人教版八年级数学上册专题09三角形中的特殊模型-燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册专题09三角形中的特殊模型-燕尾(飞镖)型、风筝(鹰爪)模型(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了“飞镖”模型，风筝模型或角内翻模型等内容，欢迎下载使用。
模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）

图1 图2
条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。
飞镖模型结论的常用证明方法：
例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
例2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ）
A．80°B．75°C．60°D．45°
例3．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A．B．C．D．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）.

例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．

探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数；
拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度．
模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型

图1 图2
1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。

图3 图4
3）角内翻模型:
如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；
如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。
例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）
例2．（2022秋·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
例3．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（ ）

A．B．C．D．
例4．（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．

(1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ．
例5．（2022春·河南鹤壁·七年级统考期末）中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，．
初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________；
(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；
(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；
再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由．
例6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数；
（2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；
（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程）
课后专项训练
1．（2023.广东八年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
2．（2023·重庆万州·七年级统考期末）如图，六边形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，将CDE沿CE翻折，得到，则∠BC的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（ ）
A．160°B．150°C．140°D．110°
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ．
5．（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ．
6.（2023·湖北·七年级期末）三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上．
（1）说明为什么．（2）说明为什么．
（3）与，哪一个更大？证明你的答案；
（4）与，哪一个更大？证明你的答案．
7．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；

（2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______；
（4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______；
8．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝ ，可以发现与的数量关系是 ；(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．
9．（2022春·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：.请你继续探索：

(1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
10．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，在和中，．点F与A位于线段所在直线的两侧，分别延长、至点、．

【特殊化思考】若时，请尝试探究：
（1）当在内部时，请直接写出、与的数量关系为__________；
（2）当在外部时，请直接写出、与的数量关系为__________；
（3）若平分，平分．无论点在内部（如图③）还是外部（如图④）时，都有，请选择一幅图进行证明；

【一般化探究】若时，请尝试探究：
（4）若射线、分别是，的等分线（为大于2的正整数），且，．当时，直接写出与需满足的条件：__________．
10．（2023·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，(1)探索与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC＋∠ADC＝ °；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试求∠E的度数．
13．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．
（1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数．
14．（2023·广西·八年级专题练习）如图，中，
(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．
15．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
16．（2023·江苏苏州·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若、互为组角，且，则________；
【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：；
（5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示）
专题09 三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）

图1 图2
条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。
飞镖模型结论的常用证明方法：
例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
有趣的“飞镖图”
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：
方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ；
(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；
(3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．
【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见解析；(3)70°
【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解．
【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）
（2）证明：连接 CD 并延长至 F，
∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，
∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ；
（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，
∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，
∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，
∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF，
∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠ C），解得：∠C=70°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ）
A．80°B．75°C．60°D．45°
【答案】C
【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小.
【详解】解：连接


平分，平分，


故选：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.
例3．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵ ∴
同理得∵
∴

∵ ∴
∴
∴,故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）.

【详解】（1）∵，∴
∵，∴，∴
∵，∴
（2）过点作，交、于、，则，
由（1）知
∵， ∴
即
（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论）
例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．

探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数；
拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度．
【答案】（1），理由见详解； （2）①30；②95°；（3）
【分析】（1）连接AD并延长至点E，利用三角形外角的性质得出左右两边相加即可得出结论；
（2）①直接利用（1）中的结论有，再把已知的角度代入即可求出答案；
②先根据求出，然后结合角平分线的定义再利用即可求解；
（3）先根据求出，再求出的度数，最后利用求解即可．
【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E

∵
又∵∴
（2）①由（1）可知
∵，∴
②由（1）可知
∵，∴
平分 ，CF平分
（3）由（1）可知
∵， ∴
∵，分别是、的2020等分线（）
∴
∴
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题的关键．
模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型

图1 图2
1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；
2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。

图3 图4
3）角内翻模型:
如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；
如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。
例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①
【分析】根据多边形（三角形）的外角和为即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，故①正确，②不正确；
∵多边形的外角和是，∴，故③④不正确，故答案为：①．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形是解题的关键．
例2．（2022秋·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.
【详解】由折叠的性质可知
∵
∴
∴故选C
【点睛】本题考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.
例3．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等得出，根据三角形内角和定理可得结果．
【详解】解：∵，，∴，
∴，
∵，∴，故B正确．故选：B．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和定理求出的度数．
例4．（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．

(1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）根据多边形内角和与外角即可说明与、的数量关系；
（2）结合(1)的结论，根据与的平分线，，，即可求的度数；
（3）结合(1)的结论，根据、分别是四边形外角、的角平分线.进而可以写出、与的数量关系．
【详解】（1）猜想：，理由如下：
∵，，∴，
（2）∵，，，
∴，
∵、分别平分与，∴，，
∴，
∴，
（3）、与的数量关系为：，理由如下：
∵、分别是四边形外角、的角平分线，
∴，，
由(1)可知:，，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握多边形外角．
例5．（2022春·河南鹤壁·七年级统考期末）中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，．
初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________；
(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；
(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；
再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，见解析．
【分析】（1）连接，证明即可；（2）利用（1）中结论解答即可；
（3）直接利用三角形的外角性质求解即可；（4）同样直接利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

，，
，
，，，故答案为：；
（2）解：由（1）可知，，故答案为：；
（3）解：如图，
，，，
即，故答案为：；
（4）解：，证明如下：如图，连接，
，，
，．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角和性质，解题的关键是灵活运用所学求解．
例6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数；
（2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系；
（3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程）
【答案】（1），（2），（3）
【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得 ，问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：（1）如图，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，，，
∴，整理得，，
∵，，∴，即；
（2）如图，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，∴，
整理得，，即；故答案为：；
（3）如图，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，∴，
整理得，，即．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023.广东八年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．
【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，
∴∠AED= (180°−∠1),∠ADE= (180°−∠2)，
∴∠AED+∠ADE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2)
在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2)
则2∠A=∠1+∠2，故选择B项.
【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质.
2．（2023·重庆万州·七年级统考期末）如图，六边形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，将CDE沿CE翻折，得到，则∠BC的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
【答案】B
【分析】过点B作BG∥AF，利用平行线的性质求得∠BCD=120°，利用折叠的性质求得∠ECD=∠EC=20°，即可求解．
【详解】解：过点B作BG∥AF，∵AF∥CD，∴AF∥BG∥CD，
∵∠A=140°，∠ABC=100°，∴∠ABG=180°-140°=40°，∠GBC=100°-40°=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，由折叠的性质得：∠ECD=∠EC=20°，
∴∠BC=120°-∠ECD-∠EC=120°-20°-20°=80°，故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（ ）
A．160°B．150°C．140°D．110°
【答案】C
【分析】由得，再根据翻折知，，即可求出的值．
【详解】解：，，翻折，，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键．
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ．
【答案】/度
【分析】根据折叠性质，，根据三角形内角和定理，得到，根据平角计算即可．
【详解】根据折叠性质，得，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
5．（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ．
【答案】126°
【分析】利用平行线的性质求出∠DEN＝27°，再利用翻折不变性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根据平角的性质即可解决问题．
【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°，
由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°，故答案为126°．
【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.（2023·湖北·七年级期末）三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上．
（1）说明为什么．（2）说明为什么．
（3）与，哪一个更大？证明你的答案；
（4）与，哪一个更大？证明你的答案．
（1）由三角形三边关系，．
（2）由三角形三边关系，．
因此， ．
（3）由三角形三边关系，，，以及，
将三个不等式相加，得．
（4）由（2）可知．
类似可得，以及．
将这三个不等式相加，可得，
即．
7．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；

（2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______；
（4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______；
【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3）；（4）．
【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可；（2）根据折叠性质和三角形内角和即可；（3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可；（4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可．
【详解】（1）由折叠性质可知：，，，
∴，，，∵
∴，
∴，故答案为：，
（2）由由折叠性质可知：，，，
∴，，，
∵，，，，∴，
同理：，，
∴，
（3）根据(2)可知：，，
如图3，∵，，∴，
∴，故答案为：，
（4）根据（2）（3）可知：，，，
∴，
∴，故答案为：
【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．
(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝ ，可以发现与的数量关系是 ；(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．
【答案】(1)，互余(2)(3)
【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可；（2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可；（3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，∴，
由折叠得：.
∴，
∵，∴与的数量关系是互余．
（2）解：∵，
∴，
由折叠得：
∴，∴的度数为；
（3）解：如图：
∵，∴，
由折叠得：，
∴ ，
∴与x，y之间的数量关系：．
【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键．
9．（2022春·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：.请你继续探索：

(1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？
(2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）连接，由外角的性质得到，做差即可得到答案；
（2）由图形折叠的性质可知，两式相加变形后即可得到答案．
【详解】（1）连接，

∵，，∴；
（2）由图形折叠的性质可知，
两式相加得，，即，
∴，即：．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键．
10．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，在和中，．点F与A位于线段所在直线的两侧，分别延长、至点、．

【特殊化思考】若时，请尝试探究：
（1）当在内部时，请直接写出、与的数量关系为__________；
（2）当在外部时，请直接写出、与的数量关系为__________；
（3）若平分，平分．无论点在内部（如图③）还是外部（如图④）时，都有，请选择一幅图进行证明；

【一般化探究】若时，请尝试探究：
（4）若射线、分别是，的等分线（为大于2的正整数），且，．当时，直接写出与需满足的条件：__________．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）
【分析】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论；（3）选图3证明，根据角平分线的定义及（1）中的结论得出，再根据平行线的性质与判定证明即可；（4）先根据平行公理的推论得到，再根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出与的关系．
【详解】解：（1）在中，，
在中，，
，
，，
，，
，，故答案为：；
（2）在中，，
在中，，，
，，
，，
，，故答案为：；
（3）选择图③，证明：如图，

过点作，，
平分，平分，，，
由（1）知，
，，
，，，；
选择图④，证明：如图，设与交于点，

平分，平分，，，
同（2）可得：，
，，，
是的一个外角，，
即，，；
（4）证明：，只能在内部，如图，过点作，

，，连接，，，
又，，
又，，，，
，
又，，
，
，，，
即．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，熟记三角形内角和是是解题的关键，同时应熟练掌握平行线的性质与判定及角平分线的定义．
10．（2023·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式；
（3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）β﹣α=80°；（3）平行，见解析
【分析】（1）连接AC，根据三角形的外角的性质，即可求解；
（2）连接AG，由∠MBC+∠NDC=α+β，得∠MBG+∠NDG=(α+β)，结合∠MBG+∠NDG=α+40°，即可得到结论；（3）延长BC交DF于H，易得∠CBE+∠CDH=（α+β），结合∠CDH =β﹣∠DHB，可得∠CBE+β﹣∠DHB=（α+β），进而得∠CBE=∠DHB，即可得到结论．
【详解】（1）如图1，连接AC，
∵∠MBC=∠BAC+∠BCA，∠NDC=∠CAD+∠ACD，
∴∠MBC+∠NDC=∠BAC+∠BCA+∠CAD+∠ACD
=（∠BAC+∠CAD）+（∠BCA+∠ACD）=∠BAD+∠BCD=α+β=100°；
（2）如图1，连接AG，由（1）得∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠MBG+∠NDG=∠MBC+∠NDC=(α+β)，
∵∠MBG=∠BAG+∠BGA，∠NDG=∠DAG+∠DGA，
∴∠MBG+∠NDG=∠BAG+∠BGA+∠DAG+∠DGA=（∠BAG +∠DAG）+（∠DGA++∠BGA）=∠BAD+∠BGD=α+40°，
∴(α+β)= α+40°，即：β﹣α=80°；
（3）平行，理由如下：如图2，延长BC交DF于H，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=（∠MBC+∠NDC）=（α+β），
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB=（α+β），
∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB=（β+β）=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质定理，角平分线的定义，平行线的判定定理，添加合适的辅助线，构造三角形，熟练掌握三角形外角的性质定理，是解题的关键．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，(1)探索与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由．
【答案】(1)2∠A=∠1+∠2，理由见解析(2)∠A=（∠2-∠1），理由见解析
【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；
（2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）2∠A=∠1+∠2，
理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
（2）∵沿DE折叠A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE，
又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°，
∠2=180°-2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°-∠A，
∴∠1+90°+90°-∠2=180°-∠A，即∠A=（∠2-∠1）．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）∠ABC＋∠ADC＝ °；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试求∠E的度数．
【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；
（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】（1）解：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；故答案为180°；
（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF，即DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°，
延长DC交BE于H，由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，∴∠E=90°-45°=45°
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．
13．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．
（1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）240°
【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证，，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证，，和是对顶角，可推出的度数等于2倍的度数，计算得出答案．
【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图：
∵是的外角，∴．
∵是的外角，∴，
∴．
（2）解：∵和是对顶角，∴．
由（1）的结论可知，，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．
14．（2023·广西·八年级专题练习）如图，中，
(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵、的三等分线交于点、，
∴
∴，
；
（2）解：∵，∴，
∵、的等分线交于点、，
∴
∴，
．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键．
15．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.
【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；
（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；
（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.
【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，
在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，
在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；
（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2，
∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4
由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P
（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,
同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠A+∠C=2∠P
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
16．（2023·江苏苏州·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若、互为组角，且，则________；
【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：；
（5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示）
【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；②见解析；（5）
【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；
（2）根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
（3）两次运用镖形中的角的关系可得；
（4）①根据互为组角的定义及周角的定义，结合图形可知优角∠PCQ与钝角∠PCQ是一对互组的角；
②先由∠APD、∠AQB的平分线交于点M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而∠A+∠QCP=180°，那么∠PMQ=90°，即PM⊥QM．（5）由，知，代入得，据此得出，代入可得答案．
【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°；
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下：
如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
（3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α；
（4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；
②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．
令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．
∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，
在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，∴∠QCP+∠A=2∠PMQ，
∵∠A+∠QCP=180°，∴∠PMQ=90°．∴PM⊥QM；
（5）如图，
由题意知，，
，，
，
，
则，代入得：
，
解得：，
，，．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，角平分线定义，垂直的定义，等式的性质，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解互为组角的定义以及得出（2）中的关系是解题的关键．