河南省百师联盟2023-2024学年高二下学期5月大联考数学试题（Word版附答案）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取5件进行检验，抽出的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（ ）
A.B.C.D.
2.已知等差数列前项和为，若，则（ ）
A.B.C.1D.2
3.在直角坐标系内，圆：，若直线：绕原点顺时针旋转90°后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
4.正四面体中，与平面所成角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
5.先后投掷两个完全相同的骰子，已知两个骰子的点数之和为10，则第一个骰子掷出的点数为5的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.已知变量，的5对样本数据为，，，，，用最小二乘法得到经验回归方程：，过点，的直线方程为：，则（ ）
A.
B.样本数据的残差为
C.
D.
7.抛物线：（）的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）
A.B.C.D.
8.若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.设随机变量等可能取中的一个数，如果，则
B.若随机变量的概率分布为（），且是常数，则
C.设随机变量服从两点分布，若，则成功概率
D.已知随机变量，则
10.如图所示，设，分别是正方体的棱上两点，且，与，两点均不重合，且，，其中正确的命题为（ ）
A.三棱锥的体积为定值B.异面直线与所成的角为60°
C.平面D.直线与平面所成的角为30°
11.定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的展开式中，的系数为______.
13.已知函数（）存在两个极值点，，且，则的取值范围为______；的取值范围为______.
14.设，为双曲线：（，）的左、右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线的离心率为.______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（13分）已知正项数列前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
16.（15分）某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示.
（1）约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关，说明理由；
（2）为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量表示其中基础版1车主的人数，求的分布列和期望
附：；，，，.
17.（15分）如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求三棱锥的体积.
18.（17分）设椭圆：（）左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点.已知椭圆的离心率为，的周长为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）判断轴上是否存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，使得为的一条内角平分线？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
19.（17分）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.
已知，（）.
（1）判断函数在区间上是否为凸函数，说明理由；
（2）已知函数为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方；
（3）若，求函数（）的最小值.
百师联盟高二五月大联考
数学参考答案及评分意见
1. C 【解析】根据题意，先从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，再从5件正品中抽取3件正品，有种抽取方法，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种.故选C.
2. C 【解析】，故选C.
3. A 【解析】直线：绕原点顺时针旋转90°后得到直线，
若该直线与圆存在公共点，则圆心到直线的距离，
解得，即实数的取值范围是.故选A
4. A 【解析】正四面体，高为，为底面正三角形的外心，
设为，就是与平面所成的角，
在中，设正四面体棱长为，
则，，
∴.故选A.
5. C 【解析】记“两个骰子的点数之和为10”为事件，“第一个骰子掷出的点数为5”为事件，
事件包含，，共有3个基本事件，即，
事件包含，共有1个基本事件，即，
所以所求概率为.故选C.
6. D 【解析】对于A选项，由已知可得，，
，
根据经验回归方程，可知，所以.
根据已知，可求出，
则直线的方程为，整理可得，
所以，故A选项错误；
对于B项，由已知，经验回归方程为，
样本数据的预测值为，
所以样本数据的残差为，故B项错误；
对于C、D选项，根据最小二乘法的意义，可知，
故D项正确.故选D.
7. D 【解析】：，焦点，右焦点，
则直线的方程为，双曲线渐近线方程，
对求导，得，
设，则，即，代入拋物线得，
又点在上，则，解得，故选D.
8. B 【解析】原问题等价于方程存在三个不等的实数根，
令，，所以在上单调递增，在上单调递减，
且时，，时，，当时，，
方程有一正一负根，且正根位于区间上
所以，所以的取值范围为.故选B.
9. ACD 【解析】A.设随机变量等可能取中的一个数，
则（），
所以，则，故A正确；
B.若随机变量的概率分布规律为（），
则，
其中是常数，则，故B错误；
C.根据题意可得，
又因为，联立即可解得，故C正确；
D.因为随机变量，所以，
则，故D正确.
故选ACD.
10. AD 【解析】以为原点，，，分别为，，轴建系，
设，，，分别为，，轴，则，（）
A选项，为定值，故A对；
B选项，异面直线与所成的角与直线与所成的角为同一个角，
即异面直线与所成的角的平面角为，故B错，
C选项，，平面即平面的法向量为，
设直线与平面所成的二面角的平面角为，
则，
则，故C错，D选项，由C选项可知直线与平面所成的角为30°，故D对，
故选AD.
11. ABC 【解析】对于A，因为，可知在上单调递增，且，
则，所以，A正确；
对于B，因为，且，则，即，
因为在上单调递增，所以，B正确；
对于C，令（），则，
可知在上单调递增，因为，
所以，即，
所以，C正确；
对于D，由C可知，且，
所以，D错误.故选ABC.
12.12 【解析】根据二项式的展开式（，）可知，
当时，的系数为.故答案为12.
13.； 【解析】∵，，
∴，∵存在两个极值点，，且，
∴在上有2个不相等的实根，
∴和在上有2个不同的交点，，即；
当时，函数的图象关于直线对称，
∴，即，
∴
，
令，，
则，∴在上单调递减，
所以，∴的取值范围为.
故答案为；.（第1问2分，第2问3分）
14. 【解析】如图所示，，，
过点作轴，垂足为，则，
在中，，，
即有，，
故点的坐标为，
代入双曲线方程得，即为，
的离心率.
15.解：（1）∵①，
当，时，有②，
由①－②得，即，
∵，∴，
∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，
∴（）.
（2）由（1）得，
则（），
∴
.
16.解：（1）由题意，列联表如下：
则，
所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下认为汽车的性能与款式有关.
（2）由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
则.
17.（1）证明：因为是等边三角形，是的中点，
所以，且.
又平面平面，平面平面，
所以平面.
（2）解：记的中点为，易知，，两两互相垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则所以
令，得，此时.
设直线与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的大小为.
（3）解：设点到平面的距离为，由（2）知，
则.
由平面几何知识，易知在直角梯形中，
由，可知平面，
所以，即，
所以.
18.解：（1）由题意，得解得
所以椭圆的标准方程为.
（2）假设轴上存在一点符合题意.
由题意，设直线：（），，.
联立方程消去，
得.
所以，
由题意知，直线的斜率存在，且为，
同理，直线的斜率为，
所以
，
因为为的一条内角平分线，所以，
所以，
因为上式要对任意非零的实数都成立，
所以，
解得，
故轴上存在一点，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦，
使得为的一条内角平分线.
19.解：（1）由可得，
∴，
∵，∴，
∴在区间上为凸函数.
（2）①由，，
得，.
∵函数是上的凸函数，
故在上恒成立，
故在上恒成立，
故，故，
故实数的范围是.
②证明如下：
设切点为，则切线方程为，
令，
，
依题意，只需证明即可；
，，
故函数在上为减函数，
又，故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴，则恒成立，即得证；
（3）令，，
，，，
当时，在恒成立，
故在递减，
故，
故函数（）的最小值为.评分款式
1分
2分
3分
4分
5分
基础版
基础1
2
2
3
1
0
基础2
4
4
5
3
1
豪华版
豪华1
1
3
5
4
1
豪华2
0
0
3
5
3
汽车性能
汽车款式
合计
基础版
豪华版
一般
优秀
合计
汽车性能
汽车款式
合计
基础版
豪华版
一般
20
12
32
优秀
5
13
18
合计
25
25
50
0
1
2
3