河南驻马店市经济开发区2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南驻马店市经济开发区2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，，则，已知函数，则“有极值”是“”的等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二、三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．48B．36C．24D．8
2．在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．1D．4
3．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知由样本数据组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量x，y之间的相关系数为，，，则经验回归直线经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
5．已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则“有极值”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则△PAB的面积为（ ）
A．75B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（ ）
A．常数项为B．
C．项的系数为40D．项的系数为-160
10．若数列满足对任意的正整数n，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ）
A．若分，则数列为“凸数列”
B．若，则数列为“凸数列”
C．若单调递减数列的前n项和为，则数列为“凸数列”
D．若数列的前n项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列
11．已知，，，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量，且，则______．
13．用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种．
14．已知函数在R上连续且存在导函数，对任意的实数x满足，当时，．若，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知数列的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
16．（15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，BAD为锐角，△PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD，，且四棱锥P-ABCD的体积为2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）若E是PC的中点，求平面ABE与平面PAD夹角的余弦值．
17．（15分）
某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立．
（1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；
（2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望．
18．（17分）
已知双曲线的离心率为，半焦距为，A为C的左顶点，直线．
（1）求C的方程．
（2）若l过定点，且交C于E，F两点（异于点A），证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．
（3）若l与C有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别与x轴y轴相交于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程．
19．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
X
1
2
3
P
a
b
c
2023-2024学年高二下学期第三次月考
数学试卷参考答案
1．A ．
2．B设的公比为q，则，所以．
由，得，所以．
3．C 因为，所以，则，，
故函数的图象在点处的切线方程为．
4．B 由相关系数为，知x，y负相关，所以．
又，，即点在经验回归直线上，且在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限．
5．A 将l的方程转化为，
令解得，即l过定点．
当OM⊥l时，取得最小值．
6．B 因为，，所以，
故．
7．C ，若有极值，则，
解得，所以“有极值”是“”的充要条件．
8．D 当F，Q，P三点共线时，取得最小值，且，
所以，解得，所以．
由，得．
设，，则曲线在处的切线方程为，
即．因为切线过点，所以．
同理可得，所以直线AB的方程为，即．
联立方程组得，则．
因为直线AB过焦点F，所以，
点P到直线的距离，
所以．
9．BD 因为展开式中各奇数项的二项式系数之和为32，所以，
解得，常数项为，项的系数为．
10．BC 若，则，故A错误．
若，则，故B正确．
若数列为单调递减数列，则，所以，即，故C正确．
若数列的前n项和为，数列为“凸数列”，则，即，所以，则从第二项起，为单调递减数列，故D错误．
11．BCD 由得A错误，B正确．
由，得，则，C正确．
，
当时，取得最大值，且最大值为，D正确．
12．0.5 因为，所以，则．
13．72 1，2，3三个区域有种涂法，当1和5区域同色时，有种涂法，当1和5区域不同色时，有种涂法．综上，共有72种涂法．
14． 由，可得．
令，则，，
所以的图象关于直线对称．
当时，，所以，
又在R上连续，所以在上单调递增．
由，可得，即，
所以，解得．
15．解：（1）当时，．
当时，．
因为，所以．
（2）由（1）可得，
则．
16．（1）证明：取AD的中点O，连接OB，OP，BD．
因为△PAD是正三角形，所以．
又平面底面ABCD，且平面底面，所以底面ABCD．
因为，所以，，
解得，
又∠BAD为锐角，所以，则△ABD为正三角形，从而OB⊥AD．
因为，所以AD⊥平面PBO．
又平面PBO，所以AD⊥PB．
（2）解：以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
所以，．
设平面ABE的法向量为，
由得
令，得．
由图可知，平面PAD的一个法向量为．
故平面ABE与平面PAD夹角的余弦值为．
17．解：（1）甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率为．
（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，5，6，
，
，
，
，
，
则X的分布列为
所以．
18．（1）解：因为半焦距为，所以．
因为离心率为，所以．
由，得，则C的方程为．
（2）证明：因为l过定点，所以，
联立方程组消去x得，
由，，得，且．
设，，则，，
直线AE的斜率，直线AF的斜率，
所以
，
即直线AE与AF的斜率之积为定值．
（3）解：因为与C有唯一的公共点M，
所以l与C相切．
当时，过M且与l垂直的直线与x轴重合，不符合题意，所以．
联立方程组消去x得．
由，得，且．
记切点，则，，
代入l得，即．
过点M且与l垂直的直线方程为．
令，得，令，得，所以
因为，，所以．
因为，
所以，代入，化简得．
因为，所以，故点的轨迹方程为．
19．（1）解：因为，
所以．
若，则恒成立，当时，，当时，．
若，令，解得．
若，即，则恒成立，当时，
，当时，；
若，即，则当时，，当时，；
若，即，则在上恒成立；
若，即，则当时，，当时，．
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明：要证，
需证．
因为，，所以，
则只需证明，即证，
即证．
令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故．
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，故，
从而是，证毕
X
2
3
4
5
6
P