2023-2024学年天津外国语大学附属外国语学校高一（下）第一次月考数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年天津外国语大学附属外国语学校高一（下）第一次月考数学试卷-普通用卷，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简OP+PS−OQ的结果等于( )
A. SPB. OQC. SQD. QS
2.关于向量a,b,c，下列命题中正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若a//b，则a//c
C. 若a=b，则a//bD. 若|a|>|b|，则a>b
3.向量a=(2,1)，b=(1,x)，若a⊥b，则( )
A. x=12B. x=−12C. x=2D. x=−2
4.已知向量a=(λ+1,3)，b=(2,3)，若a与a+b共线，则实数λ=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.已知向量a=(2,0)，b=(m,1)，且a与b的夹角为π3，则m的值为( )
A. − 33B. 33C. − 3D. 3
6.已知a，b均是单位向量，|a+b|=2，则a⋅b=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
7.在△ABC中，已知sinB=2sin(B+C)csC，那么△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等边三角形
8.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AC+AD)，则AP⋅AC=( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
9.已知等边△ABC的边长为6，D在AC上且AD=2DC，E为线段AB上的动点，则|AE+BD|的取值范围为( )
A. [2 3,4]B. [2 3,2 7]C. [4,2 7]D. [4,6]
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 3a=2bsin(B+C)，则B=__________.
11.在平行四边形ABCD中，点P满足AP=12(AB+AC)，若PD=λAB+μAD，则λ+μ的值是______.
12.已知△ABC中，|BC|=3，|CA|=4，且BC⋅CA=−6 3，则△ABC的面积是______.
13.在△ABC中，BC=6，AC=8，∠A=40∘，则∠B的解的个数是______个.
14.矩形ABCD中，AB=2，BC=1，且E，F分为BC，CD的中点，则AE⋅EF=______.
15.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为π3，则a⋅b=__________；|a−2b|=__________.
三、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知向量a=(−1,3),b=(t,2).
(1)若t=1，求a⋅b和|a+b|；
(2)若a与b平行，求实数t的值；
(3)若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围.
17.(本小题15分)
已知△ABC中，a=3，b=2，A=60∘.
(1)求sinB；
(2)求c；
(3)求△ABC的面积.
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=asinx+bcsx，称向量p=(a,b)为f(x)的特征向量，f(x)为p的特征函数.
(Ⅰ)设g(x)=2sin(π−x)+sin(32π−x)，求g(x)的特征向量；
(Ⅱ)设向量p=( 3,1)的特征函数为f(x)，求当f(x)=65且x∈(−π6,π3)时，sinx的值；
(Ⅲ)设向量p=(−12, 32)的特征函数为f(x)，记h(x)=f2(x)−14，若h(x)在区间[a,b]上至少有40个零点，求b−a的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：OP+PS−OQ=OS−OQ=QS.
故选：D.
运用向量加法法则及减法法则计算即可．
本题主要考查向量加法法则及减法法则，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A：当a=b时，|a|=|b|，故A错误；
对于B：若a//b，则a//c没有关系，故B错误；
对于C：若a=b，则a//b，故C正确；
对于D：若|a|>|b|，则a和b不能比较大小，故D错误．
故选：C.
直接利用向量的定义和向量的共线判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：向量间的关系，向量的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由于向量a=(2,1)，b=(1,x)，且a⊥b，则2+x=0，解得x=−2.
故选：D.
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵向量a=(λ+1,3)，b=(2,3)，
∴a+b=(λ+3,6)，
又∵a与a+b共线，
∴(λ+1)×6−(λ+3)×3=0，
解得λ=1.
故选：C.
利用共线向量的坐标关系求解．
本题主要考查了共线向量的坐标关系，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为a⋅b=2m,|a|=2,|b|= m2+1，
所以a⋅b=|a||b|csπ3，即2m=2× m2+1×12，
解得m= 33或m=− 33(舍去).
故选：B.
先表示出a⋅b,|a|,|b|，然后根据a⋅b=|a||b|csπ3解出m即可．
本题考查数量积的坐标运算，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：已知a，b均是单位向量，
则|a|=|b|=1，
又|a+b|=2，
则a2+2a⋅b+b2=4，
则2a⋅b=4−1−1=2，
即a⋅b=1.
故选：D.
由平面向量的模的运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，sinB=2sin(B+C)csC=2sinAcsC，
∵bsinB=csinC，csC=a2+b2−c22ab，
∴已知等式化简得：b=2a⋅a2+b2−c22ab，
整理得：b2=a2+b2−c2，即a2=c2，
∴a=c，
则△ABC一定是等腰三角形．
故选：B.
已知等式利用正弦、余弦定理化简，整理后得到a=c，即可确定出三角形为等腰三角形．
此题考查了正弦、余弦定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：设AB=a，AD=b，则a⋅b=0，
由题意，AP=12(AC+AD)=12(a+2b)，
AC=a+b，
则AP⋅AC=12(a+2b)⋅(a+b)
=12a2+32a⋅b+b2=6.
故选：C.
根据向量的线性运算及数量积运算求解即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
9.【答案】B
【解析】解：建系如图，
则根据题意可得A(−3,0)，B(3,0)，D(−1,2 3)，
设E(x,0)，则x∈[−3,3]，
∴AE=(x+3,0)，BD=(−4,2 3)，
∴AE+BD=(x−1,2 3)，
∴|AE+BD|= (x−1)2+12，又x∈[−3,3]，
∴当x=1时，|AE+BD|取得最小值 12=2 3，
当x=−3时，|AE+BD|取得最大值 16+12=2 7，
∴|AE+BD|的取值范围为[2 3,2 7].
故选：B.
建系，利用坐标法及向量的坐标运算根据函数模型，再通过函数思想，即可求解．
本题考查向量的模的范围的求解，坐标法的应用，函数思想，属中档题．
10.【答案】60∘
【解析】【分析】
由正弦定理可得 3sinA=2sinBsinA，求解即可．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
【解答】
解：由 3a=2bsin(B+C)，可得 3sinA=2sinBsinA，
∵sinA≠0，∴sinB= 32，
∴0∘∴B=60∘.
故答案为：60∘.
11.【答案】−12
【解析】解：因为AP=12(AB+AC)，所以点P为BC的中点，
在平行四边形ABCD中，AB=DC，BC=AD，
所以PD=PC+CD=12BC−AB=12AD−AB，
结合PD=λAB+μAD，得λ=−1，μ=12，可得λ+μ=−12.
故答案为：−12.
根据向量的加、减法法则将PD用AB、AC表示，然后根据平面向量的基本定理得出λ、μ的值，进而可得所求答案．
本题主要考查了平面向量的加减法则、平行四边形的性质、平面向量基本定理等知识，属于基础题．
12.【答案】3
【解析】解：∵|BC|=3，|CA|=4，
∴BC⋅CA=|BC|⋅|CA|cs(π−C)=3×4⋅(−csC)=−6 3，
解得：csC= 32，
∵C是三角形的内角，
∴sinC= 1−cs2C=12，
∴S△ABC=12×3×4×12=3，
故答案为：3.
求出sinC，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查了向量的数量积的运算，考查三角形的面积公式，是一道常规题．
13.【答案】2
【解析】解：由正弦定理知，BCsinA=ACsinB，
所以sinB=ACsinABC=8×sin40∘6=43sin40∘，
因为30∘<40∘<45∘，所以43sin30∘又B∈(0∘,180∘)，所以B有两解．
故答案为：2.
利用正弦定理求出sinB的值，并估算其范围，即可得解．
本题考查三角形解的个数的判断，熟练掌握正弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】−74
【解析】解：已知矩形ABCD中，AB=2，BC=1，且E，F分为BC，CD的中点，
则AE=AB+BE=AB+12AD，EF=12BD=12(AD−AB)，
则AE⋅EF=12(AB+12AD)⋅(AD−AB)=−12AB2+14AD2+14AB⋅AD=−12×22+14×12=−74.
故答案为：−74.
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
15.【答案】1
2

【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，向量的求模公式，属于基础题．
利用平面向量的数量积运算求出a⋅b=1，再运用向量的平方即为模的平方，求出|a−2b|=2即可．
【解答】
解：∵|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为π3，
∴a⋅b=|a|⋅|b|cs=2×1×12=1，
|a−2b|= (a−2b)2= a2−4a⋅b+4b2= 4−4+4=2.
故答案为：1；2.
16.【答案】解：(1)当t=1时，b=(1,2)，
又因为a=(−1,3)，
所以a⋅b=−1×1+3×2=5，
因为a+b=(−1,3)+(1,2)=(0,5)，
所以|a+b|= 02+52=5；
(2)因为a与b平行，a=(−1,3),b=(t,2)，
所以−1×2−3t=0，解得t=−23；
(3)因为a与b夹角为锐角，所以a⋅b>0且a与b不共线，
则−1×t+3×2>0且t≠−23，
解得：t<6且t≠−23，
所以t的范围为{t|t<6且t≠−23}.
【解析】(1)根据数量积的坐标运算及模的公式计算；
(2)由向量平行的坐标表示列式求解；
(3)根据向量夹角公式求解．
本题考查平面向量的数量积与夹角，向量的模，向量平行的性质等，属于中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，可得2sinB=3 32，
解得sinB= 33；
(2)由余弦定理csA=b2+c2−a22⋅b⋅c，
可得12=22+c2−322×2×c，
整理得c2−2c−5=0，
解得c=1± 6(舍负)，
即c=1+ 6；
(3)由(2)及已知，△ABC的面积S=12b⋅c⋅sinA=12×2×(1+ 6)× 32=3 2+ 32.
【解析】(1)利用正弦定理求sinB即可；
(2)应用余弦定理列方程求c；
(3)由(2)及三角形面积公式求面积即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为g(x)=2sin(π−x)+sin(3π2−x)=2sinx−csx，
所以函数g(x)的特征向量p=(2,−1)；
(Ⅱ)因为向量p=( 3,1)的特征函数为f(x)，
所以f(x)= 3sinx+csx=2sin(x+π6)，
由f(x)=65，得sin(x+π6)=35，
因为x∈(−π6,π3)，所以x+π6∈(0,π2)，
所以cs(x+π6)=45，
所以sinx=sin[(x+π6)−π6]=35× 32−45×12=3 3−410；
(Ⅲ)因为向量p=(−12, 32)的特征函数为f(x)，
所以f(x)=−12sinx+ 32csx=cs(x+π6)，
则h(x)=f2(x)−14=cs2(x+π6)−14=12cs(2x+π3)+14，
令h(x)=0，则cs(2x+π3)=−12，
则2x+π3=2π3+2kπ或4π3+2kπ，k∈Z，
则x=π6+kπ或π2+kπ，k∈Z，
由h(x)在区间[a,b]上至少有40个零点，
不妨设a=π6，
则b≥π6+19T+(π2−π6)=π2+19T，
则b−a≥π3+19T=π3+19π=58π3，
所以b−a的最小值为58π3.
【解析】(Ⅰ)根据诱导公式化简，再根据函数的特征向量的定义即可得解；
(Ⅱ)根据向量的特征函数求出函数解析式，再结合两角差的正弦公式即可得解；
(Ⅲ)根据三角恒等变换求出函数h(x)的解析式，不妨设a为其中的一个零点，再根据三角函数的性质即可得出答案．
本题在以新定义基础之上考查了三角函数的有关知识点，考查了诱导公式及三角恒等变换中的几个公式，还考查了三角函数中的零点问题．