湖南省长沙市2024年初中学业水平考试押题卷（九）数学试题

这是一份湖南省长沙市2024年初中学业水平考试押题卷（九）数学试题，共12页。试卷主要包含了91，cs65°≈0，5，等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（ ）
A．0元B．−5元C．+5元D．+10元
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．−a3÷−a=a2B．a32=a9
C．a+b2=a2+b2D．a3+a4=a7
4．甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄的方差分别是S甲2=16，S乙2=18，S丙2=5，S丁2=28，这四个旅游团中年龄差异最小的旅游团是（ ）
A．甲团B．乙团C．丙团D．丁团
5．将一次函数y=−2x+4的图象向下平移3个单位，若平移后一次函数的图象经过点m,−7，则m的值为（ ）
A．4B．2C．3D．1
6．一把直尺和一把含30°角的直角三角板按如图所示摆放，已知∠1=25°，则∠2=（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
7．不等式组 2x+6>0x−1≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且AB=BC的是（ ）

A．①②B．②③C．①③D．②④
9．如图，把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若EF=CD=4，则截面⊙O的半径等于（ ）
A．23B．25C．52D．32
10．A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．A，B，CB．B，C，DC．C，D，ED．D，E，A
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若代数式x+1有意义，则实数x的取值范围为 ．
12．因式分解：mn3−mn= ．
13．化a+1a−1a的结果为 ．
14．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，若∠DBC=33°，则∠A等于 ．

15．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志，如图，是某高铁线路在转弯处所设计的圆曲线（即圆弧），设高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中的转角α为60°，若该圆曲线的半径OA=1.8千米，则这段圆曲线AB的长为 ．
16．2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，放回后再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为 ．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分）
17．计算：9+−12−1−π−30．
18．先化简，再求值：(x+2y)2−(x+2y)(x−2y)，其中x=14，y=−1．
19．龙光塔落座于江门市江海区白水带风景名胜区最高点的牛山上，为十一层仿宋琉璃瓦塔，是广东省最高的八角琉璃瓦仿古塔．登上龙光塔顶层，极目远眺，整个江门市区的建筑、河流、山川、田野尽收眼底，呈现出一幅美丽的侨乡画卷．小明某日携带好友到龙光塔游玩，并用无人机拍下多幅漂亮的照片．期间，他还利用无人机的测量功能，不断调整距离和角度，以期找到最佳的拍摄位置．如图为其中一个拍摄情景．已知龙光塔高为AB，当无人机位于空中点P位置时，测得与塔身距离PQ=25米，俯角∠QPB=45°，仰角∠QPA=65°，根据无人机获得的数据，请计算出龙光塔高AB．（结果精确到整数位）（参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
20．蹴鞠是起源于中国古代的一种足球运动，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．早在战国时期就开始流行．为发扬传统文化，唤醒中国礼仪，实验中学开展足球射门比赛，随机从报名的学生中抽取了40人，每人射门30次，射中一次得1分，满分30分．得到这40名学生的得分x（没有满分学生），将他们的成绩分组(A:0≤x<5；B:5≤x<10；C:10≤x<15；D:15≤x<20；E:20≤x<25；F:25≤x<30)绘制成如下统计图．根据信息，解答下列问题：
(1)若D组数据为：15，16，16，16，17，17，18，18，18，18，19，19，则这组数据的中位数是 分，众数是 分；
(2)求这40名同学成绩的平均数；（取每组数据的组中值来表示该组同学的平均成绩）
(3)若该校参加比赛的有140人，成绩20分及以上为优秀球员，并颁发奖品，估计获得奖品的人数．
21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，点E为AD上一点，连接BE,CE，∠ABE=∠ACE．
(1)试说明AD是线段BC的垂直平分线；
(2)若点P在AD延长线上，连接BP,CP，且满足DP=DE．求证：BP∥CE．
22．某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加到51.2万辆．
(1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率；
(2)若按此平均年增长率，请预估该品牌新能源汽车2024年销售量．
23．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且AE⊥BF，AE=BF．
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)连接BE、EF，若DF2=AF⋅AD，求证：∠DEF=∠ABE．
24．如图，在▱ABCD中，连接BD，以DF为直径的半圆O，从DF与AD共线开始绕点D逆时针旋转，直线DF与DC第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接DK，当DF，DK与线段AB有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知AB=DF=8，∠BAD=45°，AD=BD．
(1)求∠FDK的度数；
(2)当点Q在AB上时，设AQ=x，BP=y，请求出y与x的关系式；
(3)当DF与DB重合时，求半圆O与DC所围成的弓形的面积．
25．定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.
例如：y=x−12−2的“同轴对称抛物线”为y=−x−12+2.
(1)求抛物线y=−12x2+x+1的“同轴对称抛物线”.
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L:y=ax2−4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′.
①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值.
②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数y=x−1相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线L′与一次函数y=x−1相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足PM+QN=MN，在抛物线L′上有且仅有三个点R1、R2、R3，使得△MNR1、△MNR2、△MNR3的面积均为定值S，求R1、R2、R3的坐标.

参考答案与解析
一、选择题
二、填空题
11．x≥−1 12．mnn+1n−1 13．1
14．57° 15．35πkm 16．16
三、解答题
17．【详解】解：9+−12−1−π−30
=3−2−1
=0．
18．【详解】解：原式=x2+4xy+4y2−x2−4y2，
=8y2+4xy．
当x=14，y=−1时，
原式=8×(−1)2+4×14×(−1)=7．
19．【详解】解：根据题意，作图如下，PQ=25m，∠QPB=45°，∠QPA=65°，PQ⊥AB，
∴△BPQ是等腰直角三角形
∴BQ=PQ=25m，
在Rt△APQ中，tan∠APQ=tan65°=AQPQ，
∴AQ=PQ·tan65°≈25×2.14=53.5≈54m，
∴AB=AQ+BQ=54+25=79m，
∴龙光塔高AB=79米．
20．【详解】（1）解：∵D组数据为：15，16，16，16，17，17，18，18，18，18，19，19，
18出现次数最多，众数为：18，
中位数为：17+182=17.5，
故答案为：17.5，18；
（2）解：x=140×(2.5×4+7.5×6+12.5×8+17.5×12+22.5×6+27.5×4)=15.25（分)；
（3）解：140×6+440=35（人)，
答：估计获得奖品的人有35人．
21．【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
在△ABE和△ACE中，∠BAE=∠CAE,∠ABE=∠ACE,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE(AAS)．
∴AB=AC，
∵∠BAE=∠CAE，
∴AD⊥BC,DB=DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线；
（2）证明：在△BDP和△CDE中，DP=DE,∠BDP=∠CDE,BD=CD,
∴△BDP≌△CDE(SAS)．
∴∠DBP=∠DCE．
∴BP∥CE．
22．【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售量的年平均增长率为x，
由题意得，201+x2=51.2，
解得，x1=0.6=60%,x2=−2.6（舍去）；
答：从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率60%；
（2）51.21+60%=81.92（万辆）．
23．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，∠ABF=∠DAE∠BAF=∠ADE=90°BF=AE，
∴△ABF≌△DAEAAS，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）证明：如图，
由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，
∵正方形ABCD，
∴AD=DC=BC=AB，∠D=∠C=90°，AB∥CD，
∴DF=CE，
∵DF2=AF⋅AD，
∴DFBC=DEEC，
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△FDE∽△BCE，
∴∠DEF=∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CEB，
∴∠ABE=∠DEF．
24．【详解】（1）连接FK，如图1所示：
∵点K为半圆O的中点，
∴DK=FK，
∴DK=FK，
∵DF为直径，
∴∠DKF=90°，
∴在Rt△DFK中，∠FDK=∠DFK=45°；
（2）如图2所示：
∵∠BAD=45°，AD=BD，
∴∠DAB=∠PDK=45°=∠ABD，
∴∠ADB=90°
∴在等腰Rt△ABD中，AB=8，
则由勾股定理可得AD=BD=42，
∵∠DPB=∠DAB+∠ADP=45°+∠ADP，
∠ADQ=∠PDQ+∠ADP=45°+∠ADP，
∴∠DPB=∠ADQ，
∴△ADQ∽△BPD，
∴ADBP=AQBD，
即42y=x42，
∴y=32x(0（3）解：当DF与DB重合时，
∵∠BDC=∠ODK=45°，
∴点K在DC上，连接OK，如图3所示：
∵点K是半圆O的中点，
∴∠DOK=90°．
∵DO=12DF=4，
∴S扇形DOK=90360×π×42=4π，
S△DOK=12DO⋅OK=12×42=8，
∴半圆O与DC所围成的弓形的面积为S扇形DOK−S△DOK=4π−8；
25．【详解】（1）∵y=−12x2+x+1=−12x−12+32，
∴抛物线y=−12x2+x+1的“同轴对称抛物线”是y=12x−12−32.
（2）①∵点B是抛物线L:y=ax2−4ax+1上一点，点B的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为x=2，点B1,1−3a，C1,3a−1，B′3,1−3a，C′3,3a−1，
∴BC=3a−1−1−3a=6a−2,C′C=3−1=2，
∵四边形BB′C′C为正方形，
∴BC=C′C，
∴6a−2=2，
解得a=23.
②根据题意，得y=x−1y=−23x2+83x−1，
解得M0,−1,N52,32，
∴MN=−1−322+0−522=522，
∵PM+QN=MN，
∴PQ=2MN=52，
设y=−23x2+83x−1向上平移了t个单位长度，
∴新抛物线为y=−23x2+83x+t−1，
设Px1,y1,Qx2,y2，
则x1,x2是方程−23x2+83x+t−1=x−1的两个根，
∴x1,x2是方程2x2−5x−3t=0的两个根，
∴x1+x2=52,x1x2=−32t
∴x1−x22=x1+x22−4x1x2=254+6t，y1−y22=x1−x22=254+6t，
∴PQ2=2x1−x22=252+12t=522=50，
解得t=258，
∴新抛物线为y=−23x2+83x+178，
设直线y=x+t与新抛物线相切，切点为R1，
∴−23x2+83x+178=x+t有两个相等的实数根，
∴16x2−40x+24t−51=0的判别式为0，
∴−402−4×16×24t−51=0，
解得t=196，
∴16x2−40x+25=0，直线解析式为y=x+196，
解得x=54，
∴y=x+196=5312，
故R154,5312，
设直线y=x+196与x轴的交点为K，与y轴的交点为E，
故E0,196,K−196,0，
∴OK=OE，
∴∠OKE=∠OEK=45°，
∵M0,−1,E0,196，
∴EM=256，
过点M作AM⊥EK于点A，
则AM=AE=22EM=25212
延长AM到点D，使得AM=MD，
过点D作DF∥MN，交y轴于点F，交抛物线y=−23x2+83x+178于R2,R3，
则∠AME=∠DMF=45°，∠MDF=90°，△MNR1、△MNR2、△MNR3的面积均为定值S，
∴MF=2MD=25212×2=256，
∴OF=OM+MF=1+256=316，
∴F0,−316，
∴直线DF的解析式为y=x−316，
根据题意，得y=x−316y=−23x2+83x+178，
整理得，16x2−40x−175=0，
解得x2=5−1024,x3=5+1024，
∴y2=x2−316=5−1024−316=−602−9424,y3=x3−316=5+1024−316=602−9424，
故R25−1024,−602−9424,R35+1024,602−9424，
综上所述，R154,5312，R25−1024,−602−9424,R35+1024,602−9424．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
B
A
A
C
A
B
B
C
C
C