2023-2024学年内蒙古通辽市九年级（下）第四次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古通辽市九年级（下）第四次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，是有理数的为( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.桌面上放着个长方体和个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是
( )
A. B. C. D.
4.一组数据为，，，，，，某同学在抄题时，误把其中一个抄成了，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是( )
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 众数
5.已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
6.年月日，教育部举办新闻发布会，介绍了教师队伍建设进展，根据最新统计数据显示，教师总数已经达到万人，将万人用科学记数法表示为( )
A. 万人B. 万人
C. 万人D. 人
7.如图，的三个顶点，和分别在平行线，上，平分，交线段于点，若，，则的大小为( )
A. B. C. D.
8.如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，为上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D. 无法确定
9.若关于的方程无解，则的值是( )
A. B. C. 或D. 或
10.如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
11.如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转后得到，若函数的图象经过点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图是二次函数是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是对于下列说法：；；；为实数；当时，，其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.分解因式： ．
14.使得代数式有意义的的取值范围是______．
15.如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是 ．
16.若关于的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是______．
17.如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点点不与点重合，沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，的长为______．
三、计算题：共1小题，共6分。
18.计算：．
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
先化简，再选取一个你喜欢的的值代入求值．
20.本小题分
为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
求的度数；
已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
21.本小题分
冰墩墩将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，整体形象酷似航天员，凭借憨态可掬的模样和活波调皮的性格，成为新晋“顶流”，同时形成了“一墩难求”的局面，小丽爸爸买了四个外包装完全相同的冰墩墩手办，其中两个为经典造型，两个为冰球造型，在没有拆外包装的情况下，小丽和哥哥各自从这四个手办中随机拿走一个．
若小丽从这四个手办中拿走一个，则小丽拿走的是经典造型的概率为______；
若小丽先拿走一个，哥哥再从剩下的三个中随机拿走一个，求小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的概率．
22.本小题分
如图，为平行四边形的对角线，点，分别在，上，，连接，．
求证：四边形是菱形；
连接交于点，若为中点，，，求的长．
23.本小题分
家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
下列选取样本的方法最合理的一种是______只需填上正确答案的序号
在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：
______，______；补全条形统计图；
扇形统计图中扇形的圆心角度数是______；
家庭过期药品的正确处理方式是送回收站，若该市有万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收站．
24.本小题分
如图，点是的边上一点，以为半径的与边相切于点，与边、分别相交于点、，且．
求证：；
当，时，求的长．
25.本小题分
某商场销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元满足，设销售这种商品每天的利润为元
求与之间的函数关系式；
在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？
当每天销售量不少于件，且销售单价至少为元时，该商场每天获得的最大利润是多少？
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且，．
求抛物线的解析式；
点是第一象限内抛物线上的动点，连接交于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
如图，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点的位置，使是直角三角形？若存在，请直接写出相应点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解：，，是无理数，
是有理数，
故选：．
根据有理数的意义，无理数的意义，可得答案．
本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
2.【答案】
解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
分别根据二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则对各选项进行分析即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则、完全平方公式及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
3.【答案】
解：从左边看，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4.【答案】
解：一组数据为，，，，，，某同学在抄题时，误把其中一个抄成了，那么该同学所抄的数据和原数据相比，中位数不变，平均数，方差，众数发生变化，
故选：．
根据中位数，平均数，方差，众数的定义判断即可．
本题考查中位数，平均数，方差，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.【答案】
解：由图知：，
，，
原式．
故选：．
根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查用科学记数法表示绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为正整数．
确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：将万人用科学记数法表示为万人．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，以及平行线的性质，要熟练掌握．
首先根据，，求出的大小；然后根据，求出的大小，再根据平分，求出的大小；最后根据三角形内角和定理，求出即可．
【解答】
解：，，
；
，
，
平分，
，
．
8.【答案】
解：如图，过点作于，
由作图可知，平分，
，，
，
根据垂线段最短可知，的最小值为．
故选：．
如图，过点作于，根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．
本题考查尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键．
9.【答案】
解：，
去分母得，，
整理得，，
当时，分式方程无解，
则，
解得，；
当整式方程无解时，，
故选：．
先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得的值．
本题主要考查分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了轴对称--最短路线问题，勾股定理，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出点位置是解题的关键．
由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果．
【解答】
解：如图，连接，设与交于点，
四边形是正方形，
点与关于对称，
，
，
即是与的交点时，最小，为的长度．
直角中，，，，
，
．
故选A．
11.【答案】
解：点的坐标为，
，
作于点，
绕点逆时针旋转后得到，
，
，，
，
点的坐标为：，
函数的图象经过点，
，得，
故选：．
根据题意可以求得点的坐标，从而可以求得的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，．
【解答】
解：对称轴在轴右侧，
、异号，
，故正确；
对称轴，
；故正确；
，
，
当时，，
，故错误；
根据图示知，当时，二次函数有最大值；
此时，
所以有，
所以为实数．
故正确．
如图，当时，不只是大于．
故错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
原式分解因式时，先考虑是否有公因式，再考虑公式法，如果有两项则考虑平方差公式分解．
此题主要考查了提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用．
【解答】
解：
．
故答案为：．
14.【答案】
解：代数式有意义，
，
，
的取值范围是，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数且分母不为零列不等式，求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
连接，求得圆的半径为，扇形的圆心角的度数，然后根据，即可得到结论．
【解答】
解：连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
的半径为，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
于点，
在中，，，
，
．
故答案为．
16.【答案】
解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
．
故答案为：．
不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出的范围．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
17.【答案】
解：由题意得：，
点在以为圆心，为半径的圆上，作； 连接交于点，此时值最小，
点是边的中点，
；而，
由勾股定理得：
，而，
，
即线段长的最小值是，
连接，过作于，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
由题意得：，得到点在以为圆心，为半径的圆上，作； 连接交于点，此时值最小，由点是边的中点，得到；而，由勾股定理得到，求得线段长的最小值是，连接，过作于，根据相似三角形的性质即可得到结论．
该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．
18.【答案】解：原式．
【解析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
19.【答案】解：原式
．
若使分式有意义，则，即．
当时，原式．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取一个合适的的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意．
20.【答案】解：由题意得，，，
，
由可知，
海里
过点作于点，在中，
海里
海监船继续向正东方向航行是安全的．
【解析】在中，求出、的度数即可解决问题；
作于求出的值即可判定；
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
21.【答案】
解：若小丽从这四个手办中拿走一个，则小丽拿走的是经典造型的概率为，
故答案为：；
设两个为经典造型分别为甲、乙，两个为冰球造型丙、丁，
画树状图如图所示，
共有种等可能的结果，小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的有种情况，
小丽和哥哥拿走的手办是不同造型的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
设两个为经典造型分别为甲、乙，两个为冰球造型丙、丁，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
为等腰三角形，
，
四边形是菱形；
解：如图，连接，

四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
若为的中点，
则．
【解析】由平行四边形的性质得，再证，得为等腰三角形即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由锐角三角函数定义得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：；
；
类户数为：户，
条形统计图补充如下：
；
万户．
答：若该市有万户家庭，估计大约有万户家庭处理过期药品的方式是送回收站．
解：选取样本的方法最合理的一种是在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取；
故答案为：；
抽样调査的家庭总户数为：户，
，，
，．
故答案为；；
类户数为：户，
条形统计图补充如下：
扇形统计图中扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
万户．
答：若该市有万户家庭，估计大约有万户家庭处理过期药品的方式是送回收站．
【分析】
根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；
首先根据类有户，占，求出抽样调査的家庭总户数，再用类户数除以总户数求出，用类户数除以总户数求出；
用总户数分别减去、、、、类户数，得到类户数，即可补全条形统计图；
用乘以类对应的百分比可得；
用万户乘以样本中送回收站的户数所占百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．
24.【答案】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
；
在，，，，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
．
【解析】本题考查了平行线的判定与性质，锐角三角函数的定义，切线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
连接，，因为，所以，从而易证，所以，从可证明；
设的半径为，则，在中，，从而可求出的值．
25.【答案】解：根据题意，可得，；
由题意知，元，即，
解得，，
销售量随销售单价的增大而减小，
当时，既能保证销售量大，又可以每天获得元的利润；
由题意知，，且，解得，
，
对称轴，
在对称轴右侧随着的增大而减小，
当时，最大值，，
当时，该商场每天获得的最大利润是元．
【解析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
直接利用每件利润总销量总利润，进而得出等式求出即可；
利用中的关系式，令解出，注意到销售量尽可能大的前提下这一条件，要根据销售量的增减性来取的值．
先根据题意求出自变量的取值范围，再依据函数的增减性求得最大利润．
26.【答案】解：点在轴的负半轴上，点、分别在轴、轴的正半轴上，且，，
、、，
把、、代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
存在，
如图，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
把、代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则，，
，
，
∽，
，
，且，
当时，取得最大值，此时，
的最大值为，此时点的坐标为
存在，
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，
如图，以为斜边，则，
，
解得，
；
如图，以为斜边，则，

解得，
；
如图，以为斜边，则，
，
解得，，
或，
综上所述，点的坐标为或或或
【解析】先由点在轴的负半轴上，点、分别在轴、轴的正半轴上，且，，确定点、、的坐标，再将点、、的坐标代入，列方程组求了、、的值即可；
过点作轴交于点，先求出直线的解析式，设点的横坐标为，用含的代数式分别表示点、点的坐标及线段的长，再根据∽求出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质求出的最大值及此时点的坐标；
存在点，使是直角三角形，先求出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，再按以为斜边、以为斜边或以为斜边进行分类讨论，列方程求出的值即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定与性质等知识与方法，解题过程中还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题．