新人教版高二暑期数学衔接第10讲直线的倾斜角与斜率讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第10讲直线的倾斜角与斜率讲义(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式
3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直
【基础知识】
一、直线的倾斜角
1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向 与直线l向上的方向之间所成的角α
叫做直线l的倾斜角.
2.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0° .因此,直线的倾斜角α的取值
范围为0°≤α<180°
二、直线的方向向量
1.直线P1P2上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量 .
2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的一个方向向量的坐标为
三、直线的斜率
1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k= tan α (α≠90°).
2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率.
3.过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k= .
4.直线的方向向量与斜率的关系
(1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1) ,因
此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量的坐标为 (1,k) .
(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=.
四、两条直线(不重合)平行的判定
五、两条直线垂直的判定
【考点剖析】
考点一：求直线的倾斜角
例1．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．
考点二：求直线倾斜角的范围
例2．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是( )．
A．B．
C．D．
考点三：求直线的斜率
例3．经过两点,的直线的斜率为( )
A．B．C．D．
考点四：求直线斜率的范围
例4．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．或C．D．
考点五：两直线平行问题
例5．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.
考点六：两直线垂直问题
例6．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．
【真题演练】
1. (2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试)直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为( )
A．B．C．D．
2. (2022学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末)若倾斜角为的直线过，两点，则实数( )
A．B．C．D．
3. (2022学年江西省南昌市实验中学高二12月月考)经过点、两点的直线的倾斜角为( )
A．90ºB．120ºC．135ºD．150º
4.(多选)(2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
5.(多选)(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二上学期期中)已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数( )．
A．B．C．D．
6. (2022学年上海市控江中学高二下学期期中)设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.
7.(2022学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考)若三点，，在同一条直线上，则实数___________.
8.(2022学年河北省石家庄十二中高二上学期期中)已知两点，求：
(1)直线的斜率k；
(2)已知实数，求直线的倾斜角的范围.
【过关检测】
1.(河北省保定市2022学年高二上学期期末)若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
2.以点，，为顶点的三角形是( )．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
3．(2022学年湖北省荆州市八县市高二上学期期末)直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是( )
A．平行B．重合
C．相交但不垂直D．垂直
4．(2022学年河北省唐山市滦南县第一中学高二上学期10月月考)过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为( )
A．B．C．D．
5.(2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期月考)设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是( )
A．或B．
C．D．以上都不对
6．(多选)下列四个命题中，错误的有( )
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
7.(多选)如果直线l过原点(0， 0)且不经过第三象限，那么l的倾斜角可能是( )
A．0°B．120°
C．90°D．60°
8.(2022学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中)如图所示，直线的频斜角，直线，则直线的斜率为________．
9．在△ABC中，已知A(3，﹣2)，B(1，﹣3)，C(1，1).
(1)求直线AB，AC，BC的斜率；
(2)判断直线AC的倾斜角是锐角还是钝角或直角.
10.已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为、、，求该平行四边形的第四个顶点坐标．
类型
斜率存在
斜率不存在
图示


对应关系
l1∥l2⇔k1=k2
两直线斜率都不存在⇒
l1∥l2
类型
斜率都存在
有直线斜率不存在
图示


对应关系
l1⊥l2⇔k1k2=-1
斜率不存在，斜率为0⇒l1⊥l2
第10讲 直线的倾斜角与斜率
【学习目标】
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式
3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直
【基础知识】
一、直线的倾斜角
1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向 与直线l向上的方向之间所成的角α
叫做直线l的倾斜角.
2.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0° .因此,直线的倾斜角α的取值
范围为0°≤α<180°
二、直线的方向向量
1.直线P1P2上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量 .
2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的一个方向向量的坐标为
三、直线的斜率
1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k= tan α (α≠90°).
2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率.
3.过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k= .
4.直线的方向向量与斜率的关系
(1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1) ,因
此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量的坐标为 (1,k) .
(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=.
四、两条直线(不重合)平行的判定
五、两条直线垂直的判定
【考点剖析】
考点一：求直线的倾斜角
例1．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，
因为，因此，.
考点二：求直线倾斜角的范围
例2．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是( )．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，
结合正切函数的性质，可得．故选B．
考点三：求直线的斜率
例3．经过两点,的直线的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】经过两点,的直线的斜率为：；故选B.
考点四：求直线斜率的范围
例4．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A．B．或C．D．
【答案】B
【解析】如下图示，
当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或.
故选B
考点五：两直线平行问题
例5．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.
【答案】
【解析】因为直线与直线平行，直线的斜率为，
所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
所以，即直线的倾斜角为
考点六：两直线垂直问题
例6．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．
【答案】5或2
【解析】因为直线经过点，，且，
所以的斜率存在，设斜率为，
当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直．
当时，，此时直线斜率存在．
由，得．解得．
综上，的值为或．
【真题演练】
1. (2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试)直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，∴.故选B.
2. (2022学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末)若倾斜角为的直线过，两点，则实数( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；
故选C
3. (2022学年江西省南昌市实验中学高二12月月考)经过点、两点的直线的倾斜角为( )
A．90ºB．120ºC．135ºD．150º
【答案】D
【解析】因直线过点、，则直线l的斜率，
直线l的倾斜角为满足，显然，则有，解得，
所以直线的倾斜角为.故选D
4.(多选)(2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
【答案】ABD
【解析】对于A，倾斜角为的直线斜率不存在，所以A错误
对于B，直线的倾斜角的取值范围为，所以B错误
对于C，因为且，所以，所以C正确
对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，所以D错误，故选ABD
5.(多选)(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二上学期期中)已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数( )．
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】当时，直线的斜率为，直线不存在斜率，此时满足直线互相垂直；当时，直线的斜率为，直线的斜率为，若两直线垂直，则，解得，满足题意.
综上所述：或.故选BC.
6. (2022学年上海市控江中学高二下学期期中)设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.
【答案】1
【解析】因为直线l经过点､，所以直线l的斜率是
7.(2022学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考)若三点，，在同一条直线上，则实数___________.
【答案】
【解析】由题意可知，，三点所在的直线的斜率存在，所以，即，解得
8.(2022学年河北省石家庄十二中高二上学期期中)已知两点，求：
(1)直线的斜率k；
(2)已知实数，求直线的倾斜角的范围.
【解析】 (1)当时，直线的斜率不存在，
当时，直线的斜率，
(2)当时，，
当时，，
因为，且，
所以，且，
所以 或，即或，
所以，
综上，直线的倾斜角
【过关检测】
1.(河北省保定市2022学年高二上学期期末)若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】斜率，∴倾斜角．故选A．
2.以点，，为顶点的三角形是( )．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】由题意，同理，，，，
三角形是直角三角形．故选B．
3．(2022学年湖北省荆州市八县市高二上学期期末)直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是( )
A．平行B．重合
C．相交但不垂直D．垂直
【答案】C
【解析】设方程的两根为、，则．直线、的斜率，故与相交但不垂直．故选C．
4．(2022学年河北省唐山市滦南县第一中学高二上学期10月月考)过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，则，解得：，，，
.故选D.
5.(2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期月考)设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是( )
A．或B．
C．D．以上都不对
【答案】A
【解析】如图所示，直线PB，PA的斜率分别为，
结合图形可知或，故选A
6．(多选)下列四个命题中，错误的有( )
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；故选ACD
7.(多选)如果直线l过原点(0， 0)且不经过第三象限，那么l的倾斜角可能是( )
A．0°B．120°
C．90°D．60°
【答案】ABC
【解析】依题意，直线过原点，且不经过第三象限，则或，
所以ABC选项符合，D选项不符合.故选ABC
8.(2022学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中)如图所示，直线的频斜角，直线，则直线的斜率为________．
【答案】
【解析】由题意知，直线的斜率，
因为，所以，所以的斜率．
9．在△ABC中，已知A(3，﹣2)，B(1，﹣3)，C(1，1).
(1)求直线AB，AC，BC的斜率；
(2)判断直线AC的倾斜角是锐角还是钝角或直角.
【解析】 (1)由A(3，﹣2)，B(1，﹣3)，C(1，1)，
得，，
∵B与C的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在；
∴直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，直线BC的斜率不存在；
(2)∵0，∴直线AC的倾斜角为钝角.
10.已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为、、，求该平行四边形的第四个顶点坐标．
【解析】设三点坐标为、、， ，
当是平行四边形时，有，
当是平行四边形时，有，
当是平行四边形时，有，
该平行四边形的第四个顶点的坐标是或或．
类型
斜率存在
斜率不存在
图示


对应关系
l1∥l2⇔k1=k2
两直线斜率都不存在⇒
l1∥l2
类型
斜率都存在
有直线斜率不存在
图示


对应关系
l1⊥l2⇔k1k2=-1
斜率不存在，斜率为0⇒l1⊥l2