【数学】广西2024年中考第三次模拟考试（解析版）

这是一份【数学】广西2024年中考第三次模拟考试（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【解析】A．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意；
B．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意；
C．图中的与符合对顶角的定义，它们是对顶角，故选项符合题意；
D．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意．
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．＝ B． C． D．
【答案】C
【解析】A、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．已知点的坐标为，则点关于轴对称的点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵关于轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，
∴点关于轴对称点坐标为；
故选：A．
4．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．
故选：B．
5．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．B．6C．D．8
【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，故选：C．
6．如图，是的内接三角形，若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，
∴
故选：C．
7．一个多边形的内角和是，这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【答案】B
【解析】设边数为，根据题意，得
，
解得．
∴这个多边形为六边形，
故选：B．
8．水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：10，5，6，8，9，9，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9，8B．9，9C．8.5，9D．8，9
【答案】A
【解析】数据为：10，5，6，8，9，9，7，从小至大排列为，
故这组数据的众数和中位数分别是9，8．
故选：A．
9．如图，在中，，，是的角平分线．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
10．我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个，
根据题意得： ，
故选：C．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点C的坐标为，，则点D的坐标为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴
故选：B．
如图，点 P 是正方形内部的一个动点，且是以 为底边的等腰三角形，连接，，，有下列结论：
① ②;③当时，;④当时，
其中结论正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
【答案】C
【解析】四边形是正方形，
，，
∵是等腰三角形，
∴
∴
故①正确；
当 三点在同一条直线上时，故②不正确；
当时，
∵
∴
∴是等边三角形，
，
，
，故③不正确；
当时，设
∵
∴
∴是等边三角形，过点作于点，于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
∴
∴
∴故④正确，
综上所述：①④．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
13．要使分式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】分式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
14．已知点，在直线上，且，则 ·（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
16．如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .

【答案】2或4或3
【解析】当点是线段的“巧分点”时，可能有、、
三种情况，
①时，，

②时，，

③时，．

故答案为：2或4或3．
17．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，则的长为 ．
【答案】
【解析】四边形是矩形，，
，，，
，
E是边的中点，
，
，
，，
，
，
，
解得，故答案为：．
18．如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【答案】
【解析】取格点，则点为的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，，，
∵
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（满分6分）计算：．
解：．
20．（满分6分）解方程∶.
解：．，
，∴原方程的根为．
21．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，
得到，画出，并写出点的坐标；
以点A为位似中心将放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．
解：（1）根据题意可得：

∴；
（2）如图所示：以点A为端点作射线AC，AB；
分别在射线上取，，使，连接，，，即可得；
∴．
22．（满分10分）某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A.“艺术类”，B.“文学类”，C.“科普类”，D.“体育类”，E.“其他类”．每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题；
(1)求此次调查的学生人数；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中A.“艺术类”所对应的圆心角度数；
(4)根据抽样调查结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生最喜爱C.“科普类”图书．
解：（1）此次被调查的学生人数为：（名）；
（2）D类的人数为：（名），
补全条形统计图如下：

（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：；
（4）（名），
答：估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书．
23．（满分10分）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求和的长．
（1）证明：如图1，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
∵，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）证明：∵，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：是的直径，
，
在中，，
平分，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
过点作于点，如图2，
，
，
根据勾股定理可得：，
．
24．（满分10分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
解：（1）四边形是矩形
∴，，
，，
在和中
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，
设长为，则，
在中，
即，
解得：，
答：长为5．
25．（满分10分）如图，正方形的边长是4，M是的中点，动点在线段上运动，连接并延长交射线于点，过点作的垂线交射线于点，连接，．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)在点运动过程中，是否可能成为等边三角形？请说明理由．
（1）证明：四边形是正方形，
，
在和中，
又，
故是等腰三角形；
（2）解：当点与点重合时，如图所示，
，
当点不与点重合时，
在中，，
过作，垂足为
则，，
即
；
（3）解：不可能，
在中
不可能是等边三角形．
26．（满分10分）（1）（教材呈现）如图，在中，点、分别是与的中点，结论：．．
（2）（结论应用）如图1，四边形中，，、、分别是、、的中点，若＝，＝，求的度数．
（3）如图2，在外分别作正方形和．是的中点，，分别是正方形的中心，，，则的面积最大值为多少？
（1）证明：∵点分别是与的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴且．
（2）∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图2，连接交于点与与点，连接，
在正方形和中，，
∴，∴，∴，
∵，
∴，∴，即，
∵分别是正方形的中心，
∴点在上，点在上，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，∴的面积，
∴当有最大值时，的面积有最大值，
∵，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，∴，∴，
∴的面积的最大值为．