人教版八年级数学上册专题06幂运算压轴题的三种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册专题06幂运算压轴题的三种考法(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了比较大小，化简求值，新定义问题等内容，欢迎下载使用。

例．已知，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】．已知均为负数，，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【变式训练2】已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】340 430 （ 填“＞”“＜”或“=”）
【变式训练4】比较与的大小．
类型二、化简求值
例．已知，，则的值是（ ）
A．0B．C．3D．
【变式训练1】．已知，则 ．
【变式训练2】．若，，ab=20，则= ．
【变式训练3】．已知，判断a＋b和ab的大小关系．
类型三、新定义问题
例．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【变式训练1】阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
①______；
②若，则______；
③若，则______．
(2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由．
【变式训练2】如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．
①求的值；②求的值．
课后训练
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则= ．
3．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）．
5．已知，，则 ．
6．比较大小： （填“>”“<”或“=”）．
7．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ；
(2)求的末尾数字；
(3)求证：能被5整除．
8．已知：2x=3,2y=6,2z=12，试确定x，y，z之间的关系
专题06 幂运算压轴题的三种考法
类型一、比较大小
例．已知，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的8次方的形式，比较底数得结论．
【详解】解 : ,
故选：B.
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．
【变式训练1】．已知均为负数，，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】根据换元法将，设，，则，，作差即可求得大小关系.
【详解】设，，
则，
，
由于均为负数
所以为正数，则，
.
故选：B.
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键，解答时注意运用整体思想，属难题.
【变式训练2】已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系．
【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．
【变式训练3】340 430 （ 填“＞”“＜”或“=”）
【答案】＞
【详解】因340=（34）10=8110，430=（43）10=6410，81＞64，可得8110＞6410，所以340＞430．
点睛：此题考查了幂的乘方．解此题的关键是将将340与430 变形为同指数的幂．
【变式训练4】比较与的大小．
【答案】72012>52012+62012．
【分析】先比较52012+62012<62012+62012=2×62012，再比较72012>2×62012，即可得出结论.
【详解】∵52012+62012<62012+62012=2×62012=2×63×62009=432×62009=93312×62006，
72012=73×72009=343×72009=117649×72006，
∴72012>2×62012>52012+62012．
【点睛】此题考查了有理数的大小比较，难点在于得出52012+62012<2×62012，72012>2×62012.
类型二、化简求值
例．已知，，则的值是（ ）
A．0B．C．3D．
【答案】A
【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运算是解本题的关键．
【变式训练1】．已知，则 ．
【答案】1．
【分析】利用幂的乘方与同底数幂相乘，得到2a+1＝2a×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，进而得到，求出答案即可．
【详解】解：∵2a+1＝2a×2＝3×2＝6，
3b+1＝3b×3＝2×3＝6，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂相乘，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的运算法则是解题关键．
【变式训练2】．若，，ab=20，则= ．
【答案】1
【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．
【变式训练3】．已知，判断a＋b和ab的大小关系．
【答案】．
【分析】利用幂的乘方和积的乘方将式子化简得到：，，，即可求出a＋b和ab的大小关系．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方，求出．
类型三、新定义问题
例．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【答案】(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
（4）设，，
则，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
【变式训练1】阅读理解：规定两数，之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：
①______；
②若，则______；
③若，则______．
(2)若，，．请探索，，之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①2；②2；③81
(2)
【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可；
（2）由题意可得出，，，结合，即得出，再根据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴．
故答案为：2；
②∵，
∴．
故答案为：2；
③∵，
∴．
故答案为：81．
（2）解：∵，，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键．
【变式训练2】如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求的值．
【答案】(1)4，64
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出；
（2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出；
（3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可．
【详解】（1）解：，
；
，且，
．
故答案为：，；
（2）解：，，，若，
，，．
，
，即，
；
（3）解：①，，
，，
，，
；
②，
，
．
由①知：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键．
课后训练
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将化为使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.
【详解】，
故选：A.
【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.
2．已知，则= ．
【答案】8．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．
【详解】解：，
根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：，
即，
，
解得，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．
3．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．
【详解】因为，，，，
因为，
所以，
所以，
故即；
同理可证
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．
4．已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．
【详解】解：∵，，．
∴，，，
∴a+2＝b+1＝c，
即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，
于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，
所以a+c＝2b，因此①正确；
②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，
所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；
③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；
④b＝a+1，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③三个，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系．
5．已知，，则 ．
【答案】1
【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果．
【详解】解：∵，
∴，∴
∵，,
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键．
6．比较大小： （填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】根据幂的乘方，底数大于1时，根据指数越大幂越大，可得答案．
【详解】解： ，
∵64<81，
∴，
即 ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方化成同指数的幂是解题关键．
7．阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ；
(2)求的末尾数字；
(3)求证：能被5整除．
【答案】(1)3，6；
(2)4；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解；
（2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论；
（3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证．
【详解】（1）解：，
的末尾数字为3；
的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…
的末尾数字是4，的末尾数字是6，
的末尾数字是6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
∵的末尾数字是6，
∴的末尾数字是4；
（3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…
的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，
的末尾数字为6；
同理可得：
的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1；
的末尾数字9，
∴的末尾数字是5，
∴能被5整除．
【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
8．已知：2x=3,2y=6,2z=12，试确定x，y，z之间的关系
【答案】x＋z＝2y
【详解】试题分析：
变形2y＝2×3＝2x＋1，得到y＝x＋1，变形2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1，得到z＝y＋1，从而得到x，y，z之间的关系．
试题解析：
因为2x＝3，
所以2y＝6＝2×3＝2×2x＝2x＋1，
2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1.
所以y＝x＋1，z＝y＋1.
两式相减，得
y－z＝x－y，
所以x＋z＝2y.
点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法法则的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n(m，n是正整数)，逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an(m，n是正整数)；如果几个幂的底数相等，且幂也相等，则它们的指数也相等.