2024年高考数学真题分类汇编03:复数和平面向量
展开一、单选题
1.(2024·全国)若,则( )
A.B.C.D.
2.(2024·全国)已知向量,若,则( )
A.B.C.1D.2
3.(2024·全国)已知,则( )
A.0B.1C.D.2
4.(2024·全国)已知向量满足,且,则( )
A.B.C.D.1
5.(2024·全国)设,则( )
A.B.1C.-1D.2
6.(2024·全国)设,则( )
A.B.C.10D.
7.(2024·全国)已知向量,则( )
A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件
8.(2024·北京)已知,则( ).
A.B.C.D.1
9.(2024·北京)已知向量,,则“”是“或”的( )条件.
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题
10.(2024·天津)已知是虚数单位,复数 .
11.(2024·天津)在边长为1的正方形中,点为线段的三等分点, ,则 ;若为线段上的动点,为中点,则的最小值为 .
12.(2024·上海)已知,且,则的值为 .
13.(2024·上海)已知虚数,其实部为1,且,则实数为 .
参考答案:
1.C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【解析】因为,所以.
故选:C.
2.D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【解析】因为,所以,
所以即,故,
故选:D.
3.C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【解析】若,则.
故选:C.
4.B
【分析】由得,结合,得,由此即可得解.
【解析】因为,所以,即,
又因为,
所以,
从而.
故选:B.
5.D
【分析】先根据共轭复数的定义写出,然后根据复数的乘法计算.
【解析】依题意得,,故.
故选:D
6.A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【解析】由,则.
故选:A
7.C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.
【解析】对A,当时,则,
所以,解得或,即必要性不成立,故A错误;
对C,当时,,故,
所以,即充分性成立,故C正确;
对B,当时,则,解得,即必要性不成立,故B错误;
对D,当时,不满足,所以不成立,即充分性不立,故D错误.
故选:C.
8.C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【解析】由题意得,
故选:C.
9.A
【分析】根据向量数量积分析可知等价于,结合充分、必要条件分析判断.
【解析】因为,可得,即,
可知等价于,
若或,可得,即,可知必要性成立;
若,即,无法得出或,
例如,满足,但且,可知充分性不成立;
综上所述,“”是“且”的必要不充分条件.
故选:A.
10.
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【解析】.
故答案为:.
11.
【分析】解法一:以为基底向量,根据向量的线性运算求,即可得,设,求,结合数量积的运算律求的最小值;解法二:建系标点,根据向量的坐标运算求,即可得,设,求,结合数量积的坐标运算求的最小值.
【解析】解法一:因为,即,则,
可得,所以;
由题意可知:,
因为为线段上的动点,设,
则,
又因为为中点,则,
可得
,
又因为,可知:当时,取到最小值;
解法二:以B为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,
则,
可得,
因为,则,所以;
因为点在线段上,设,
且为中点,则,
可得,
则,
且,所以当时,取到最小值为;
故答案为:;.
12.15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程,解出即可.
【解析】,,解得.
故答案为:15.
13.2
【分析】设,直接根据复数的除法运算,再根据复数分类即可得到答案.
【解析】设,且.
则,
,,解得,
故答案为:2.
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