人教版七年级数学上册专题07线段中的动态模型(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学上册专题07线段中的动态模型(原卷版+解析)，共47页。

【知识储备】
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型
例1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
例2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
例3．（2022·重庆七年级期中）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：
（1）当AC＞BC时，点D在线段 上； 当AC＝BC时，点D与 重合；当AC＜BC时，点D在线段 上；
（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
模型2、线段上动点问题中的存在性（探究性）模型
例1．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
例2．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
模型3、阅读理解型（新定义）模型
例1．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
例2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______；
(2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立．
课后专项训练
1．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
2．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
3．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值
4．（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上有A、B两点，点O是数轴原点，点C是线段的中点，．(1)求点C所表示的数；(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，沿着数轴的正方向运动，点P、Q的运动速度分别是每秒3个单位长度和每秒2个单位长度（当P与Q相遇，运动停止），点M是线段的中点，设运动时间为t秒．① 请用含t的式子表示的长；② 当时，求动点P在数轴上对应的数字．（参考：在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，则以A、B为端点线段的中点对应的数为）

5．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，，与互为相反数，线段在数轴上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M、N分别为、的中点．

(1)的长为 ；若，则的长为 ；(2)在（1）条件下，当时，求N点所表示的有理数；(3)设，线段运动的速度为v，则在运动过程中，线段完全通过线段的时间为 ．（用含m、v的式子表示）
6．（2023秋·广东·七年级课堂例题）如图，数轴的原点为，是数轴上的三点，点B表示的数为1，，动点P、Q分别从点A、C同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是2个单位长度/秒，点Q的速度是1个单位长度/秒．设运动时间为秒．

(1)分别求点表示的数；(2)分别求点表示的数（用含t的式子表示）；(3)当t为何值时，？
7．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）已知数轴上、两点对应数分别为和4，为数轴上一点，对应的数为．(1)若为线段的三等分点，求点对应的数；
(2)数轴上是否存在点，使点到，两点的距离和为10？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)若点，和点（在原点），同时向左运动，它们的速度分别是1、2、1个长度单位/分，则第几分钟时，为的中点？并求出此时点所对应的数．
8．（2023秋·广东·七年级课堂例题）如图，是线段上任意一点，两点分别从点同时出发，沿线段向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为．设运动的时间为．(1)若，①运动后，求的长；②当在线段上运动时，试说明．
(2)如果，试探索的长．

9．（2023秋·黑龙江大庆·七年级统考开学考试）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为．

(1)当时，，请求出的长；
(2)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，Q是直线上一点，且，求的长．
10．（2022秋·云南昆明·七年级校考期末）如图，点是数轴的原点，数轴正半轴上有一点，已知，

(1)在原点的左侧画点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)点，点同时从原点出发，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后立即返回向右运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．当点到达点时，两个点都停止运动．若时，求的值；(3)在以上的条件下，若点到达点后继续沿数轴向右运动，点的运动速度和方向保持不变．在整个运动过程中，若点，点，点，点到原点的距离之和是15，求的值．
11．（2023秋·吉林·七年级校考期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为16，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
(1)，两点间的距离等于________，线段的中点表示的数为________；
(2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________；
(3)求当为何值时，？(4)若点为的中点，当点到原点距离为时， ________．
12．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，在数轴上，点为原点，点在原点左侧，点在原点右侧，点表示的数为，点表示的数为，．

(1) ．(2)动点、分别从点、同时出发，沿数轴向左运动，点、的运动速度分别是2个单位秒和3个单位秒，当点与点重合时，运动停止．设运动时间为，当为何值时，；
(3)在（2）的条件下，点为线段的中点，点为的中点．当时，求出相应值，并直接写出线段的长．
13．（2023秋·河南焦作·七年级统考期末）如图，点是数轴的原点，点、点在数轴上，点表示的数是6，且，
(1)求线段的长；(2)点以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点同时出发，运动时间为秒，若点能够重合，求出这时的运动时间；(3)在（2）的条件下，当点和点都向同一个方向运动时，直接写出经过多少秒后，点两点间的距离为20个单位．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图所示，点表示数轴的原点，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，并且关于的多项式是三次二项式．

(1)求线段的长；(2)动点从点出发，沿线段运动，到达点停止，速度是个单位长度/秒，点A为线段的中点，设运动时间为秒，请用含有的式子表示线段的长；
(3)在（2）的条件下，是否存在值，使线段的长度是？并说明理由．
15．（2023·绵阳市·七年级专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．

(1)若点C，D的速度分别是，．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；
②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；
(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长
16．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图，是线段上一点，，，两点分别从，出发以，的速度同时沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为.(1)若，运动时，且 ，请求出的长.(2)若，运动到任一时刻时，总有，的长度是否变化？若不变，请求出的长，若变化，请说明理由.
(3)在（）的条件下，是直线上一点，且，求的长.
17．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点，的速度分别是，．
①若，当动点，运动了时，求的值；
②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；
(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．
18．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．
设点的运动时间为秒．
(1)线段的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．
(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．
19．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，数轴上有A、两点，点A对应的数是，点在点A的右侧，和点A相距6个单位长度．
(1)求出点所对应的有理数；(2)若点到点A、的距离之和是10个单位长度，求出点所对应的有理数；
(3)在（2）的条件下，如果点从点出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，求经过几秒后、两点相距6个单位长度．
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知和是同类项，且a、b分别是点A、B在数轴上对应的数．(1)求线段的长度；(2)若点P、Q分别同时从点A、B出发，沿数轴向数轴负方向运动．点P的速度为1个单位/秒，点Q的速度为6个单位/秒，求t秒后线段的长（用含t的代数式表示）．(3)在（2）的条件下，已知点M把线段分成的两条线段的比为2：3，且，当时，求线段的长．
专题07 线段中的动态模型
线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1、线段中点、和差倍分关系中的动态模型
例1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求时间t为4或或．
【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解．
【详解】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b；
（3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P在线段BC上，即5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=；
③当点Q在线段BC上，即＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=；
④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或或．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
例2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，所以．
（3）分两种情况：如图，当点在线段上时，
因为，所以．
又因为，所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
例3．（2022·重庆七年级期中）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：
（1）当AC＞BC时，点D在线段 上； 当AC＝BC时，点D与 重合；当AC＜BC时，点D在线段 上；
（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
【答案】（1）AC，C，BC； (2) s；（3）CB的长度是4 cm 或28cm.
分析：（1）根据图形及阅读材料所给的信息直接填空即可；(2)如图4，先表示PC=2t，由折中点的定义得AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；（3）分当点D在线段AC上与BC上两种情况求解即可.
【解析】(1)当AC>BC时，如图1，点D在线段AC上；

当AC=BC时，如图2，点D与C重合；

当AC
因此，本题正确答案是：AC，C，BC.
（2）如图4，根据题意得：PC=2t，

∵AC=18，BC=10 cm，∴AC+BC=18+10=28 cm，
∵D点是折中点，∴AD=14cm，∴CD=18-14=4cm，
∵∠ACB=90°，∴，即，解得，
则当t为秒时，三角形PCD的面积为10cm2；
(3)分两种情况：
①点D在线段AC上时，如图5，
∵E为线段AC中点,EC=8 cm, ∴AC=2CE=16cm，
∵CD=6cm，∴AD=AC-CD=16-6=10cm，
∵D为折中点，∴AD=CD+BC，∴BC=AD-CD=10-6=4cm；
②点D在线段BC上,如图6,
∵E为线段AC中点，EC=8cm，∴AC=2CE=16cm，
∴AD=AC+CD=16+6=22cm， ∴BD=AC+CD=22cm，
∴BC=BD+CD=22+6=28cm.
综上所述，CB的长度是4 cm 或28 cm.
模型2、线段上动点问题中的存在性（探究性）模型
例1．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点 ∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有： 解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点 ∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
例2．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．
（1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ，
∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，
∵，，∴，解得：．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，
∵，，∴，解得：．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
模型3、阅读理解型（新定义）模型
例1．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
（2）（初步应用）
如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；
（3）（解决问题）
如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．
【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．
（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：，即N为CD的中点；情况2：，即N为靠近C点的三等分点；情况3：，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度．
（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是 “奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．
【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，
根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．
故答案是：是；
（2）是线段CD的“奇妙点”根据定义，此题共分为三种情况．
当，即N为CD的中点时，有CN=12cm．
当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．
当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．
故答案为：8或12或16．
（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．

t秒后，，．
当P点是“奇妙点”时，．
由“奇妙点”定义可分三种情况．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
当Q点是“奇妙点”时，．
当时，有 解得
当时，有 解得
当时，有 解得
综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；
当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．
【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．
例2．（2023秋·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______；
(2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立．
【答案】(1)，(2)；；
(3)存在t为4或，使等式成立
【分析】（1）根据材料阅读，即可求解；（2）根据材料阅读，可表示和，即可求解；（3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∵，∴，故答案为：，
（2）解：∵，∴，∵∴，
∴，∴；
（3）解：当点Q到达点A之前时， ∵∴，
∵∴，∴，
∵，∴， 解得：；
当点Q到达点A返回时，此时，∴
∵，∴，∵∴ ∴
∴存在t的值为4或，使等式成立．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键．
课后专项训练
1．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】①根据线段的中点的定义以及点、可确定点、表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点在点的右侧时以及点在点的左侧时，可得到点表示的数，由点为线段的中点可得点表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到、的长，从而确定点、，即可得到的长；④当时，可得到、的长，从而确定点、，进而判断．
【详解】①若点表示的数是3，∵点为线段的中点，表示的数是1，
∴，，即表示的数是2，∴，故①正确；
②若，当点在点的右侧时，则点表示的数是4，
∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，∴，
当点在点的左侧时，则点表示的数是，
∵点为线段的中点，∴，即表示的数是，
∴，综上，，故②不正确；
③当时，，，
∵、表示的数分别是，1，∴、表示的数分别是，，∴，故③正确；
④当时，，，∴、表示的数分别是，，
∵点在、的左侧，不可能是线段的中点故④不正确；故答案为：①③
【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数a，b满足：．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），．
下列结论：①；②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变．
所有结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①根据非负数的性质可得a和b的值，可判断；②如图1，根据数轴可直观得出；
③如图2，分别计算，的值可判断；④分四种情况，根据图形分别计算的长即可可判断．
【详解】解：①∵，
∵，∴，∴；故①正确；
②如图1，当点B与点O重合时，；故②不正确；
③如图2，当点C与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，
∴，∴；故③正确；
④∵M为线段的中点，N为线段的中点，
∴
分四种情况：1）当C在O的左侧时，如图3，
；
2）当B，C在O的两侧时，如图4，
；
3）当B，C在线段上时，如图5，
；
4）当B和C都在A的右边时，如图6，
；
∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，线段的长度不变．
故④正确；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴和线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
3．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值
【答案】(1)5，4(2)平方米(3)
【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；
（2）根据题意得：当t=4.5时，点P在CD上，DP=0.5米，点Q刚好到达点D处，可得米，再由，即可求解；（3）当P，Q都在DC上，可得，然后分两种情况讨论：当P左Q右时，当Q左P右时，即可求解．
（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案为：5，4；
（2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路程为9米，刚好到达点D处，∴米，∴平方米；
（3）解：点P在DC上，，点Q在DC上，，∴，当P左Q右时，，，∴，∴，解得：当Q左P右时，，，∴，∴，解得，不符题意，舍去．综上，满足题意的．
【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．
4．（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上有A、B两点，点O是数轴原点，点C是线段的中点，．(1)求点C所表示的数；(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，沿着数轴的正方向运动，点P、Q的运动速度分别是每秒3个单位长度和每秒2个单位长度（当P与Q相遇，运动停止），点M是线段的中点，设运动时间为t秒．① 请用含t的式子表示的长；② 当时，求动点P在数轴上对应的数字．（参考：在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，则以A、B为端点线段的中点对应的数为）

【答案】(1) (2)①；②或
【分析】（1）根据线段中点的定义结合线段之间的关系求出的长即可得到答案；
（2）①先求出点A和点B表示的数，进而求出运动t秒后点P和点Q表示的数，进一步求出点M表示的数，最后根据数轴上两点距离公式求出的长即可；②先表示出，结合（2）①所求以及已知条件建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，点C是线段的中点，∴，
∵，∴，
又∵点C在原点O的左边，∴点C表示的数为；
（2）解：①由（1）可知，，
∴点A和点B表示的数分别为和2，
∵动点P、Q分别从A、B同时出发，沿着数轴的正方向运动，点P、Q的运动速度分别是每秒3个单位长度和每秒2个单位长度，∴运动t秒后点P和点Q表示的数分别为和，
∵点M是线段的中点，∴运动t秒后点M表示的数为，
∴；
②由①得，
∵，∴，
∴或，解得或，
∴的值为或
∴点P表示的数为或．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，正确理解题意并熟练掌握数轴上两点距离公式是解题的关键．
5．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，，与互为相反数，线段在数轴上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M、N分别为、的中点．

(1)的长为 ；若，则的长为 ；(2)在（1）条件下，当时，求N点所表示的有理数；(3)设，线段运动的速度为v，则在运动过程中，线段完全通过线段的时间为 ．（用含m、v的式子表示）
【答案】(1)10，6(2)(3)
【分析】（1）由题意可直接得到，两点表示的有理数分别为和4，设，则，，由点、分别为、的中点，可得出，，所以；
（2）根据（1）中的结论，可直接求得；
（3）思路和过程同（1）中过程，可直接求出走的路程，根据速度可求出运动时间．
【详解】（1）解： 与互为相反数，
，又，，
，，，两点表示的有理数分别为和4，
；
如题图1，设，则，，
点、分别为、的中点，
，，
；
（2）解：如题图2，

当时，，
，，
又点表示的有理数为，点表示的有理数为；
（3）设，则，，
点、分别为、的中点，，
，
；
在运动过程中，线段完全通过线段的时间为：．
【点睛】本题主要考查数轴上点的运动，涉及线段的和差运算，线段中点的定义等内容，根据图形得出线段之间的和差关系是解题关键．
6．（2023秋·广东·七年级课堂例题）如图，数轴的原点为，是数轴上的三点，点B表示的数为1，，动点P、Q分别从点A、C同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是2个单位长度/秒，点Q的速度是1个单位长度/秒．设运动时间为秒．

(1)分别求点表示的数；(2)分别求点表示的数（用含t的式子表示）；(3)当t为何值时，？
【答案】(1)点A表示的数是，点C表示的数是3
(2)点P表示的数是，点Q表示的数是(3)当t的值为或8时，
【分析】（1）根据点B对应的数、线段、的长及点A、C与点B的位置关系，可得出点A、C对应的数；（2）根据点P、Q的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P、Q对应的数；
（3）根据，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点B表示的数为1，，且点A在点B的左侧，∴点A对应的数是，
∵点B表示的数为1，，且点C在点B的右侧，
∴点C对应的数是，∴点A对应的数是，点C对应的数是3；
（2）解：∵动点P、Q分别从点A、C同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是2个单位长度/秒，点Q的速度是1个单位长度/秒，
当运动时间为t秒时，点P对应的数是，点Q对应的数是；
（3）解：根据题意得，，
即或，解得或，
答：当或时，．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴及列代数式，解题的关键是掌握两点间的距离公式，理解题意，找准数量关系列方程．
7．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）已知数轴上、两点对应数分别为和4，为数轴上一点，对应的数为．(1)若为线段的三等分点，求点对应的数；
(2)数轴上是否存在点，使点到，两点的距离和为10？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)若点，和点（在原点），同时向左运动，它们的速度分别是1、2、1个长度单位/分，则第几分钟时，为的中点？并求出此时点所对应的数．
【答案】(1)点P对应的数为0或2(2)存在，或
(3)第2分钟时，为的中点，此时点所对应的数为
【分析】（1）根据三等分点的定义可得或，列出方程求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论：①当点P在点A左边时，②当点P在线段上时，③当点P在点B右边时；（3）设第t分钟为的中点，则第t分钟，点A对应的数为，点B对应的数为：，点P对应的数为，根据为的中点，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵、两点对应数分别为和4， ∴，
∵为线段的三等分点，∴或，且点P在线段上，
∵点P表示的为数x，∴，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上：点P对应的数为0或2．
（2）解：①当点P在点A左边时：，，∴，解得：；
②当点P在线段上时：，，∴，不符合题意；
③当点P在点B右边时：，∴，解得：，
综上：存在，或．
（3）解：设第t分钟为的中点，第t分钟，点A对应的数为：，
第t分钟，点B对应的数为：，第t分钟，点P对应的数为：，
∵为的中点，∴，解得：，此时点所对应的数．
综上：第2分钟时，为的中点，此时点所对应的数为．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求法．
8．（2023秋·广东·七年级课堂例题）如图，是线段上任意一点，两点分别从点同时出发，沿线段向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为．设运动的时间为．

(1)若，①运动后，求的长；②当在线段上运动时，试说明．
(2)如果，试探索的长．
【答案】(1)①；②见解析(2)的长为或．
【分析】（1）①先求出与的长度，然后利用即可求出答案；
②用t表示出的长度即可证得；
（2）当时，求出的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
【详解】（1）解：①由题意可知，，
因为，所以，所以；
②因为，所以，，
所以，所以，所以；
（2）解：当时，，，
当点在点的右边时，如图①所示：

因为，所以，
所以，所以；
当点在点的左边时，如图②所示：

因为，所以，
所以，综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型．
9．（2023秋·黑龙江大庆·七年级统考开学考试）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以
的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为．

(1)当时，，请求出的长；
(2)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长；
(3)在（2）的条件下，Q是直线上一点，且，求的长．
【答案】(1)(2)(3)的长为或
【分析】（1）根据运动时间可得，因为，可得，即可求解；
（2）和第（1）问一样的思路求解即可；
（3）两种情况分别进行讨论，点Q在线段上，可证，即可求解；点Q不在线段上，则点Q在线段的延长线上，和前一种情况一样的思路．
【详解】（1）解：∵点C从P出发以的速度运动，运动的时间为∴.
∵点D从B出发以的速度运动，运动的时间为，∴.故.
∵，∴，即.故.
∵，∴.
（2）解：∵点C从P出发以的速度运动，运动的时间为，∴.
∵点D从B出发以）的速度运动，运动的时间为，∴.故.
∵，，∴，即.故.
∵，∴.
（3）解：本题需要对以下两种情况分别进行讨论.

（i）点Q在线段上（如图①）.
∵，∴.∵，∴.
∵，∴.故.
∵，∴.
（ii）点Q不在线段上，则点Q在线段的延长线上（如图②）.
∵，∴.∵，∴.
∵，∴.故.
∵，∴.
综上所述，的长为或；
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，理清线段之间的关系是关键，第（3）问有两种情况需要考虑清楚．
10．（2022秋·云南昆明·七年级校考期末）如图，点是数轴的原点，数轴正半轴上有一点，已知，

(1)在原点的左侧画点，使（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)点，点同时从原点出发，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，到达点后立即返回向右运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．当点到达点时，两个点都停止运动．若时，求的值；(3)在以上的条件下，若点到达点后继续沿数轴向右运动，点的运动速度和方向保持不变．在整个运动过程中，若点，点，点，点到原点的距离之和是15，求的值．
【答案】(1)见解析(2)或3(3)或或
【分析】（1）根据作线段的尺规作图方法即可得；（2）先求出点表示的有理数是，再求出点从点运动到点所需时间为2秒，然后分两种情况：①和②，根据数轴的性质建立方程，解方程即可得；（3）分三种情况：①，②和③，分别求出的长，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；

（2）解：，，点表示的有理数是，
点从点运动到点所需时间为秒，
①当时，点表示的有理数为，，，
，，解得，符合题设；
②当时，，，
，，解得，符合题设，综上，的值为或3；
（3）解：①当时，点表示的有理数为，，
点，点，点，点到原点的距离之和是15，
，解得，符合题设；
②当时，，
点，点，点，点到原点的距离之和是15，
，解得，符合题设；
③当时，，
点，点，点，点到原点的距离之和是15，
，解得，符合题设，
综上，的值为或或．
【点睛】本题考查了作线段、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
11．（2023秋·吉林·七年级校考期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为16，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
(1)，两点间的距离等于________，线段的中点表示的数为________；
(2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________；
(3)求当为何值时，？(4)若点为的中点，当点到原点距离为时， ________．
【答案】(1)20，6(2)，(3)或6(4)2
【分析】（1）由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；（2）根据点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案；
（3）由，得到方程，求解即可得到答案；
（4）由线段中点的性质得出，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为16，
，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为，故答案为：20，6；
（2）解：点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
秒后，点表示的数为：，
点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
秒后，点表示的数为：，故答案为：，；
（3）解：，，或6，或6时，；
（4）解：点为的中点，点到原点距离为8，
，解得：或（负值舍去），，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，在数轴上，点为原点，点在原点左侧，点在原点右侧，点表示的数为，点表示的数为，．

(1) ．(2)动点、分别从点、同时出发，沿数轴向左运动，点、的运动速度分别是2个单位秒和3个单位秒，当点与点重合时，运动停止．设运动时间为，当为何值时，；
(3)在（2）的条件下，点为线段的中点，点为的中点．当时，求出相应值，并直接写出线段的长．
【答案】(1)20；(2)秒或秒；(3)10，40
【分析】（1）根据数轴上两点距离公式，即可求出的值；
（2）由题意可知，点表示的数为，点表示的数为，进而得到，，再根据列绝对值方程，求解即可得到答案；（3）根据线段中点的定义，得到点表示的数为，点表示的数为，根据数轴上两点距离公式，得到，再得出，然后根据，求出，从而得出点表示的数为，即可求出的长．
【详解】（1）解：点在原点左侧，点在原点右侧，点表示的数为，点表示的数为，，
，，故答案为：20；
（2）解：动点、分别从点、同时出发，沿数轴向左运动，点、的运动速度分别是2个单位秒和3个单位秒，点表示的数为，点表示的数为，
点表示的数为，点为原点，，，
，，解得：或20，当为秒或秒时，；
（3）解：点表示的数为，点表示的数为20，点为线段的中点，
点表示的数为：，
点表示的数为，点表示的数为，点为的中点．
，点表示的数为，
，，，解得：，
点表示的数为，．
【点睛】本题考查了数轴的性质，数轴上两点的距离，线段中点，动点问题，根据题意正确得出所需线段的长度是解题关键．
13．（2023秋·河南焦作·七年级统考期末）如图，点是数轴的原点，点、点在数轴上，点表示的数是6，且，
(1)求线段的长；(2)点以每秒1个单位的速度在数轴上匀速运动，点以每秒2个单位的速度在数轴上匀速运动．设点同时出发，运动时间为秒，若点能够重合，求出这时的运动时间；
(3)在（2）的条件下，当点和点都向同一个方向运动时，直接写出经过多少秒后，点两点间的距离为20个单位．
【答案】(1)18(2)6秒或18秒(3)2秒或38秒
【分析】（1）先求出，，再根据即可得；
（2）分两种情况：①当点均向右运动时，②当点相向运动时，分别建立方程，解方程即可得；
（3）设经过秒后，点两点间的距离为20个单位，分两种情况：①当点均向右运动时，②当点均向左运动时，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：∵点表示的数是6，，
，，．
（2）解：①当点均向右运动时，则，解得；
②当点相向运动时，则，解得，
综上，若点能够重合，这时的运动时间为6秒或18秒．
（3）解：设经过秒后，点两点间的距离为20个单位，
①当点均向右运动时，则，解得；
②当点均向左运动时，则，解得，
综上，经过2秒或38秒后，点两点间的距离为20个单位．
【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质，正确建立方程是解题关键．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图所示，点表示数轴的原点，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，并且关于的多项式是三次二项式．

(1)求线段的长；(2)动点从点出发，沿线段运动，到达点停止，速度是个单位长度/秒，点A为线段的中点，设运动时间为秒，请用含有的式子表示线段的长；
(3)在（2）的条件下，是否存在值，使线段的长度是？并说明理由．
【答案】(1)(2)或(3)存在，1或3
【分析】（1）根据关于的多项式是三次二项式得到，，得到点所表示的数是，点所表示的数是4，即可得到线段的长；
（2）当点在线段上时，，由中点的定义即可得到线段的长；当点在线段上时，，由中点的定义即可得到线段的长；
（3）分点在线段上和点在线段上两种情况，列方程求解即可．
【详解】（1）∵关于的多项式是三次二项式，
∴，，解得，，
∴点所表示的数是，点所表示的数是4，∴；
（2）当点在线段上时，，

∵点A为线段的中点，
∴；
当点在线段上时，，

∵点A为线段的中点，∴；
∴线段的长为或；
（3）当点在线段上时，，解得，
当点在线段上时，，解得，
故存在值，当或时，线段的长度是．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、列代数式、数轴上两点之间的距离、线段的中点等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
15．（2023·绵阳市·七年级专题练习）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．

(1)若点C，D的速度分别是，．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；
②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；
(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长
【答案】(1)①12；②(2)
【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得；
②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；
（2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得．
【详解】（1）解：①依题意得：，
，点仍在线段上，
∴，故答案为：；
②设运动时间为，则，
∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点，
∴，∴，故答案为：．
（2）解：设运动时间为，则，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．
16．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）如图，是线段上一点，，，两点分别从，出发以，的速度同时沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为.(1)若，运动时，且 ，请求出的长.(2)若，运动到任一时刻时，总有，的长度是否变化？若不变，请求出的长，若变化，请说明理由.
(3)在（）的条件下，是直线上一点，且，求的长.
【答案】(1)；(2)的长度不变；(3)或
【分析】（1）设为 ，则为 ，根据线段的和差得到关于x的方程，解方程即可得到答案；（2）设长为 ，则 ，由题意可得 ，得到关于x的方程，求出x的值，即可做出判断；（3）分点在点左侧和点在点右侧两种情况分别求解即可.
【详解】（1）解：设为 ，则为 ，由题意可得 ，
，
， ， ， .
（2）设长为 ，则 ，由题意可得 ，
，
， ，
，， 的长度不变.
（3）①当点在点左侧时， ， ，
， ， ；
②当点在点右侧时， ， ，
， ，
，即
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，线段的和差计算等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键.
17．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点，的速度分别是，．
①若，当动点，运动了时，求的值；
②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；
(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．
【答案】(1)①；②(2)
【分析】（1）①先计算，再计算；②利用中点的性质求解；
（2）将用其它线段表示即可．
【详解】（1）解：①由题意得：，．
．
②点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，设运动时间为t，
则：，，．
（2）解：设运动时间为，则，，，
．
．
【点睛】本题考查线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
18．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．
设点的运动时间为秒．
(1)线段的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．
(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．
【答案】(1)(2)(3)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(4)
【分析】（1）根据即可求解；
（2）依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解；
（3）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解；
（4）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵点在线段上，，，
∴，故答案为：．
（2）解：依题意，，
当点与点相遇时，解得：；
（3）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：，
相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：，
综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度；
（4）∵，当在线段上时，，此时，
∵，∴，解得：（舍去）
当在线段上时，，此时，
∵，∴，解得：，∴
【点睛】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
19．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，数轴上有A、两点，点A对应的数是，点在点A的右侧，和点A相距6个单位长度．
(1)求出点所对应的有理数；(2)若点到点A、的距离之和是10个单位长度，求出点所对应的有理数；
(3)在（2）的条件下，如果点从点出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，求经过几秒后、两点相距6个单位长度．
【答案】(1)点B所对应的数是2(2)点P表示的数是或4
(3)经过秒或秒或秒后，P、Q两点相距6个单位长度
【分析】（1）由题意易得，然后根据数轴上两点距离可进行求解；
（2）由题意可分①当点P在点A的左侧时，则；②当点P在点B的右侧时，则有，然后问题可求解；（3）设运动时间为t秒，当P对应的数是4时，则有；当P对应的数是时，，则又分点P未追上点Q时和点P追上且超过点Q时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：∵点A对应的数是，∴，
∵点B在点A的右侧，和点A相距6个单位长度，
∴，∴点B所对应的数是2；
（2）解：①当点P在点A的左侧时，则有，
∴，∴，
∵点A对应的数是，∴点P所对应的有理数，
②当点P在点B的右侧时，则有，
∴，∴，∵点B对应的数是2，∴点P所对应的有理数4，
综上所述，点P表示的数是或4；
（3）解：根据题意，点P、Q同时出发向右运动，设运动时间为t秒，
当P对应的数是4时，则，
∵点P运动速度大于点Q的运动速度，
∴只存在一种情况，∴，解这个方程，得，
当P对应的数是时，，分两种情况讨论
①点P未追上点Q时：，解这个方程，得；
②点P追上且超过点Q时：，解这个方程，得；
综上所述，经过秒或秒或秒后，P、Q两点相距6个单位长度．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题、线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知和是同类项，且a、b分别是点A、B在数轴上对应的数．
(1)求线段的长度；(2)若点P、Q分别同时从点A、B出发，沿数轴向数轴负方向运动．点P的速度为1个单位/秒，点Q的速度为6个单位/秒，求t秒后线段的长（用含t的代数式表示）．(3)在（2）的条件下，已知点M把线段分成的两条线段的比为2：3，且，当时，求线段的长．
【答案】(1)10(2)或(3)或
【分析】（1）根据同类项的定义求出，再根据数轴上两点距离公式求解即可；
（2）先得到，然后分当点Q没超过P时， 当点Q超过点P时，两种情况讨论求解即可；
（3）先求出，则点M在数轴上表示的数为2，分情况讨论：①当Q在点M的右侧时， ②当Q在点A的左侧时，根据建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵和是同类项，
∴，∴，∴；
（2）解：由题意可知，，
∴当点Q没超过P时，，
当点Q超过点P时，；
综上所述，或；
（3）解：∵点M把线段分成的两条线段的比为，且，∴设，
∵，∴，∴，∴，∴点M在数轴上表示的数为2，
分情况讨论：①当Q在点M的右侧时，，
由得，解得，
代入，得；
②当Q在点A的左侧时，，
由得，解得，
代入，得，综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，线段的和差计算，数轴上两点距离，灵活运用所学知识是解题的关键．