人教版九年级数学上册专题02圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册专题02圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了切线长模型等内容，欢迎下载使用。

圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。
模型1、切线长模型

图1 图2
1）切线长模型（标准类）
条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
2）切线长模型（拓展类）
条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
例1．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）．

A．3B．C．6D．
例2．（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．平分D．
例3．（2023·广东汕头·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
模型2. 燕尾模型

条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．
[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线．
[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长．
例3．（2023秋·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：
(1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径．
(2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径．
模型3. 蝴蝶模型
条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。
结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
例2．（2023·河南洛阳·统考一模）概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解
(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
例3．（2022·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中的平分线：
（1）如图1，的两边与一圆切于点，点是优弧的三等分点；
（2）如图2，的两边与一圆交于，且．
模型4. 手拉手（旋转）模型
注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。

条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
例1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．
（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．

例3．（2023·山东潍坊·统考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
课后专项训练
1．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，它的周长为22，若与三边分别切于E，F，D三点，则的长为（ ）
A．6B．8C．4D．3
2．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（ ）
A．4B．2C．3D．6
3．（2023春·山东九年级课时练习）如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分 C． D．
4．（2022秋·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·广西·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
6．（2022春·江苏九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．

7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 的半径为 2， 为圆上一动弦，以 为边作正方形，求的最大值 ．
8．（2022·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ．
9．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径，射线和是它的两条切线，D点在射线上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足，连接并延长交射线于点C．(1)求证：是半圆O的切线；(2)设，．①写出y与x的关系式；
②若，求阴影部分的面积．

10．（2023春·北京西城·九年级校考开学考试）如图，线段为的直径，，分别切于点，，射线交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．
(1)求证：；(2)求线段的长．

11．（2022年山东省济宁市创新联盟第五次中考模拟数学试题）如图1，直线l是过圆心O的一条直线，点M，N是直线l上关于点O对称的两点．AB，CD是圆O的两条直径，其中，过点A，B，C，D作圆O的切线AN，BM，CN，DM．
(1)求证：的角平分线垂直平分线段MN．(2)在若干个多边形组成的整体中，位于整体外侧的边的延长线相交组成的边数最少的封闭多边形，其面积被称为该整体的延展面积．例如图2，虚线所示的矩形的面积为两个小矩形所组成的整体的延展面积．则图1中，若可发生变化且不为60°，要使由四边形ANCO和四边形BMDO组成的整体的延展面积与时的相同，求可能的度数．
12．（2023·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．（1）求证：．（2）作半径于点，若，，求的长．
13．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．
(1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长

15．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
16．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线．(1)求证：(2)若，求证：点D在的垂直平分线上．
专题02 圆中的重要模型-圆中的全等三角形模型
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。
模型1、切线长模型

图1 图2
1）切线长模型（标准类）
条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
2）切线长模型（拓展类）
条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
例1．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）．

A．3B．C．6D．
【答案】D
【分析】连接，，，根据题意有：，，根据、是圆O的切线，可得，，证明，可得，即，问题得解．
【详解】连接，，，如图，

根据题意有：，，∵、是圆O的切线，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，∴量角器的直径是，故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形等知识，明确题意，灵活运用切线的性质是解答本题的关键．
例2．（2023秋·福建莆田·九年级统考期末）如图，已知，是圆的两条切线，，为切点，线段交圆于点．下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．平分D．
【答案】D
【分析】先根据证明，然后利用等腰三角形三线合一、全等三角形性质对四个选项逐一判断．
【详解】∵，是圆的两条切线∴
∵∴（）∴，故A正确，不符题意；
∴，故C正确，不符题意；
∵∴在中，故B正确，不符题意；
若，连接，∵，∴∴是等边三角形，
∴，显然不一定成立，故D错误，符合题意；故选D
【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形三线合一、全等三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．
例3．（2023·广东汕头·校考一模）如图，为的切线，A为切点，过点A作，垂足为点C，交于点B，延长与的延长线交于点D．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)10
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可证得结论；
（2）先根据勾股定理求出，再求出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，，，是的切线，，
在与中，，，
，，是半径，是的切线；
（2）解：，，
在中，，
、为的切线，，
在中，，即，
解得，．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，切线长定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
模型2. 燕尾模型

条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质逐项分析即可．
【详解】解：由圆的基本性质可知：，，
∴，即：，故A正确；∴和均为等腰三角形，
∵和的顶角均为，
∴，，
∴，∴，故B正确；
∵当是的中位线时，满足，由于不一定为的中点，
∴不一定等于，故C错误；
在和中，∴，∴，故D正确；故选：C．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解圆的基本性质，熟练运用等腰三角形的判定以及全等三角形的判定是解题关键．
例2．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．
[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线．
[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长．
【答案】(1)作图方法正确；作图见解析；理由见解析(2)
【分析】（1）作图方法正确，作出图形，如图所示，要证是小圆的切线，由图及“连半径、证垂直”的方法，先根据条件判定，进而得到，即可确定，从而得证；
（2）连接，如图所示，在中，，，利用勾股定理得到，再由垂径定理得到，结合，利用三角形中位线定理得到，在中，由勾股定理可得．
【详解】（1）解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示：
以上即为所求作的图形；理由如下：
∵是小圆的切线，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
又为半径，∴是小圆的切线；
（2）解：连接，如图所示：
在中，，，∴，
∵，为圆的半径，，
，∴，∵为大圆的直径，∴，
在中，．
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线证明、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识，读懂题意，作出图形，熟练掌握切线判定、垂径定理及勾股定理的运用是解决问题的关键．
例3．（2023秋·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：
(1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径．
(2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）设、交于点G，连接，交圆于点F，即可作答；
（2）连接、，交于点F，延长、，两线交于点E，作直线，交圆于点M、N，即可作答．
【详解】（1）如图，设、交于点G，连接并延长，交圆于点F，
线段即为所求；
证明：如图，、交于点Q，、交于点P，连接，交于点H，
∵，，∴，，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵， ∴，
∵，，∴，
∴，，
∴垂直平分弦，∴是圆的直径；
（2）如图，连接、，交于点F，延长、，两线交于点E，作直线，交圆于点M、N，
线段即为所求． 证明方法同（1）．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握圆周角定理以及垂径定理是解答本题的关键．
模型3. 蝴蝶模型
条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。
结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长；（2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证．
【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：
（2）过作，作，垂足分别为、，
∴，，，，
又∵，∴，连接、、、，
在和中，，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．
例2．（2023·河南洛阳·统考一模）概念引入
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解
(1)如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 ．
(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：．
概念应用如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长．
【答案】(1)3；(2)证明见解析；
【分析】（1）根据垂径定理得出，然后再根据勾股定理求出结果即可；
（2）连接、，证明，即可得出答案；
概念应用过点作交于，过点作交于，连接，证明四边形是正方形，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：连接，，，，
，，，，故答案为：3；
（2）证明：连接、，
，，，
，，，
，，，
，；
概念应用解：过点作交于，过点作交于，连接，
，，
，，四边形是正方形，，
，，的直径为20，，
，，.
【点睛】本题主要考查了垂径定理，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法和正方形的判定和性质．
例3．（2022·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中的平分线：
（1）如图1，的两边与一圆切于点，点是优弧的三等分点；
（2）如图2，的两边与一圆交于，且．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用点、是优弧的三等分点，连接，，其交点为，即可得出答案；
（2）利用，连接，，其交点为，即可得出答案．
【详解】解：（1）射线即为所求，如图：
证明：连接、，如图：
∵的两边与一圆切于点，∴
∵点，是优弧的三等分点∴
∴在和中∴
∴∴射线为的平分线；
（2）射线即为所求，如图：
证明：∵，，
∴∴，
∴即
∵，
∴∴
∴即
∵∴
∴射线为的平分线．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，涉及到的知识点有切线长定理、同弧或等弧所对的弦相等、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等式性质等知识点，利用角平分线的定义得出角平分线上的点是解题关键．
模型4. 手拉手（旋转）模型
注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。

条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
例1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】延长到，使，连接，先证明，得到，再证明，，最后得到．
【详解】解：如图，延长到，使，连接，
四边形是圆内接四边形，，，
在和中，，
，
，
即，，故选：C．
【点睛】本题考查圆的内接四边形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
例2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．
（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）；（4）
【分析】（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；
（2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是；
（3）先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是；
（4）连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为．
【详解】（1）证明：由旋转得，，，，
，，
、、三点在同一条直线上，，
是等边三角形，，
，是等边三角形，， ；
（2）是的弦，且的半径为，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
的最大值是，故答案为：．
（3）类比迁移解：如图，，，
是的直径，且圆心在上，，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，
，，
、、三点在同一条直线上，
，，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
，的最大值是，
，周长的最大值是．
（4）拓展延伸解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，
，，，
连接、，，，
，，，
，，，的最小值为．
【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
例3．（2023·山东潍坊·统考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD
【分析】（1）①由圆周角性质得出∠ADB＝∠CDB，即可得出结论；②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，由全等三角形判定可得△BAD≌△BCE，由等边三角形的判定得△BDE为等边三角形即可得出结论；（2）延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，由全等三角形判定可得△BAD≌△BCE，易判断△BDE为为等腰直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，
∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；
②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，
∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝BD ，理由如下：
延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD．
【点睛】本题考查了圆周角的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，读懂题意正确理解题中圆中“爪形A”是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在中，，，它的周长为22，若与三边分别切于E，F，D三点，则的长为（ ）
A．6B．8C．4D．3
【答案】D
【分析】由切线长定理得．从而得到，再由的周长为22，可得到，从而得到．再由，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵与三边分别切于E，F，D三点，
∴，∵，∴．
∵的周长为22，∴，∴，
∴，∴．
∵，∴是等边三角形，∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，等边三角形判定和性质，熟练掌握切线长定理，等边三角形判定和性质是解题的关键．
2．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（ ）
A．4B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】，先证明，得出，，得出，过点作，在中，设，则，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，
在和，PA，PB，分别切⊙O于点A，B，
，，
，，
，是等边三角形，
，
，
又，
，
，，
过点作，如下图
根据等腰三角形的性质，点为的中点，，
在中，设，则，，
，解得：，，，故选：A．
【点睛】本题考查了圆的切线，三角形全等、等腰三角形、勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，掌握切线的性质来求解．
3．（2023春·山东九年级课时练习）如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分 C． D．
【答案】D
【分析】利用切线长定理证明△PAG≌△PBG即可得出．
【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，
由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．
【点睛】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．
4．（2022秋·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由得，证，利用全等的性质可得结果．
【详解】解：，
，，
在和中，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了圆的半径相等，全等三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键．
5．（2022春·广西·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【答案】3
【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【详解】解：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，，
∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，∴OD＝＝＝3．
【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．
6．（2022春·江苏九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．

【答案】 30
【分析】（1）根据切线的性质可得，，，再根据，即可求出结果；
（2）连接、、，证明，，可得，，从而可得，再根据切线的性质可得，利用四边形的内角和求得，即可求得结果．
【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D，
∴，，，
∴，
∵、分别与相切于点A、B，∴，
又∵，∴，
∵与相切于点D，∴，
在和中，，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，
∴，故答案为：30；．

【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 的半径为 2， 为圆上一动弦，以 为边作正方形，求的最大值 ．
【答案】/
【分析】把绕点A顺时针旋转得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据正方形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【详解】如图，连接、、把绕点A顺时针旋转得到，连接
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
在正方形中，， ，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
当O、、D三点共线时，取，
此时，的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
8．（2022·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ．
【答案】π．
【分析】连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．由圆周角定理可知∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，即可推出∠DOC+∠AOB＝180°．由OH⊥AB，DP＝PC，可证明AH＝HB＝AB＝3，OP⊥CD．根据同圆半径相等可证明∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，即推出∠AOH+∠COP＝90°，又因为∠AOH+∠OAH＝90°，所以∠COP＝∠OAH，即可利用“AAS”证明△OHA≌△CPO，推出OP＝AH＝3，即点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，再根据题意知OD，OP的旋转角度相等，即可求出其圆心角，最后根据弧长公式即可求出答案．
【详解】解：如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．
∵AC⊥BD，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，
∴∠DOC+∠AOB＝180°，
∵OH⊥AB，DP＝PC，
∴AH＝HB＝AB＝3，OP⊥CD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，
∴∠AOH+∠COP＝90°，
∵∠AOH+∠OAH＝90°，
∴∠COP＝∠OAH，
在△OHA和△CPO中，
∴△OHA≌△CPO（AAS），
∴OP＝AH＝3，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，
∵点D在圆上逆时针运动的路径长为π，设圆心角为n，
∴，
∴n＝60°，
∵OD，OP的旋转角度相等，
∴点P的运动路径的长．
故答案为：π．
【点睛】本题为圆的综合题，考查圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质以及弧长公式等知识．正确的画出其辅助线是解答本题的关键，本题较难．
9．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径，射线和是它的两条切线，D点在射线上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足，连接并延长交射线于点C．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)设，．
①写出y与x的关系式；
②若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②．
【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①过点D作于点F，利用（1）中的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；
②依题意画出图形，利用解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，

∵射线是半圆O的切线，E点在半圆O上，
∴，，
∵，，
∴．
∴，
∴是半圆O的切线；
（2）解：①过点D作于点F，如图，

∵、是半圆O的两条切线，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴．
∴y与x之间的函数关系式为；
②当时，
∵，
∴与重合，此时四边形为矩形，
连接，则四边形为正方形，如图，

∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形，扇形的面积，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2023春·北京西城·九年级校考开学考试）如图，线段为的直径，，分别切于点，，射线交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．

(1)求证：；
(2)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线长定理，对顶角的性质，切线的性质计算即可．
（2）连接，运用切线的性质定理，勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵线段为的直径，，分别切于点，，
∴，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）连接，
∵，是圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是圆的切线，是圆的切线，
∴，，
设，
则，

∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，对顶角的性质，熟练掌握切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，是解题的关键．
11．（2022年山东省济宁市创新联盟第五次中考模拟数学试题）如图1，直线l是过圆心O的一条直线，点M，N是直线l上关于点O对称的两点．AB，CD是圆O的两条直径，其中，过点A，B，C，D作圆O的切线AN，BM，CN，DM．
(1)求证：的角平分线垂直平分线段MN．
(2)在若干个多边形组成的整体中，位于整体外侧的边的延长线相交组成的边数最少的封闭多边形，其面积被称为该整体的延展面积．例如图2，虚线所示的矩形的面积为两个小矩形所组成的整体的延展面积．则图1中，若可发生变化且不为60°，要使由四边形ANCO和四边形BMDO组成的整体的延展面积与时的相同，求可能的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
【分析】（1）由切线的性质可得△MDO≌△MBO，从而易得∠AON=∠DOM，再由角平分线的性质可得结论成立；
（2）分别延长整体外侧的边的延长线分别相交于点E、F，如图3与如图4，则所得的四边形为菱形，对于图3，过点E作EP⊥MB于点P，则可求得菱形的边长，从而可得菱形的面积，即可该整体的延展面积；当∠AOD不为60°时，如图4，则由题意知，菱形的边长与图3中菱形边长相等，由三角函数知识可求得∠E的度数，从而可求得∠AOD的度数．
【详解】（1）如图，设OG是∠AOD的角平分线，则∠1=∠2
∵MB、MD分别是⊙O的两条切线
∴OD⊥MD，OB⊥MB
∵OD=OB，OM=OM
∴△MDO≌△MBO(HL)
∴MD=MB，∠MOD=∠MOB
∵∠NOA=∠MOB
∴∠NOA=∠MOD
∵∠1+∠2+∠NOA+∠MOD=180°
∴2∠1+2∠NOA=180°
即∠1+∠NOA=90°
∴∠GON=90°
即OG⊥MN
∵点M，N是直线l上关于点O对称
∴OM=ON
∴OG垂直平分线段MN
即的角平分线垂直平分线段MN
（2）分别延长整体外侧的边的延长线分别相交于点E、F，如图3与如图4
∵AN⊥AB，BM⊥AB
∴AN∥BM
同理：DM∥CN
∴四边形MENF是平行四边形
∵OA=OB，OM=ON，∠AON=∠BOM
∴△AON≌△BOM
∴NA=MB
∵MB、MD、EA、ED分别是⊙O的切线
∴MB=MD，EA=ED
∴ME=MD+ED=MB+EA，NE=NA+EA=MB+EA
即ME=NE
∴四边形MENF是菱形
图3中，当∠AOD=60°时，∠DOB=180°−∠AOD=120°
∵OB⊥MB，OD⊥DM
∴∠DMB=60°
过点E作EP⊥MB于点P，则可得EP=AB
在Rt△EPM中，
则此时四边形MENF的面积为
当∠AOD不等于60°时，如图4，过点M作MH⊥EN于H，则MH=AB
由题意知，
∴即
∴
在Rt△MHE中，
∴∠E=60°
∵OA⊥AE，OD⊥DE
∴∠AOD=180°−∠E=120°
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线长定理，锐角三角函数，菱形的判定与性质，菱形的面积计算等知识，属于圆的综合题，关键是读懂（2）中题目的含意并正确理解题意，抓住问题的实质，画出图形．
12．（2023·陕西西安·九年级校考期末）如图，为圆的弦，半径，分别交于点，．且．
（1）求证：．
（2）作半径于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）3．
【分析】（1）连接OA、OB，证明，即可得到；
（2）设OM=x，则OA=ON=x+2，在RtAOM中，根据勾股定理，列出方程，求出x，即可．
【详解】解：（1）证明：连接OA、OB，如图所示：
∵
∴∠AOE=∠BOD
∵OA=OB
∴∠OAE=∠OBF
∴
∴
（2）∵
∴AM=BM=4
设OM=x，则OA=ON=x+2
在RtAOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，
解得：x=3
∴OM=3．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，全等三角形判定，垂径定理以及勾股定理，熟练各知识点以及准确计算是解决本题的关键．
13．（2022·绵阳市·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可；
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【详解】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8
∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴CE＝，
∴CD＝2CE＝．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、中垂线性质、30°所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
14．（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，．

(1)判断的形状，并证明你的结论．
(2)若，求的长
【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)．
【分析】（1）由圆周角定理得到，即可证明问题；
（2）作于M，交延长线于N，推出，得到AM=AN，PN=PM，即可证明Rt△ABN≌Rt△ACM，得到，从而求出的长，得到的长，于是求出的长．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：作于M，交延长线于N，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
15．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），．M是弧的中点，则从M向所作垂线之垂足D是折弦的中点，即．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段上从C点截取一段线段，连接．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作于点H，连接
任务：
(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先证明，进而可得，即可得到解答；
（2）由（1）可知，，整理等式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取C，连接，
∵是的中点，
∴
在和中，
∴，
∴
∵，
∴
∴ ；
（2）证明：在中，，
在中，，
由（1）可知， ，
∴
；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
16．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线．
(1)求证：(2)若，求证：点D在的垂直平分线上．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）设直线交于T，由切线的性质得到，再由四边形内角和定理得到，由三角形外角的性质得到，由此即可推出，即可证明结论；
（2）如图所示，连接，证明，得到，即可证明点D在的垂直平分线上．
【详解】（1）证明：设直线交于T，
∵是圆D的两条切线，∴，
∴，
∵，∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
在和中，，
∴，∴，∴点D在的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，四边形内角和定理，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．