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人教版八年级数学上册专题05全等模型-对角互补模型(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册专题05全等模型-对角互补模型(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了旋转中的对角互补模型，已知等内容，欢迎下载使用。
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
例1.（2022·绵阳市·八年级期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，BC上的点，连接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长．
例2. 如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：．
例3、在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
例4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．
模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）
1）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC
2）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，.
例1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
例2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由．
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD＝CE．
理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．
①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系．
例3．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
例4．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；
（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ．
模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型）
1）“2α对180°-2α模型”
条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
2）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。
例1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
例2.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____．
例3.（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7．2
例4.如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：
（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．
课后专项训练
1．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值.
3．（2023·广西·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C=180°．
4．五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．
5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．
6.在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.
7.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；
（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.
8.如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.
（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；
（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.
9.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．
（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
10．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形中，，.
(1)如图1．连接，若，求证：.
(2)如图2，点分别在线段上，满足，求证：;
(3)若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
11．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？
[探究]探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______．
探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由．
[结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______．
[拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．
12．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
13、在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．
（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；
（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．
14、已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．
(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ．
(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
15.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
16．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
17．（2022山西省吕梁市八年级期末）如图，已知与，平分．
(1)如图1，与的两边分别相交于点、，，试判断线段与的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：．
理由如下：如图1，过点作，交于点，则，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若，．
①如图3，与的两边分别相交于点、时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段、、有什么数量关系？说明理由．
②如图4，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系；如图5，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系．
专题05 全等模型-对角互补模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
例1.（2022·绵阳市·八年级期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，BC上的点，连接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∠ABO＝∠ACB＝45°，∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．BE＝CF＝3，∵AB＝BC，∴BF＝AE＝4，
在Rt△BEF中，BF＝4，BE＝3，∴EF＝5．
例2. 如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：．
【解答】证明：（1），
，，，
在和中，，；
（2），，，由（1）知，，
，，，；
（3）延长到，使得，，，
在和中，，，，，
，，，，
，，，，
在和中，，，，
，．
例3、在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
【解答】解：（1），理由如下：
如图②，连接，是等腰直角三角形，为斜边的中点，
，，，，
又，，，
在和中，，，；
（2），理由如下：连接，如图③所示：
同（1）得：，，
，
例4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．
【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）连接AD，根据∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，从而可以证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可证明；
（2）连接AD，同样证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可证明．
【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，
∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；故答案为：△BDE，△ADF，90°；
（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，，
∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD，
在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）
1）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC
2）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，.
例1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，
∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，
∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．
例2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由．
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD＝CE．
理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．
①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系．
解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，且∠OCF＝90°，
∴∠OFC＝45°＝∠BOC，∴OC＝FC，
∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，且CO＝CF，∠AOC＝∠CFE＝45°，
∴△CDO≌△CEF（ASA）∴CD＝CE
（2）如图2，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
又∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，且∠CMD＝∠CNE，CM＝CN，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE．
（3）①（1）中的结论仍成立．OE+OD＝OC．
理由如下：如图3，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，
在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，
又∵∠AOB+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
又∵∠CEO+∠CEN＝180°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．
∴OE+OD＝OE+OM+DM＝OE+OM+EN＝ON+OM．
∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，
∴，同理可得ON＝OC，∴．
②在图4中，（1）中的结论成立，OE﹣OD＝OC，
如图4，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD＝180°，∴∠OCD+∠CEO＝60°，
∵∠AOC＝∠CDO+∠OCD＝60°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．
∴OE﹣OD＝ON+NE﹣（MD﹣OM）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，
∴，同理可得ON＝OC，∴OE﹣OD＝ON+OM＝OC；
在图5中，（1）中的结论成立，OD﹣OE＝OC，
如图5，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE＝180°，∴∠OCE+∠CDO＝60°，
∵∠NOC＝∠CEO+∠OCE＝60°，∴∠CDO＝∠CEO，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．
∴OD﹣OE＝DM+OM﹣（EN﹣ON）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，
∴，同理可得ON＝OC，∴OD﹣OE＝ON+OM＝OC；
例3．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.
【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE=CF；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cs60°=BD=BC=2.
【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，
∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，
∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．
在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM=CN，DM=DN．
在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cs60°=BD=BC=2.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．
例4．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；
（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）．
【分析】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；
（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；
（3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长．
【详解】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，
则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴点Q在直线CA上，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；
（2）：.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；
（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，
∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，
根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，
∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，
∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点．
模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型）
1）“2α对180°-2α模型”
条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
2）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。
例1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．
∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，
∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，
∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正确，
在△PAK和△PCD中，，
∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，
∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确，
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，
∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
例2.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____．
【答案】（1）（4）
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，
在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确，
∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
例3.（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7．2
【答案】B
【分析】要求的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．
【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°，
∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
∵四边形ABCD对角互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF，
在△CBE和△CDF中， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF，
设BE=a，则DF=a， ∵AB=15，AD=12，
∴12+2a=15，得， ∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．
例4.如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：
（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得到CE＝CF，根据余角的性质可得到∠EBC＝∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF．
（2）已知EC＝CF，AC＝AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE＝AF，最后证得AB+DF＝AF即可．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°∴∠EBC＝∠D
在△CBE与△CDF中，∴△CBE≌△CDF；
（2）在Rt△ACE与Rt△ACF中，∴△ACE≌△ACF
∴AE＝AF∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF．
课后专项训练
1．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解】解：如图，
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，
∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．
2．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值.
【答案】6
【分析】过点O作OC∥AB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论．
【详解】过点O作OD∥AB交AC于点D，
∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．
∴△CDO是等边三角形，∴DO=CO，∴DO=BO=AD．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE．
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB．
在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（ASA）．∴FC=EB．OF=OE．
∵AE=AB+BE，∴AE=AB+DF，∴AE=AB+AD+AF，∴AE-AF=AB+AD．
∵AB+AD=AB，∴AE-AF=AB．∵AB=4，∴AE-AF=6.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键．
3．（2023·广西·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C=180°．
【答案】见解析
【分析】先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,
根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C．
由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°．
【详解】证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD,
在△ABD和△EBD中,,∴△ABD≌△EBD（SAS）,∴AD=ED,∠A=∠BED．
∵AD=CD,∴ED=CD,∴∠DEC=∠C．∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.
4．五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．
【答案】见解析
【分析】延长DE至F，使得，连接AC，易证△ABC≌△AEF，得到，然后证明△ADC≌△ADF即可解决问题．
【详解】延长DE至F，使得，连接AC.
∵，，∴
∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，
∵，∴，∴△ADC≌△ADF，
∴ 即AD平分∠CDE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题关键.
5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．
【解答】证明：如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，
∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，
在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．
6.在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.
【解答】（1）DE⊥AB；（2）见解析；（3）
【解析】（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90º，
∵∠A＝60º，∠EDF＝120º，∴∠AED＝360º－∠A－∠AFD－∠EDF＝90º，∴∠DE⊥AB；
（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：
∵点D是BC的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，
∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90º，∠A＝60º，∴∠MDN＝360º－60º－90º－90º＝120º，
∵∠EDF＝120º，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；
（3）过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：
在△BOM与△CDN中，，∴BM＝CN，DM＝DN，
∵∠EDF＝120º＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，
在△DME与△NDF中，，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，
∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝.
7.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；
（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.
【解答】（1）PB＝PQ；（2）PB＝PQ
【解析】（1）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：
∵P、C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90º，
∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE＋∠QPE＝90º，∠QPE＋∠QPF＝90º，
∴∠BPE＝∠QPF，∴△PQF≌△PBE，∴PB＝PQ；
（2）过点P 作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：
证明过程参考（1），通过证△PQF≌△PBE即可得到PB＝PQ
8.如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.
（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；
（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.
【解答】（1）BG＝CH；（2）面积不变，始终是4；（3）仍成立，理由见解析.
【解析】（1）连接BD，如图所示：
∵等腰直角三角形ABC，点D为AC的中点，∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45º，BD⊥AC，
∵EDF＝90º，∴∠ADG＋∠HDC＝90º，
∵∠BDC＝∠BDA＝90º，∴∠BDG＋∠ADG＝90º，∴∠BDG＝∠HDC，
∴△BDG≌△CDH（ASA），∴BG＝CH；
（2）在等腰直角△ABC中，∵AB＝BC＝4，∴△ABC的面积为8，∴∠A＝∠C＝45º，∴∠A＝∠DBH，
∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，又∵BD＝AD，∴△BDH≌△ADG（SAS），
由（1）可得△BDG≌△CDH，∴，
∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，，
∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，始终是4；
（3）连接BD，如图所示：
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，∴∠BDG＝90º－∠CDG，∠CDH＝90º－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝45º，∴∠DBG＝∠DCH＝135º，
∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH，∴结论仍然成立.
9.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．
（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPE＝∠EDF＝90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，
∵PA＝PE，∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PEB+∠PCB＝180°，∴∠ABC+∠EPC＝180°，
∵∠ABC＝90°，∴∠EPC＝90°；
（3）∠ABC+∠EPC＝180°，
理由：解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PEB+∠PCB＝180°，∴∠ABC+∠EPC＝180°．
10．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形中，，.
(1)如图1．连接，若，求证：.
(2)如图2，点分别在线段上，满足，求证：;
(3)若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出；
（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；
（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，∴
在和中，∴∴
（2）如图2，延长至点，使得，连接
∵∴
∵∴
∵，，∴∴，，
∵，，∴
∵，，∴
∴∴
（3） 如图3，在延长线上找一点，使得，连接，
∵ ∴
∵ ∴
在和中，∴
∴，∴ ∵∴
在和中，∴∴
∴∴∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？
[探究]
探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______．
探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由．
[结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______．
[拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．
【答案】探究一：角的平分线上的点到角的两边距离相等；探究二：AD＝CD；理由见解析；[结论]：AD＝CD；[拓展]：见解析．
【分析】探究一：根据角平分线的性质定理解答；
探究二：作于，作交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质证明结论； [理论] 根据探究结果得到答案；
[拓展]在上取一点，使，作角的延长线于，于，证明，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，结合图形证明结论．
【详解】解：探究一：平分，，，，
理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等；
探究二：作于，作交的延长线于，
平分，，，，
，，，
在和中，，；
[理论] 综上所述，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是，故答案为：；
[拓展] 在上取一点，使，作角的延长线于，于，
．平分，，，，
，，，，，
，，．
在和中，，，，
，，，，．
，．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
【答案】【发现证明】证明见解析；【类比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究应用】109．2米．
【详解】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．
解：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．
又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF，
∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM，
∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAG=∠BAD=150°，∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米．
“点睛”此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
13、在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．
（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；
（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．
【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF，理由见解析；（3）4
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，D点为AC的中点∴∠DBC=30゜
∵∠EDF=120゜∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜
∴∠DBC=∠F∴DE=DF故答案为：DE=DF
（2）仍有DE=DF；理由如下：过点D作DG∥BC交AB于点G，如图2所示
则∠AGD=∠ABC∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜
∴∠AGD=∠A=60゜∴△AGD是等边三角形
∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD∴∠DGE=∠GDC=120゜∴∠EDF=∠GDC=120゜
∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF∴∠GDE=∠CDF
∵D点是AC的中点∴AD=DC=GD∵∠ACB=60゜∴∠DCF=120゜∴∠DGE=∠DCF
在△DGE和△DCF中∴△DGE≌△DCF(ASA)∴DE=DF
（3）过点D作DG∥BC交AB于点G，如图3所示 与（2）同理有：△DGE≌△DCF∴GE=CF
设BC=a，则CF=8－a，∴ 由GE=CF，得：解得：a=4
14、已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．
(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ．
(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【解析】(1)证明：取AB的中点F，连接OF．
∵△ABC是等边三角形，∴，
∵点O与点F分别是BC与AB的中点，∴，
∴△BOF是等边三角形，∴，
，∴，∴，
∵在△DOF和△EOC中，，∴，∴．
(2)解：结论：．理由：∵，∴，∴，
∵是等边三角形，∴，
∵，∴．故答案为：；
(3)结论：．理由如图2中，取的中点F，连接OF．
同（1）中的方法可证是等边三角形，，
∴，∴，∵，∴
15.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
【答案】(1)①，；②存在，详见解析(2)45°
【解析】（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；
②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：
如图2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；
（2）如图，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°
∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，，∴△ACF≌△AED（AAS），
∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°
16．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
【答案】(1)60°(2)证明见解析；(3) ．
【详解】（1）解：在BD上取点E，使BE= CD，如图1所示：
∵，，∴△ABC是等边三角形，∴AB= AC，
∵∠BAC =∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中， ，∴（SAS），
∴，，∴，
∴△AED是等边三角形，∴∠ADB=60°；故答案为：60°；
（2）证明：在DC的延长线上取一点H，使，如图2所示：
图3
∴ ，∵，，∴，
∵AB＝BC，，∴，
又∵，即，∴，
在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，
∴ ，∴；
（3）解：延长DC至H，使CH = AC，连接BH，如图3所示：
∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，
∵AC = CH，BC= BC，∴（SAS），
∴，，
∵，∴，∴，设，则，
∵∴，∴，
又∵，∴△BDH为等边三角形，
∴，∴．
17．（2022山西省吕梁市八年级期末）如图，已知与，平分．
(1)如图1，与的两边分别相交于点、，，试判断线段与的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：．
理由如下：如图1，过点作，交于点，则，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若，．
①如图3，与的两边分别相交于点、时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段、、有什么数量关系？说明理由．
②如图4，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系；如图5，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，.在图5中，(1)中的结论成立，
【分析】（1）通过ASA证明即可得到CD=CE；（2）过点作，，垂足分别为，，通过AAS证明同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点作，垂足分别为，，通过AAS得到，进而得到，利用等量代换得到，在中，利用30°角所对的边是斜边的一半得，同理得到，所以；方法二：以为一边作，交于点，通过ASA证明，得到，所以；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.
【详解】解：(1)平分，，
又
在与中，
(2)如图2，过点作，，垂足分别为，，∴，
又∵平分，∴，在四边形中，，
又∵，∴，又∵，∴，
在与中，∴，∴.
(3)①(1)中的结论仍成立..
理由如下：方法一：如图3(1)，过点作，，
垂足分别为，，∴，又∵平分，∴，
在四边形中，，
又∵，∴，
又∵，∴，在与中，，
∴，∴.
∴.
在中，，
∴，同理，∴.
方法二：如图3（2），以为一边作，交于点，
∵平分，∴，∴，
∴，，∴是等边三角形，∴，
∵，，∴，
在与中，∴，
∴.∴.
②在图4中，(1)中的结论成立，.
如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120° ∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF
∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC
在图5中，(1)中的结论成立，.
如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120° ∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE（ASA） ∴CD=CE，OE=DG
∴OD=OG+DG=OC+OE 即OD-OE=OC
【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
例1.（2022·绵阳市·八年级期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，BC上的点，连接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长．
例2. 如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：．
例3、在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
例4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．
模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）
1）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC
2）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，.
例1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
例2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由．
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD＝CE．
理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．
①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系．
例3．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
例4．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；
（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ．
模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型）
1）“2α对180°-2α模型”
条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
2）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。
例1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
例2.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____．
例3.（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7．2
例4.如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：
（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．
课后专项训练
1．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值.
3．（2023·广西·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C=180°．
4．五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．
5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．
6.在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.
7.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；
（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.
8.如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.
（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；
（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.
9.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．
（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
10．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形中，，.
(1)如图1．连接，若，求证：.
(2)如图2，点分别在线段上，满足，求证：;
(3)若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
11．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？
[探究]探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______．
探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由．
[结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______．
[拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．
12．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
13、在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．
（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；
（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．
14、已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．
(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ．
(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
15.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
16．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
17．（2022山西省吕梁市八年级期末）如图，已知与，平分．
(1)如图1，与的两边分别相交于点、，，试判断线段与的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：．
理由如下：如图1，过点作，交于点，则，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若，．
①如图3，与的两边分别相交于点、时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段、、有什么数量关系？说明理由．
②如图4，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系；如图5，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系．
专题05 全等模型-对角互补模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②.
例1.（2022·绵阳市·八年级期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是AB，BC上的点，连接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∠ABO＝∠ACB＝45°，∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．BE＝CF＝3，∵AB＝BC，∴BF＝AE＝4，
在Rt△BEF中，BF＝4，BE＝3，∴EF＝5．
例2. 如图，，，，，垂足为．
（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：．
【解答】证明：（1），
，，，
在和中，，；
（2），，，由（1）知，，
，，，；
（3）延长到，使得，，，
在和中，，，，，
，，，，
，，，，
在和中，，，，
，．
例3、在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将此三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于点、点，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段和之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；
（2）观察线段、和之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；
【解答】解：（1），理由如下：
如图②，连接，是等腰直角三角形，为斜边的中点，
，，，，
又，，，
在和中，，，；
（2），理由如下：连接，如图③所示：
同（1）得：，，
，
例4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形
经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明．
【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）连接AD，根据∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，从而可以证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可证明；
（2）连接AD，同样证明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可证明．
【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，
∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；故答案为：△BDE，△ADF，90°；
（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，，
∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD，
在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）
1）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC
2）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，.
例1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，
∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，
∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．
例2．如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，试判断线段CD与CE的数量关系，并说明理由．
以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD＝CE．
理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC，交OB于点F，则∠OCF＝90°，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．
①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与BO的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段OD、OE、OC有什么数量关系．
解：（1）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，且∠OCF＝90°，
∴∠OFC＝45°＝∠BOC，∴OC＝FC，
∵∠DCE＝∠OCF＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，且CO＝CF，∠AOC＝∠CFE＝45°，
∴△CDO≌△CEF（ASA）∴CD＝CE
（2）如图2，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，
又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
又∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠CEO＝∠CDM，且∠CMD＝∠CNE，CM＝CN，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE．
（3）①（1）中的结论仍成立．OE+OD＝OC．
理由如下：如图3，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，
在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO＝360°，
又∵∠AOB+∠DCE＝60°+120°＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
又∵∠CEO+∠CEN＝180°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．
∴OE+OD＝OE+OM+DM＝OE+OM+EN＝ON+OM．
∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，
∴，同理可得ON＝OC，∴．
②在图4中，（1）中的结论成立，OE﹣OD＝OC，
如图4，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠COE+∠CEO+∠DCE+∠OCD＝180°，∴∠OCD+∠CEO＝60°，
∵∠AOC＝∠CDO+∠OCD＝60°，∴∠CDO＝∠CEN，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．
∴OE﹣OD＝ON+NE﹣（MD﹣OM）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，
∴，同理可得ON＝OC，∴OE﹣OD＝ON+OM＝OC；
在图5中，（1）中的结论成立，OD﹣OE＝OC，
如图5，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M，N，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，
又∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠COA+∠CDO+∠DCE+∠OCE＝180°，∴∠OCE+∠CDO＝60°，
∵∠NOC＝∠CEO+∠OCE＝60°，∴∠CDO＝∠CEO，且CM＝CN，∠CMD＝∠CNE，
∴△CMD≌△CNE（AAS），∴CD＝CE，DM＝EN．
∴OD﹣OE＝DM+OM﹣（EN﹣ON）＝ON+OM．∵∠AOC＝60°，CM⊥AO，∴∠MCO＝30°，
∴，同理可得ON＝OC，∴OD﹣OE＝ON+OM＝OC；
例3．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.
【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可证BE=CF；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cs60°=BD=BC=2.
【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，
∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，
∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，
∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．
在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM=CN，DM=DN．
在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cs60°=BD=BC=2.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．
例4．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．
（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；
（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）．
【分析】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；
（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；
（3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长．
【详解】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，
则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴点Q在直线CA上，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；
（2）：.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；
（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，
∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，
根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，
∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，
∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点．
模型3、旋转中的对角互补模型（2α或180°-2α--全等型）
1）“2α对180°-2α模型”
条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
2）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP平分∠AOB的外角。
例1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．
∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，，∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），∴BK＝BD，
∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，
∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK＝∠CPD，故①正确，
在△PAK和△PCD中，，
∴△PAK≌△PCD（ASA），∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，
∴BK﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD，故③正确，
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，
∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
例2.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____．
【答案】（1）（4）
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，
在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确，
∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
例3.（2022·江苏常州·统考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7．2
【答案】B
【分析】要求的值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．
【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°，
∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
∵四边形ABCD对角互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF，
在△CBE和△CDF中， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF，
设BE=a，则DF=a， ∵AB=15，AD=12，
∴12+2a=15，得， ∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．
例4.如图，四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．试说明：
（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．
【分析】（1）根据角平分线的性质可得到CE＝CF，根据余角的性质可得到∠EBC＝∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF．
（2）已知EC＝CF，AC＝AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE＝AF，最后证得AB+DF＝AF即可．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°∴∠EBC＝∠D
在△CBE与△CDF中，∴△CBE≌△CDF；
（2）在Rt△ACE与Rt△ACF中，∴△ACE≌△ACF
∴AE＝AF∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF．
课后专项训练
1．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解】解：如图，
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，
∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量．
2．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值.
【答案】6
【分析】过点O作OC∥AB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论．
【详解】过点O作OD∥AB交AC于点D，
∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．
∴△CDO是等边三角形，∴DO=CO，∴DO=BO=AD．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE．
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB．
在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（ASA）．∴FC=EB．OF=OE．
∵AE=AB+BE，∴AE=AB+DF，∴AE=AB+AD+AF，∴AE-AF=AB+AD．
∵AB+AD=AB，∴AE-AF=AB．∵AB=4，∴AE-AF=6.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键．
3．（2023·广西·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C=180°．
【答案】见解析
【分析】先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,
根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C．
由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°．
【详解】证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD,
在△ABD和△EBD中,,∴△ABD≌△EBD（SAS）,∴AD=ED,∠A=∠BED．
∵AD=CD,∴ED=CD,∴∠DEC=∠C．∵∠BED+∠DEC=180°,∴∠A+∠C=180°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.
4．五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．
【答案】见解析
【分析】延长DE至F，使得，连接AC，易证△ABC≌△AEF，得到，然后证明△ADC≌△ADF即可解决问题．
【详解】延长DE至F，使得，连接AC.
∵，，∴
∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，
∵，∴，∴△ADC≌△ADF，
∴ 即AD平分∠CDE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题关键.
5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD＝DC．
【解答】证明：如图，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，
∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，
在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．
6.在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120º，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，直接写出DE与AB的位置关系；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DE＝DF；（3）在∠EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.
【解答】（1）DE⊥AB；（2）见解析；（3）
【解析】（1）∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90º，
∵∠A＝60º，∠EDF＝120º，∴∠AED＝360º－∠A－∠AFD－∠EDF＝90º，∴∠DE⊥AB；
（2）连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：
∵点D是BC的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∴DM＝DN，
∵∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90º，∠A＝60º，∴∠MDN＝360º－60º－90º－90º＝120º，
∵∠EDF＝120º，∴∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND，∴DE＝DF；
（3）过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如图所示：
在△BOM与△CDN中，，∴BM＝CN，DM＝DN，
∵∠EDF＝120º＝∠MDN，∴∠EDM＝∠NDF，
在△DME与△NDF中，，∴△EDM≌△FDN，∴ME＝NF，
∴BE－CF＝BM＋EM－（FN－CN）＝2BM＝BD＝.
7.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；
（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.
【解答】（1）PB＝PQ；（2）PB＝PQ
【解析】（1）过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：
∵P、C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90º，
∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE＋∠QPE＝90º，∠QPE＋∠QPF＝90º，
∴∠BPE＝∠QPF，∴△PQF≌△PBE，∴PB＝PQ；
（2）过点P 作PE⊥BC，PF⊥CD，如图所示：
证明过程参考（1），通过证△PQF≌△PBE即可得到PB＝PQ
8.如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为点G、H.
（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，探究BG与CH的大小关系，并说明理由；
（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上，AB＝BC＝4，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）中的结论仍成立吗？并说明理由.
【解答】（1）BG＝CH；（2）面积不变，始终是4；（3）仍成立，理由见解析.
【解析】（1）连接BD，如图所示：
∵等腰直角三角形ABC，点D为AC的中点，∴DB＝DC＝DA，∠DBG＝∠DCH＝45º，BD⊥AC，
∵EDF＝90º，∴∠ADG＋∠HDC＝90º，
∵∠BDC＝∠BDA＝90º，∴∠BDG＋∠ADG＝90º，∴∠BDG＝∠HDC，
∴△BDG≌△CDH（ASA），∴BG＝CH；
（2）在等腰直角△ABC中，∵AB＝BC＝4，∴△ABC的面积为8，∴∠A＝∠C＝45º，∴∠A＝∠DBH，
∵BD⊥AC，∠BDG＝∠CDH，∴∠BDH＝∠ADG，又∵BD＝AD，∴△BDH≌△ADG（SAS），
由（1）可得△BDG≌△CDH，∴，
∵DA＝DC＝DB，BD⊥AC，，
∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，始终是4；
（3）连接BD，如图所示：
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，∴∠BDG＝90º－∠CDG，∠CDH＝90º－∠CDG，∴∠BDG＝∠CDH，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠BCD＝45º，∴∠DBG＝∠DCH＝135º，
∴△DBG≌△DCH，∴BG＝CH，∴结论仍然成立.
9.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA＝PE．
（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，试探究∠CPE与∠ABC之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPE＝∠EDF＝90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，
∵PA＝PE，∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PEB+∠PCB＝180°，∴∠ABC+∠EPC＝180°，
∵∠ABC＝90°，∴∠EPC＝90°；
（3）∠ABC+∠EPC＝180°，
理由：解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PEB+∠PCB＝180°，∴∠ABC+∠EPC＝180°．
10．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形中，，.
(1)如图1．连接，若，求证：.
(2)如图2，点分别在线段上，满足，求证：;
(3)若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出；
（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；
（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，∴
在和中，∴∴
（2）如图2，延长至点，使得，连接
∵∴
∵∴
∵，，∴∴，，
∵，，∴
∵，，∴
∴∴
（3） 如图3，在延长线上找一点，使得，连接，
∵ ∴
∵ ∴
在和中，∴
∴，∴ ∵∴
在和中，∴∴
∴∴∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？
[探究]
探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______．
探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由．
[结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______．
[拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．
【答案】探究一：角的平分线上的点到角的两边距离相等；探究二：AD＝CD；理由见解析；[结论]：AD＝CD；[拓展]：见解析．
【分析】探究一：根据角平分线的性质定理解答；
探究二：作于，作交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质证明结论； [理论] 根据探究结果得到答案；
[拓展]在上取一点，使，作角的延长线于，于，证明，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，结合图形证明结论．
【详解】解：探究一：平分，，，，
理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等；
探究二：作于，作交的延长线于，
平分，，，，
，，，
在和中，，；
[理论] 综上所述，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是，故答案为：；
[拓展] 在上取一点，使，作角的延长线于，于，
．平分，，，，
，，，，，
，，．
在和中，，，，
，，，，．
，．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
【答案】【发现证明】证明见解析；【类比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究应用】109．2米．
【详解】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．
解：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．
又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF，
∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM，
∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAG=∠BAD=150°，∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米．
“点睛”此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
13、在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，．
（1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________；
（2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长．
【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF，理由见解析；（3）4
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，D点为AC的中点∴∠DBC=30゜
∵∠EDF=120゜∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜
∴∠DBC=∠F∴DE=DF故答案为：DE=DF
（2）仍有DE=DF；理由如下：过点D作DG∥BC交AB于点G，如图2所示
则∠AGD=∠ABC∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60゜
∴∠AGD=∠A=60゜∴△AGD是等边三角形
∴∠ADG=∠AGD=60゜，AD=GD∴∠DGE=∠GDC=120゜∴∠EDF=∠GDC=120゜
∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF∴∠GDE=∠CDF
∵D点是AC的中点∴AD=DC=GD∵∠ACB=60゜∴∠DCF=120゜∴∠DGE=∠DCF
在△DGE和△DCF中∴△DGE≌△DCF(ASA)∴DE=DF
（3）过点D作DG∥BC交AB于点G，如图3所示 与（2）同理有：△DGE≌△DCF∴GE=CF
设BC=a，则CF=8－a，∴ 由GE=CF，得：解得：a=4
14、已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E．
(1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ．
(3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【解析】(1)证明：取AB的中点F，连接OF．
∵△ABC是等边三角形，∴，
∵点O与点F分别是BC与AB的中点，∴，
∴△BOF是等边三角形，∴，
，∴，∴，
∵在△DOF和△EOC中，，∴，∴．
(2)解：结论：．理由：∵，∴，∴，
∵是等边三角形，∴，
∵，∴．故答案为：；
(3)结论：．理由如图2中，取的中点F，连接OF．
同（1）中的方法可证是等边三角形，，
∴，∴，∵，∴
15.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
【答案】(1)①，；②存在，详见解析(2)45°
【解析】（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；
②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：
如图2，∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAF=90°，∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD；
（2）如图，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°
∵AE⊥AC∴∠AEC+∠BCA=90°∴∠ACF=∠AEC
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，，∴△ACF≌△AED（AAS），
∴AC=AE，∴∠ACE=45°，∴∠BCA=45°
16．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
【答案】(1)60°(2)证明见解析；(3) ．
【详解】（1）解：在BD上取点E，使BE= CD，如图1所示：
∵，，∴△ABC是等边三角形，∴AB= AC，
∵∠BAC =∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中， ，∴（SAS），
∴，，∴，
∴△AED是等边三角形，∴∠ADB=60°；故答案为：60°；
（2）证明：在DC的延长线上取一点H，使，如图2所示：
图3
∴ ，∵，，∴，
∵AB＝BC，，∴，
又∵，即，∴，
在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，
∴ ，∴；
（3）解：延长DC至H，使CH = AC，连接BH，如图3所示：
∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，
∵AC = CH，BC= BC，∴（SAS），
∴，，
∵，∴，∴，设，则，
∵∴，∴，
又∵，∴△BDH为等边三角形，
∴，∴．
17．（2022山西省吕梁市八年级期末）如图，已知与，平分．
(1)如图1，与的两边分别相交于点、，，试判断线段与的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：．
理由如下：如图1，过点作，交于点，则，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若，．
①如图3，与的两边分别相交于点、时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段、、有什么数量关系？说明理由．
②如图4，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系；如图5，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，.在图5中，(1)中的结论成立，
【分析】（1）通过ASA证明即可得到CD=CE；（2）过点作，，垂足分别为，，通过AAS证明同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点作，垂足分别为，，通过AAS得到，进而得到，利用等量代换得到，在中，利用30°角所对的边是斜边的一半得，同理得到，所以；方法二：以为一边作，交于点，通过ASA证明，得到，所以；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.
【详解】解：(1)平分，，
又
在与中，
(2)如图2，过点作，，垂足分别为，，∴，
又∵平分，∴，在四边形中，，
又∵，∴，又∵，∴，
在与中，∴，∴.
(3)①(1)中的结论仍成立..
理由如下：方法一：如图3(1)，过点作，，
垂足分别为，，∴，又∵平分，∴，
在四边形中，，
又∵，∴，
又∵，∴，在与中，，
∴，∴.
∴.
在中，，
∴，同理，∴.
方法二：如图3（2），以为一边作，交于点，
∵平分，∴，∴，
∴，，∴是等边三角形，∴，
∵，，∴，
在与中，∴，
∴.∴.
②在图4中，(1)中的结论成立，.
如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120° ∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF
∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC
在图5中，(1)中的结论成立，.
如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点
∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120° ∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE（ASA） ∴CD=CE，OE=DG
∴OD=OG+DG=OC+OE 即OD-OE=OC
【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.
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