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    2024年高考数学真题分类汇编03:复数和平面向量

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    这是一份2024年高考数学真题分类汇编03:复数和平面向量,共7页。试卷主要包含了单选题,填空题等内容,欢迎下载使用。


    一、单选题
    1.(2024·全国)若,则( )
    A.B.C.D.
    2.(2024·全国)已知向量,若,则( )
    A.B.C.1D.2
    3.(2024·全国)已知,则( )
    A.0B.1C.D.2
    4.(2024·全国)已知向量满足,且,则( )
    A.B.C.D.1
    5.(2024·全国)设,则( )
    A.B.1C.-1D.2
    6.(2024·全国)设,则( )
    A.B.C.10D.
    7.(2024·全国)已知向量,则( )
    A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件
    C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件
    8.(2024·北京)已知,则( ).
    A.B.C.D.1
    9.(2024·北京)已知向量,,则“”是“或”的( )条件.
    A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
    C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件
    二、填空题
    10.(2024·天津)已知是虚数单位,复数 .
    11.(2024·天津)在边长为1的正方形中,点为线段的三等分点, ,则 ;若为线段上的动点,为中点,则的最小值为 .
    12.(2024·上海)已知,且,则的值为 .
    13.(2024·上海)已知虚数,其实部为1,且,则实数为 .
    参考答案:
    1.C
    【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
    【解析】因为,所以.
    故选:C.
    2.D
    【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
    【解析】因为,所以,
    所以即,故,
    故选:D.
    3.C
    【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
    【解析】若,则.
    故选:C.
    4.B
    【分析】由得,结合,得,由此即可得解.
    【解析】因为,所以,即,
    又因为,
    所以,
    从而.
    故选:B.
    5.D
    【分析】先根据共轭复数的定义写出,然后根据复数的乘法计算.
    【解析】依题意得,,故.
    故选:D
    6.A
    【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
    【解析】由,则.
    故选:A
    7.C
    【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.
    【解析】对A,当时,则,
    所以,解得或,即必要性不成立,故A错误;
    对C,当时,,故,
    所以,即充分性成立,故C正确;
    对B,当时,则,解得,即必要性不成立,故B错误;
    对D,当时,不满足,所以不成立,即充分性不立,故D错误.
    故选:C.
    8.C
    【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
    【解析】由题意得,
    故选:C.
    9.A
    【分析】根据向量数量积分析可知等价于,结合充分、必要条件分析判断.
    【解析】因为,可得,即,
    可知等价于,
    若或,可得,即,可知必要性成立;
    若,即,无法得出或,
    例如,满足,但且,可知充分性不成立;
    综上所述,“”是“且”的必要不充分条件.
    故选:A.
    10.
    【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
    【解析】.
    故答案为:.
    11.
    【分析】解法一:以为基底向量,根据向量的线性运算求,即可得,设,求,结合数量积的运算律求的最小值;解法二:建系标点,根据向量的坐标运算求,即可得,设,求,结合数量积的坐标运算求的最小值.
    【解析】解法一:因为,即,则,
    可得,所以;
    由题意可知:,
    因为为线段上的动点,设,
    则,
    又因为为中点,则,
    可得

    又因为,可知:当时,取到最小值;
    解法二:以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,
    则,
    可得,
    因为,则,所以;
    因为点在线段上,设,
    且为中点,则,
    可得,
    则,
    且,所以当时,取到最小值为;
    故答案为:;.
    12.15
    【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程,解出即可.
    【解析】,,解得.
    故答案为:15.
    13.2
    【分析】设,直接根据复数的除法运算,再根据复数分类即可得到答案.
    【解析】设,且.
    则,
    ,,解得,
    故答案为:2.
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