函数y=x2+2bx+c一个友好点是（2b，n），当2b≤x≤2时，此函数的最大值为y1，最小值为y2，且y1−y2=4，求b的值；
（3）对称点函数y=ax2+x−4a（a≠0）的友好点是M、N（点M在点N的上方），函数图象与y轴交于点A．把线段AM绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段A′M′．若线段A′M′与该函数的图象有且只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
25．已知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点B、点D，点F在CD上，连接OF交⊙O于点G，且G在BC上，∠AFO=45°，过D作DH⊥BC于H，交⊙O于E，交OF于点N；

(1)求证：∠FND=3∠C；
(2)射线BO交DE于M，求证：OM=FG；
(3)在（2）条件下，连接BE，若由BC、DC和弧BD所围成图形的面积为94π+922−92时，求四边形ABED的面积．
每人销售量/件数
510
250
210
120
人数（人）
1
2
5
2
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．(−2,1) 12．x(y−1) 13．9000x+100=6000x
14．12 15．180π 16．535
三、解答题
17．【详解】8−3sin30°+1−2+2−1
=22−3×12+2−1+12
=32−2．
18．【详解】解：原式=4x2−y2−4x2−4xy+y2
=4xy−2y2
将x=−2， y=−12代入，原式=4×−2×−12−2×−122=4−12=312
19．【详解】（1）解：在Rt△ABC中，tanC=ABBC，
∴AB=BC⋅tanC=2×1=2m；
（2）解：AC=BC2+AB2=22+22=22m，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°,
∴AD=2AB=2×2=4m，
∴钢丝的总长度为(22+4)m．
20．【详解】（1）解：抽查总人数为18÷20%=90（名)，
则D社团人数为：90−30−10−10−18=22（名)，
补全条形统计图如下：
（2）解：360°×3090=120°，
故答案为：120°；
（3）解：2700×2290=660（名)，
答：该校本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数大约有660名；
（4）解：画树状图为：
由图知，一共有25种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个社团的有5种结果，所以两人恰好选择同一个社团的概率为525=15．
21．【详解】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠CDB= ∠CEB =90°．
在Rt△BCD与Rt△CBE中，BC=BCCD=BE，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL)，
∴∠DBC=∠ECB，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么 这个三角形是等腰三角形 ．
22．【详解】（1）解：设甲种套装的单价为x元，乙种套装的单价为y元，
根据题意得：x+3y=2002x+2y=240，解得：x=80y=40．
答：甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为40元；
（2）解：设购买m套甲种套装，则购买(10−m)套乙种套装，
根据题意得：80m+40(10−m)≤500，
解得：m≤52，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为2．
答：最多购买2套甲种套装．
23．【详解】解：（1）四边形BCGE为正方形．理由如下：
∵∠BED=90°，
∴∠BEG=180°−∠BED=90°，
∵∠ABE=∠A，
∴AC∥BE，
∴∠CGE=∠BED=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≌△DEB，
∴BC=BE．
∴矩形BCGE为正方形；
（2）①AM=BE．理由如下：∵∠ABE=∠BAC，
∴AN=BN，
∵∠C=90°，
∴BC⊥AN，
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴S△ABN=12AN⋅BC=12BN⋅AM，
∵AN=BN，
∴BC=AM．
由（1）得BE=BC，∴AM=BE．
②如图4：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，
∵△ACB≌△DEB，
∴BE=BC=12，DE=AC=16，∠BAC=∠D，∠ABC=∠DBE，
∴∠CBE=∠DBM，
∵∠CBE=∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∴MD=MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点，
由勾股定理得AB=AC2+BC2=122+162=20，∴DG=12BD=10，
∵cs∠D=DGDM=DEBD，
∴DM=DG⋅BDDE=10×2016=252，即BM=DM=252，
∴AM=AB−BM=20−252=152，
∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH=∠BME，
∴△AMH∽△BME，
∴ AHBE=AMBM=35，∴AH=35BE=35×12=365，即AH的长为365．
24．【详解】解：（1）由题可知函数图象过点（3，3），（-3，-3），代入函数y=ax2+x−4a（a≠0），得9+3b+c=39−3b+c=−3解得：b=1，c=9；
（2）由题意得另一个友好数为（-2b，-n）∴-n=4b2-4b2+c
∴c=-n
∴y=x2+2bx-n
把（2b，n）代入y=x2+2bx-n
n=4b2+4b2-n
∴n=4b2
∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2
当-b<2b即b>0时
∵抛物线开口向上
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大 ，∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4-4b2=4
∴-8b2+4b=0
∴b1=0（舍）b2=12
当2<-b，即b<-2时
在对称轴左侧，y随x增大而减小
∴当x=2b时，y1=4b2
当x=2时，y2=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴4b2+4b2-4b-4=4
∴8b2-4b-8=0
∴2b2-b-2=0，b=1±172（舍）
当2b≤-b≤2，即-2≤b≤0时y2=-5b2
当x=2时，y1=-4b2+4b+4
∵y1-y2=4
∴-4b2+4b+4+5b2=4
∴b2+4b=0
∴b1=0，b2=-4（舍）
当x=2b时，y1=4b2
∵y1-y2=4，∴9b2=4
∴b=23（舍）b=−23，∴b=0或b=−23或b= 12；
（3） y=ax2+x−4a 推出 y=ax2+x−4a=a(x2−4)+x
“友好点”是M（2，2）N（-2，-2）旋转后M’（2，-2） A’（-4a，0）
将（-4a，0）代入y=ax2+x−4a a=±22
当a>0时 当抛物线经过A′后有两个交点 ∴0当a<0时，当抛物线经过A′点以后，开始于抛物线有一个交点 ∴a≤−22
综上：025．【详解】（1）如图1，∵∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
连接OB，OD，
∵⊙O分别与AB、AC相切于点B、点D，
∴∠ABO=∠ADO=90°，
∴∠OBC+∠ABC=90°，
∴∠OBC=∠C，
∵∠ODC=90°，∠AFO=45°，
∴∠DOF=45°
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABOD是矩形，
∵OB=OD，
∴四边形ABOD是正方形，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOG=∠BOD+∠DOF=135°，
∵OB=OG，
∴∠OBG=∠OGB=22.5°，
∴∠C=∠OBC=22.5°，
在四边形ABHD中，∵DH⊥BC，
∴∠BHD=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ABH+∠ADH=180°，
∴∠ABO−∠OBC+∠ADO+∠ODN=180°，
∵∠ABO=∠ADO=90°，
∴∠ODN=∠OBC=22.5°，
∴∠DNF=∠DOF+∠ODN=45°+22.5°=67.5°，
∵∠C=22.5°，
∴∠FDN=3∠C；
（2）如图2，
由（1）知，∠ODN=22.5°，
∴∠FDN=67.5°=∠DNF，
∴FN=FD，
在Rt△ODF中，∠AFO=45°，
∴FD=OD=OG=ON+NG，
∵FN=ON+NG，
∴FG=ON，
∵∠BOF=135°，
∴∠MON=45°，
∵∠ONM=∠DNF=67.5°，
∴∠OMN=67.5°，
∴OM=ON，
∴OM=FG；
（3）如图3，设⊙O的半径为R，
∴AB=AD=OB=R，
∴BD=2OB=2R，
由（2）知，∠CDH=67.5°，
由（1）知，∠ODN=22.5°，
∵∠ODB=45°，
∴∠BDH=67.5°，
∴∠BDH=∠CDH，
∵DH⊥BC，
∴CD=BD=2R，
∴AC=AD+CD=（2+1）R，
∵BD是正方形ABOD的对角线，
∴S△ABD=S△OBD
∵由BC、DC和弧BD所围成图形的面积为94π+922−92，
∴94π+922−92=S△ABC−S△ABD+S弓形BD
=S△ABC−S△ABD+S扇形OBD−S△BDO
=S△ABC+S扇形OBD−2S△BDO
=12AB×AC+90°πR2360°−2×12OB2
=12R×2+1R+πR24−R2
=π4−12+22R2，
∴R=3，
∵∠BDE=67.5°，∠E=∠BOD=45°，
∴∠EBD=67.5°=∠BDE，
∴BE=DE，
∵OB=OD，
∴点O，E都在BD的垂直平分线上，
∴△BDE的边BD上的高ℎ=R+22，
∴S四边形ABED=S△ABD+S△BDE
=12×2R×22R+12×2R×R+22R
=1+22R2
=9+922．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
C
A
D
B
A
A
A
D
A
B