人教版八年级数学上册专题01全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册专题01全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了倍长中线模型，截长补短模型等内容，欢迎下载使用。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD

方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD； = 2 \* GB3 ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2022秋·山东八年级课时练习）如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．
例2．（2022秋·重庆市·八年级专题练习）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
例4．（2022秋·绵阳市·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
课后专项训练：
1．（2022·四川成都·八年级期中）如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
3．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
4．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．

6．（2022·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______．
(2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：．
(3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
7．（2022·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．
8．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．
(1)依题意补全图形，写出____________°
(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
9．（2022·吉林·公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
10．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： ．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
11．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
12．（2022秋·重庆八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
13．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
14．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）
15．（2023春·成都市·七年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B(2)C(3)见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
（1）∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3．
【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；
（2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论．
【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；
（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，
在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，
∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，
∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，
∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE