新人教版高二暑期数学衔接第08讲空间向量及其运算的坐标表示讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第08讲空间向量及其运算的坐标表示讲义(学生版+解析)，共20页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。

1.握空间向量的坐标表示
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示
【基础知识】
一、空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴 .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八 个部分.
二、空间点的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+zk .在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
三、空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z) .
四、空间向量常用结论的坐标表示
设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).
五、 证明两直线平行的步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;
2.求出直线的方向向量;
3.证明两向量共线;
4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的
有向线段不共线,即可得证.
六、证明两直线垂直的步骤:
1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;
2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;
3.计算两直线方向向量的数量积为0;
4.由方向向量垂直得到两直线垂直.
七、求两异面直线夹角的步骤
1.求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);
2.利用公式cs= 求解;
3.设异面直线a,b所成的角为θ,则cs θ=|cs|.
【考点剖析】
考点一：求点的坐标
例1．(2022学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中)已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A．B．
C．D．
考点二：求向量的坐标
例2．给定空间三个点､､.
(1)求以向量､为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)求与向量､都垂直的单位向量.
考点三：线性运算的坐标表示
例3．(2022学年广东省江门市新会区陈经纶中学高二上学期期中)已知向量，，则( )
A．B．C．D．
考点四：数量积运算的坐标表示
例4．(多选)(2022学年江苏省盐城市滨海县高二下学期月考)已知空间向量，，则下列正确的是( )
A．B．C．D．，
考点五：求长度或距离
例5．空间两点、之间的距离为______．
考点六：求角度
例6．(2022学年四川省成都市蓉城高中教育联盟高二下学期期中)已知，，则向量与的夹角为( )
A．90°B．60°C．30°D．0°
考点七：根据平行或垂直求参数的值
例7. (2022学年江苏省盐城市滨海县五汛中学高二下学期期中)已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
【真题演练】
1. (2022学年江苏省盐城市高二下学期第二次学情分析考试)已知向量，若，则实数x的值为( )
A．7B．8C．9D．10
2.(2022学年山东省临沂市多县区高二上学期期中)若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于( )
A．0B．－C．0或－D．0或
3.(2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中)平行六面体中，，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
4. (多选)(2022学年河北省张家口市宣化高二上学期期末)已知平面，其中点是平面内的一定点，是平面的一个法向量，若坐标为，，则下列各点中在平面内的是( )
A．B．C．D．
5. (多选)(2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中)已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是( )
A．向量可以构成一组基底
B．当时，
C．当时，在平面上的投影向量的模长为
D．对任意实数，总有
6.(2022学年江苏省淮安市涟水县高二下学期第二次阶段检测)已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
7.(2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中)设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
8. (2022学年福建省龙岩市非一级达标校高二下学期期中联考)已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
【过关检测】
1.(2022学年江苏省泰州中学高二下学期期中) 若点，，在同一条直线上，则( )
A．21B．4C．4D．10
2.(2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中)已知直线的方向向量分别为，若，则等于( )
A．0B．1C．2D．3
3. (2022学年江西省南昌市第十中学高二下学期期中)设，向量，且，则( )
A．1B．2C．3D．4
4. (2022学年广东省华中师范大学海丰附属学高二上学期月考)已知，，且，则向量与的夹角为( )
A．B．C．D．
5. (多选)(2022学年福建省龙岩市一级校联盟(九校)高二下学期期中)对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是( )
A．若，则，的夹角是钝角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
6．(多选)(2022学年福建省华安县高二下学期月考)已知空间向量，，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
7．(多选)(2022学年湖北省黄冈市蕲春县高二上学期期中)已知空间中三点，，，则正确的有( )
A．与是共线向量B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
8. 平面经过点且一个法向量，则平面与x轴的交点坐标是______．
9．已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．
10.(2022学年四川省成都市蒲江县蒲江中学高二下学期5月月考)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴､y轴､z轴)正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0,λ∈R)
a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0,b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角
〈a,b〉(a≠0,b≠0)
cs〈a,b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
第08讲 空间向量及其坐标运算的表示
【学习目标】
1.握空间向量的坐标表示
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示
【基础知识】
一、空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴 .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八 个部分.
二、空间点的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+zk .在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
三、空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z) .
四、空间向量常用结论的坐标表示
设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).
五、 证明两直线平行的步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;
2.求出直线的方向向量;
3.证明两向量共线;
4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的
有向线段不共线,即可得证.
六、证明两直线垂直的步骤:
1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;
2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;
3.计算两直线方向向量的数量积为0;
4.由方向向量垂直得到两直线垂直.
七、求两异面直线夹角的步骤
1.求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);
2.利用公式cs= 求解;
3.设异面直线a,b所成的角为θ,则cs θ=|cs|.
【考点剖析】
考点一：求点的坐标
例1．(2022学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中)已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选D
考点二：求向量的坐标
例2．给定空间三个点､､.
(1)求以向量､为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)求与向量､都垂直的单位向量.
【解析】 (1)由题设，，，
则，故，
所以.
(2)设单位向量且，
由题意得：，可得：，则，可得，
所以或.
考点三：线性运算的坐标表示
例3．(2022学年广东省江门市新会区陈经纶中学高二上学期期中)已知向量，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，则，故选C
考点四：数量积运算的坐标表示
例4．(多选)(2022学年江苏省盐城市滨海县高二下学期月考)已知空间向量，，则下列正确的是( )
A．B．C．D．，
【答案】AB
【解析】向量，，，则A正确，
，则B正确，，则C错误，
，则D错误.故选AB
考点五：求长度或距离
例5．空间两点、之间的距离为______．
【答案】3
【解析】因点、，则.
考点六：求角度
例6．(2022学年四川省成都市蓉城高中教育联盟高二下学期期中)已知，，则向量与的夹角为( )
A．90°B．60°C．30°D．0°
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
设向量与的夹角为，则
，
因为，所以，故向量与的夹角为，
故选A.
考点七：根据平行或垂直求参数的值
例7. (2022学年江苏省盐城市滨海县五汛中学高二下学期期中)已知点，，，设，．
(1)求，夹角的余弦值．
(2)若向量，垂直，求的值．
(3)若向量，平行，求的值．
【解析】 (1)，，
故.
(2)由(1)可得
，，
因为向量，垂直，故，
整理得到：，故或.
(3)由(1)可得不共线，故，均不为零向量，
若向量，平行，则存在非零常数，使得，
整理得到：，
因为不共线，故，故或，
故.
【真题演练】
1. (2022学年江苏省盐城市高二下学期第二次学情分析考试)已知向量，若，则实数x的值为( )
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解析】因为，所以.故选D
2.(2022学年山东省临沂市多县区高二上学期期中)若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于( )
A．0B．－C．0或－D．0或
【答案】C
【解析】由题知，，即，解得或.
故选C
3.(2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中)平行六面体中，，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，∵，又，
∴，解得，即.故选B.
4. (多选)(2022学年河北省张家口市宣化高二上学期期末)已知平面，其中点是平面内的一定点，是平面的一个法向量，若坐标为，，则下列各点中在平面内的是( )
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A选项，，，A满足；
对于B选项，，，B满足；
对于C选项，，，C满足；
对于D选项，，，D不满足.
故选ABC.
5. (多选)(2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中)已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是( )
A．向量可以构成一组基底
B．当时，
C．当时，在平面上的投影向量的模长为
D．对任意实数，总有
【答案】AD
【解析】，显然不共面，∴向量可以构成一组基底，A正确；如图建立空间直角坐标系，则，
当时，，则,
∴，Ｂ不正确；,
当时，,在平面上的投影向量为， ，Ｃ不正确；对任意实数，，则，
，,，D正确．
故选AD．
6.(2022学年江苏省淮安市涟水县高二下学期第二次阶段检测)已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
【答案】
【解析】由题，，故在上的投影向量的模
7.(2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中)设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，
设 则，当时的最小值是，
，取 则，，又因为是任意值，所以的最小值是.取 则，
又因为是任意值，所以的最小值是.
8. (2022学年福建省龙岩市非一级达标校高二下学期期中联考)已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
【解析】 (1)由题设，，又，，三点共线，
所以存在使，即，可得，
所以.
(2)由，
由(1)知：当时，有；
而，又，的夹角是钝角，
所以，可得；
又时、，故，满足题设；
综上，.
【过关检测】
1.(2022学年江苏省泰州中学高二下学期期中) 若点，，在同一条直线上，则( )
A．21B．4C．4D．10
【答案】C
【解析】，，∵点，，在同一条直线上，∴∥则
解得，∴，故选C．
2.(2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中)已知直线的方向向量分别为，若，则等于( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】由于，所以.故选B
3. (2022学年江西省南昌市第十中学高二下学期期中)设，向量，且，则( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】，∥，
∴.故选A.
4. (2022学年广东省华中师范大学海丰附属学高二上学期月考)已知，，且，则向量与的夹角为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，解得，所以，，所以，
因为，所以.故选C
5. (多选)(2022学年福建省龙岩市一级校联盟(九校)高二下学期期中)对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是( )
A．若，则，的夹角是钝角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
【答案】BD
【解析】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；
B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；
C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；
D：假设，，是共面向量，
所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选BD
6．(多选)(2022学年福建省华安县高二下学期月考)已知空间向量，，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．与夹角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；
对于B选项：，，故B正确；
对于C选项：，，
则，故C正确；
对于D选项：，，
所以，故D正确；故选BCD.
7．(多选)(2022学年湖北省黄冈市蕲春县高二上学期期中)已知空间中三点，，，则正确的有( )
A．与是共线向量B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】CD
【解析】，，，显然与不共线，A错误；
的单位向量，即，B错误；
，，C正确；
设平面的法向量，则，令，得，D正确.
故选CD.
8. 平面经过点且一个法向量，则平面与x轴的交点坐标是______．
【答案】
【解析】设平面与x轴的交点为，则，
因为个法向量，所以，
所以，解得，
所以，即平面与x轴的交点坐标是.
9．已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．
【答案】
【解析】因为在直线上，且，
所以
所以，，
因为
所以，解得.
10.(2022学年四川省成都市蒲江县蒲江中学高二下学期5月月考)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴､y轴､z轴)正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.
【解析】 (1)解：由，，知，，
所以，
所以；
(2)解：设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
②由题，
因为，所以，
由知
则
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0,λ∈R)
a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0,b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角
〈a,b〉(a≠0,b≠0)
cs〈a,b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))