2024年湖南省长沙市初中学业水平考试押题密卷（三）数学

这是一份2024年湖南省长沙市初中学业水平考试押题密卷（三）数学，共13页。试卷主要包含了4×104B．3，48,cs29°≈0等内容，欢迎下载使用。

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1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
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3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．实数−2的相反数是（ ）
A．2B．−2C．12D．−12
2．国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2−3a=−3a2B．3a−2a=1
C．2a−b2a+b=4a2−b2D．ab3=ab3
4．中国的探月、登月计划受到世人的关注．月球与地球之间的平均距离约为384000公里，用科学记数法表示数据384000应该为（ ）
A．38.4×104B．3.84×105C．0.384×106D．3.84×106
5．随着自动驾驶技术的不断发展，某知名汽车制造公司近期对研发的自动驾驶汽车进行了一次大规模的路测，有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试．测试结束后，技术部门对每辆汽车的性能进行评估（车辆的自动驾驶技术、安全性、反应速度等综合表现），得分如下：
得分的中位数和众数分别是（ ）
A．80，80B．82.5，80C．80，85D．85，80
6．如图，直线a∥b，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40°B．60°C．100°D．140°
7．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD．若∠AOB=32°，则∠BOD的度数为（ ）
A．32°B．54°C．64°D．68°
8．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=2x+1向下平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（ ）
A．y=2x−1B．y=2x+2C．y=2x+3D．y=2x−2
9．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=（ ）

A．20°B．30°C．40°D．50°
10．甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛.该竞赛共有十道判断题.三位同学的答题情况如下：
考试成绩公布后，三个人都答对了7道题，由此可知，1～10题的正确答案依次是（ ）
A．√、√、×、×、√、√、√、×、√、×
B．√、√、×、×、√、×、√、×、√、×
C．√、√、×、×、√、√、√、√、√、×
D．√、×、×、×、√、√、√、√、√、×
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2y−xy= ．
12．方程xx−2=0的解为 ．
13．某蓄电池的电压为12V，使用此蓄电泡时，电流IA与电阻RΩ的函数表达式为I=12R．在安全范围内，I的值随着R的值的增大而 （填“增大”、“减小”或“不变”）．
14．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，如图1，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH，OC⊥MN，MN=48cm，OC=7cm．将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动．如图2，则操作后剩余水的截面周长为 cm．

15．如图，折扇的骨柄OA长为27 cm，打开后∠AOB为160°，则图中弧AB的长为 cm（结果保留π）．

16．电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：−12024+38−4×14+2−1
18．先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x=2023．
19．如图，富邦城即将建造一个大型摩天轮，工程师介绍若你站在距离摩天轮40米处（A点），以29°的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），以63°的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点）．（人的身高忽略不计）
（1）求摩天轮的底部（C点）到地面（B点）的距离；（精确到个位）
（2）求摩天轮的圆轮直径（即CD）．（精确到个位）（参考数据：sin29°≈0.48,cs29°≈0.87,tan29°≈0.55,sin63°≈0.89,cs63°≈0.45,tan63°≈1.96）
20．某校开设的体育选修课有：A：篮球，B：建球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一项，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
(1)请你求出该班的总人数；
(2)该班班委4人中，1人选修A，2人选修B，1人选修C，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修A，1人选修B的概率．
21．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC．
(1)求证：△ABP≌△PDC；
(2)若AB=1，CD=2，求AC的长．
22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．某市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要85万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要140万元．
(1)求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？
(2)若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且A型汽车的数量不超过B型汽车数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
23．如图，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P是边AD上一动点，过点P作PE⊥AC，垂足为点E，连接BE，过点E作EF⊥BE，交边AD于点F（点F与点A不重合）．
(1)当F是AP的中点时，求证：BA=BE；
(2)当AP的长度取不同值时，在△PEF中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
(3)延长PE交边BC于点G，连接FG，△EFG与△AEF能否相似，若能相似，求出此时AP的长；若不能相似，请说明理由．
24．如图1，已知锐角△ABC内接于⊙O，P为△ABC的内心，连结AP并延长分别交BC，⊙O于点D，E，连结BE，BP．
(1)求证：BE=EP．
(2)若DE=6，DP=2，BP=4，试求BEAC的值．
(3)若将条件“锐角△ABC内接于⊙O”改为“Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径”，如图2．过点P作PF⊥BC于点F，设Rt△ABC的外接圆半径为R，PF=r,AE=m，试问R+rm的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25．在平面直角坐标系xOy中，过点m，0作垂直于x轴的直线l，将函数图像位于直线l上的点及直线l右侧的部分（用M表示）沿l翻折，再向左平移nn≥0个单位得到新的函数图像M′，我们称这种变换为轴移变换，记作：T{m，n}，由M与M′组成的新的图像对应的函数叫做“距美函数”，例如：图1是反比例函数y=−4x的图像，经过T{0，2}得到的“距美函数”的图像如图2所示．
(1)填空：
①在图2的“距美函数”中，当函数值y=−3时，x的值为_________；
②直线y=2x+1经过T{−1，1}得到的“距美函数”的表达式为：y=2x+1x≥−1x≤−2；
(2)抛物线y=−x2+6x−5经过T{2，0}得到“距美函数”，对于该“距美函数”，当t≤x≤2时，t+1≤y≤4，求t的值；
(3)如图3，点A(−3，0)，B(3，0)在x轴上，以AB为一边在x轴上方画矩形ABCD，使AD=2，抛物线y=12x2−kx+3k>0经过T{0，0}得到的“距美函数”的图像与矩形ABCD的边恰好有4个交点，直接写出k的取值范围______．
得分（分）
75
80
85
90
车辆（辆）
5
16
14
10
题号选手
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
√
√
×
√
×
√
×
×
√
×
乙
√
√
×
×
√
×
√
√
×
×
丙
×
√
√
×
√
√
√
×
√
√
参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．xy(x−1) 12．x=0 13．减小
14．50π3+253 15．24π 16．B、D、F、G
三、解答题
17．【详解】解：原式=1+2−4×12+2−1
=3−2+2−1
=2．
18．【详解】解：(x+1)2−x(x+1)
=x2+2x+1−x2−x
=x+1，
当x=2023时，原式=2023+1=2024．
19．【详解】（1）tan29°=BCAB≈0.55⇒BC≈0.55×40≈22（米）
（2）∵tan63°=BDAB≈1.96⇒BD≈1.96×40≈78（米）
∴CD=BD−CB=56（米）
答：底部到地面距离为22米，摩天轮直径为56米．
20．【详解】（1）解：该班的总人数为：12÷24%=50（人）；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2人恰好1人选修A，1人选修B的结果有4种，
∴选出的2人恰好1人选修A，1人选修B的概率为412=13．
21．【详解】（1）证明：∵AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，
∴∠ABP=∠PDC=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APC=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠BAP=∠CPD，
在△ABP和△PDC中，∠ABP=∠PDC∠BAP=∠CPDAP=PC，
∴△ABP≌△PDC(AAS)；
（2）解：∵△ABP≌△PDC，
∴AB=PD=1，
∴PC=PD2+CD2=1+4=5，
∵AP=PC，AP⊥PC，
∴AC=2PC=10．
22．【详解】（1）解：设购买每辆A型汽车需要x万元，每辆B型汽车需要y万元．
依题意有3x+y=852x+4y=140，解得：x=20y=25，
答：购买每辆A型汽车需要20万元，每辆B型汽车需要25万元；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车(15−m)辆，总费用为w万元，
依题意有：w=20m+25(15−m)=−5m+375，
∵m≤2(15−m)，
解得m≤10，
∵−5<0，
∴当m=10，w有最小值，最小值为325，
此时15−m=5，
答：购买10辆A型汽车，5辆B型汽车费用最少，最少费用为325万元．
23．【详解】（1）解：∵PE⊥AC，F为AP的中点，
∴AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEB=90°=∠BAD，
∴∠FEB−∠FEA=∠BAD−∠FAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE；
（2）解：PF的长度不变，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵四边形ABCD为矩形，PE⊥AC，
∴∠PEA=∠ABC=90°，
∴tan∠DAC=PEAE=tan∠ACB=ABBC=12，
∵∠FAE+∠BAC=∠FAE+∠APE=90°，
∴∠BAC=∠APE，
又∵∠PEA=∠FEB=90°，
∴∠PEA−∠FEA=∠FEB−∠FEA，
∴∠AEB=∠FEP，
∴△EPF∽△EAB，
∴PFAB=PEAE=12，
∵AB=1，
∴PF=12；
（3）连接FG，过点P作PH⊥BC，垂足为H，如图所示：
∴PH=AB=1，∠PHG=90°，
由题意可得：PG⊥AC，
∴∠GEC=∠PEC=∠PHG=90°，
∴∠ECG+∠EGC=∠GPH+∠EGC，
∴∠ECG=∠GPH，
∴tan∠ECG=tan∠GPH=ABBC=GHPH=12，
∴GH=12=PF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PF∥GH，
∴四边形PFGH是矩形，
∴∠FGH=90°，
∴∠PAE+∠APE=∠APE+∠FGP=90°，
∴∠PAE=∠FGP，
∴当∠AFE=∠FEG时（均为钝角），△EFG∽△EFA，
∴∠PFE=∠FEP，
∴PE=PF=12，
∵tan∠DAC=PEAE=12，
∴AE=1，
∴AP=AE2+PE2=12+122=52．
24．【详解】（1）解：设∠CBA=2α,∠CAB=2β,
∵P为△ABC的内心，
∴BP，AP是△ABC的角平分线，
∴∠CBP=α，
∴∠PBA=α,∠PAB=β，
∴∠EPB=α+β，
又∵∠EBC=∠EAC=12∠CAB=β，
∴∠EBP=∠EBC+∠CBP=α+β，
∴∠EPB=∠EBP，
∴BE=EP．
（2）解：∵EP=ED+DP=2+6=8,
∴EPBP=84=2，
∵BPDP=42=2，
∴EPDP=BPDP=2,
又∵∠EPB=∠BPD，
∴△EPB∽△BPD，
∴∠EBP=∠BDP=∠EPB=∠BPD，
∴BD=BP=4，
由（1）可知：∠EBD=∠EAB=β,
又∵∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴BEAE=EDEB,即BE2=AE⋅ED，
∵BE=PE=8,
∴6AE=64,即AE=323，
∴AD=AE−ED=143,
又∵∠BDE=∠CDA,∠DBE=∠DAC，
∴△EDB∽△CDA，
∴BEAC=BDAD=4143=67．
（3）解：如图：过P作PG⊥AB于G，作PH⊥CA于H，过E作EN⊥AC于N，作EM⊥AB交AB延长线于M，连接CP，BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°,PH⊥AH,PG⊥AG，
∴四边形PGAH为矩形，
由内心的性质可得：PH=PG=PF=r，
∴四边形PGAH为正方形，即AG=AH=r，
又∵∠CFP=∠CHP=90°,PF=PH,CP=CP,
∴Rt△CFP≌Rt△CHP，
∴CF=CH，
同理可得：BF=BG，
∴BC=CF+BF=CH+BG=AC−r+AB−r，即r=AB+AC−BC2，
又∵∠EAM=∠EAN=12∠BAC=45°，
∴△MEA,△NEA为等腰直角三角形，
∴EN=22AE=EM,∠NEM=∠NEA+∠MEA=90°，BC为直径，
∴∠CEB=90°，
∴∠CEN=∠CEB−∠NEB=90°−∠BEB=∠NEM−∠NEB=∠BEM，即∠CEN=∠BEM，
∵∠CNE=∠BME=90°,EN=EM，
∴△CEN≌△BEMASA,
∴CN=MB，
∴AN+AM=AC−CN+AB+BM=AC+AB，
∵AN+AM=22AE+22AE=2AE=2m，
∴AC+AB=2m，
∴r=AB+AC−BC2=2m−2R2,即R+r=22m，
∴R+rm=22mm=22．
25．【详解】（1）解：①∵反比例函数y=−4x的图像，经过T{0，2}得到的“距美函数”的图像，
即反比例函数y=−4x的图像关于直线x=0对称，再向左平移2个单位，函数解析式为y=4x+2，
∴y=−4xx>04x+2x<−2，
当y=−3时，x=43或x=−103，
②直线y=2x+1关于直线x=−1对称，再向左平移1个单位，得到新的函数图像，
令x=0，则y=2×0+1=1；令x=−1，则y=2×−1+1=−1，
即直线y=2x+1与y的交点为0,1，还经过点−1,−1，
点0,1关于x=−1对称点为−2,1，
设经过点−1,−1和−2,1的函数解析式为y=kx+b，
则−k+b=−1−2k+b=1，解得k=−2b=−3，
此函数解析式为y=−2x−3，再向左平移1个单位，得到新的函数的解析式，
即y=−2x+1−3=−2x−5，
∴y=2x+1x≥−1−2x−5x≤−2，
故答案为：−2x−5；
（2）解：∵y=−x2+6x−5=−x−32+4，
∴抛物线y=−x2+6x−5的顶点为3,4，对称轴为直线x=3，
由题意得，新抛物线的顶点为1,4，对称轴为直线x=1，
∴“距美函数”为y=−x−32+4x≥2−x−12+4x<2，
∵当t≤x≤2时，t+1≤y≤4，
∴t≤1，将x=2代入y=−x−32+4得y=−2−32+4=3，
∴N2,3，
∴N2,3关于x=1的对称点为M0,3，
当0≤t≤1，则t+1=3，解得t=2（舍去）；
当t<0，则当x=t时，y=t+1，
∴−t−12+4=t+1，解得t=2（舍去）或t=−1；
综上t=−1；
（3）解：y=12x2−kx+3=12x−k2−12k2+3，
则顶点Q坐标为k,−12k2+3，顶点Q在y=−12x2+3的图象上，
则新抛物线的顶点坐标为−k,−12k2+3，
∴“距美函数”为y=12x2−kx+3x≥012x2+kx+3x<0，
当顶点Q在CD上，
则−12k2+3=2，
∴k2=2，
∴k=2，k=−2（舍去），
此时，有2个交点；当顶点Q在AB上，

则−12k2+3=0，
∴k2=6，∴k=6，k=−6（舍去），
此时，有6个交点，
∴当2当y=12x2−kx+3经过点B3,0时，

有6个交点，
∴0=12×32−3k+3，
解得k=52，
∴当k>52时，恰好有4个交点；
综上，k的取值范围为252．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
A
B
C
B
D
D
C
A
A
A