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    2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区七年级(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区七年级(下)期中数学试卷(含解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.下列方程是二元一次方程的是( )
    A. B. C. D.
    2.下列运算中,正确的是( )
    A. B. C. D.
    3.某种细胞的直径是米,用科学记数法表示为( )
    A. B. C. D.
    4.下列从左到右的变形属于因式分解的是( )
    A. B.
    C. D.
    5.下列各组数是方程的解是( )
    A. B. C. D.
    6.如图,,,,则( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    7.如图,点在的延长线上,下列条件能判断的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    8.金山银山不如绿水青山,某地准备购买一些松树和梭梭树苗已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元,购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元设每棵松树苗元,每棵梭梭树苗元,则列出的方程组正确的是
    ( )
    A. B.
    C. D.
    9.我们知道:若且,则设,,现给出,,三者之间的三个关系式:;;其中正确的是( )
    A. B. C. D.
    10.已知关于,的方程组,给出下列说法:
    当时,方程组的解也是的解;
    若,则;
    无论取何值,,的值不可能互为相反数;
    ,都为自然数的解有对.
    以上说法中正确的个数为( )
    A. B. C. D.
    二、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
    11.在中,用含的代数式表示: .
    12.分解因式:______.
    13.若,,则的值为______.
    14.若关于,的二次三项式是一个完全平方式,则 ______.
    15.若是方程的一组解,则 ______.
    16.已知:,则的值为______.
    17.若满足,则等于______.
    18.将长方形沿按图中那样折叠后,点,分别落在点,处,若,则的度数是______.
    19.如图所示的是一块矩形的场地,,,从,两地入口的路宽都为,两小路汇合处的路宽为,其余部分种植草坪,则草坪的面积为______.
    20.如图,有两个正方形,,现将放在的内部如图甲,将,并排放置后构造新的正方形如图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和,则正方形与的面积之和为______.
    三、解答题:本题共6小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    21.本小题分
    计算:;
    解方程组:.
    22.本小题分
    如图,在三角形中,点在上,交于点,点在,.
    试说明:;
    若,求的度数.
    23.本小题分
    已知,,求的值.
    化简求值:,其中,.
    24.本小题分
    我们规定:对于数对,如果满足,那么就称数对是“和积等数对”;如果满足,那么就称数对是“差积等数对”,例如:,所以数对为“和积等数对”,数对为“差积等数对”.
    下列数对中,“和积等数对”的是______;“差积等数对”的是______.
    ,,.
    若数对是“差积等数对”,求的值.
    是否存在非零的有理数,,使数对是“和积等数对”,同时数对也是“差积等数对”,若存在,求出,的值,若不存在,说明理由.
    25.本小题分
    某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱,现有两种不同的购买方案,如下表:
    采购人员不慎将污渍弄到表格上,根据表中的数据,判断污渍盖住地方对应金额是______元;
    若后勤部购买牛奶箱,咖啡箱,则需支付金额元;
    求牛奶与咖啡每箱分别为多少元?
    超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近,进行打六折的促销活动,后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶,此次采购共花费了元,其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的,则此次按原价采购的咖啡有______箱.直接写出答案
    26.本小题分
    用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形,然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积,可以得到一个等式例如:计算图的面积,把图看作一个大正方形,它的面积是;如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的,它的面积为,由此得到.
    如图,由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形,从中你能发现什么结论?该结论用等式表示为______;
    利用中的结论解决以下问题:已知,,求的值;
    如图,由正方形边长为,正方形边长为,点,,在同一直线上,连接,,若,,求图中阴影部分的面积.
    答案和解析
    1.【答案】
    解:、是二元一次方程,符合题意;
    B、是整式,不是方程,不符合题意;
    C、是分式方程,不符合题意;
    D、是二元二次方程,不符合题意.
    故选:.
    根据含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是,像这样的方程叫做二元一次方程,逐项进行判断解题即可.
    本题考查的是二元一次方程的定义,正确记忆相关知识点是解题关键.
    2.【答案】
    解:、,故此选项错误;
    B、,故此选项错误;
    C、,故此选项错误;
    D、,正确.
    故选:.
    直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案.
    此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
    3.【答案】
    解:用科学记数法表示为.
    故选:.
    绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定.
    本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为,其中,为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定.
    4.【答案】
    解:、从左到右的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;
    B、从左到右的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;
    C、从左到右的变形属于因式分解,故本选项符合题意;
    D、从左到右的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;
    故选:.
    根据因式分解的定义逐个判断即可.
    本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键,注意:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.
    5.【答案】
    解:把,,,的数据代入,
    只有成立.
    故选:.
    把各选项的数据代入方程看是否成立.
    本题考查了二元一次方程的解,掌握解二元一次方程的步骤是关键.
    6.【答案】
    解:
    ,,





    故选:.
    根据平行线的判定得出,再根据平行线的性质得出,代入求出即可.
    本题考查了平行线的性质和判定,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键,注意:内错角相等,两直线平行,两直线平行,同旁内角互补.
    7.【答案】
    解:根据内错角相等,两直线平行即可证得;
    B.根据内错角相等,两直线平行即可证得,不能证;
    C.根据内错角相等,两直线平行即可证得,不能证;
    D.根据同旁内角互补,两直线平行,即可证得,不能证.
    故选:.
    根据平行线的判定定理即可直接作出判断.
    本题考查了平行线的判定定理,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键,不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行.
    8.【答案】
    解:购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元,

    购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元,

    所列方程组为.
    故选:.
    根据“购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元,购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元”,即可得出关于,的二元一次方程组,此题得解.
    本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
    9.【答案】
    解:,





    ,故此结论正确;
    ,故此结论错误;
    ,故此结论正确;
    故正确的是:.
    故选:.
    根据同底数幂的乘除法公式即可求出、、的关系.
    本题考查同底数幂的乘除法,解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式,本题属于中等题型.
    10.【答案】
    解:将代入原方程组得,
    解得,
    将代入方程左右两边,
    左边,右边,
    当时,方程组的解也是的解,故正确;
    方程组得,
    若,则,解得,故正确;
    ,,
    两方程相加得,

    无论取何值,,的值不可能互为相反数,故正确;

    ,都为自然数的解有共对,
    故正确.
    故选:.
    将代入原方程组得,解得,经检验得是的解,故正确;方程组两方程相加得,根据,得到,解得,故正确;根据,,得到,得到,从而得到无论取何值,,的值不可能互为相反数,故正确;根据,得到,都为自然数的解有共对,故正确.
    本题考查了消元法解二元一次方程组,二元一次方程解的定义,二元一次方程的自然数解等知识,理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键.
    11.【答案】
    解:方程,

    解得:,
    故答案为:.
    把看作已知数求出即可.
    此题考查了解二元一次方程,解题的关键是将看作已知数,看作未知数.
    12.【答案】
    解:

    故答案为:.
    先提取公因式,再利用平方差公式进行二次分解.
    本题考查了提公因式法与公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键,分解要彻底.
    13.【答案】
    解:,,

    故答案为:.
    根据多项式乘多项式运算法则将所求代数式展开,再将,代入计算即可.
    本题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是关键.
    14.【答案】
    解:由题意得,

    故答案为.
    结合完全平方公式可直接求解.
    本题主要考查完全平方式,灵活运用完全平方公式是解题的关键.
    15.【答案】
    解:是方程的一组解,


    故答案为:.
    将代入可得,从而利用求解即可.
    本题考查二元一次方程的解与整体代换法,理解二元一次方程的解的定义与掌握整体代换法是解题的关键.
    16.【答案】
    解:

    解得:,
    则原式,
    故答案为:
    利用非负数的性质列出方程组,求出方程组的解得到与的值,代入原式计算即可求出值.
    此题考查了解二元一次方程组,以及非负数的性质,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    17.【答案】
    解:满足,

    故答案为:.
    利用完全平方公式即可求得答案.
    本题考查完全平方公式,此为基础且重要知识点,必须熟练掌握.
    18.【答案】
    解:由折叠可得:,
    因为,
    所以,
    因为四边形是长方形,
    所以,
    所以,
    所以,
    因为,
    所以,
    解得:,
    所以.
    故答案为:.
    由折叠的性质可得,再结合平角的定义可得:,再由平行线的性质可得,从而可求解.
    本题主要考查平行线的性质,折叠的性质,解答的关键是熟记平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补.
    19.【答案】
    解:由图可知:矩形中去掉小路后,草坪正好可以拼成一个新的矩形,且它的长为:,宽为所以草坪的面积应该是长宽.
    故选:.
    本题主要利用矩形的性质求出长和宽,再进行解答.
    本题考查矩形的性质及空间想象能力,有一定的思维容量.
    20.【答案】
    解:设、正方形的面积分别为,,则边长分别为、,
    由图甲得:,
    由图乙得:,
    即:,

    故答案为:.
    设、正方形的面积分别为,,则边长分别为、,再根据题意列式求得,,然后根据完全平方公式计算即可.
    本题主要考查了完全平方公式在图形面积中的应用,掌握完全平方公式是解题的关键.
    21.【答案】解:原式

    原方程组可化为,
    将这两个方程的左边与左边相加、右边与右边相加,得;
    将这两个方程的左边与左边相减、右边与右边相减,得;
    这两个方程组方程组,得.
    ,得,解得;
    ,得,解得;
    原方程组的解为.
    【解析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可;
    采用适当的方法解方程组即可.
    本题考查负整数指数幂、零指数幂、解二元一次方程组,掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则和二元一次方程组的解法是本题的关键.
    22.【答案】解:,











    【解析】先根据平行线的性质得到,再根据证得,根据同位角相等,两直线平行证得结论;
    已知,可求得,进而求得,再利用证得结论.
    本题考查了平行线的判定和性质,熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键,平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
    23.【答案】解:,,
    原式



    原式


    当,时,原式.
    【解析】根据提公因式法将原式进行变形,再代入计算即可;
    根据整式的混合运算法则进行化简,再代入求值即可.
    本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算,熟练掌握上述知识点是解题的关键.
    24.【答案】
    由题意得:.



    假设存在,由题意得:.
    解得:舍去或.
    存在符合条件的,.
    解:,,,

    是“差积等数对”.
    ,,.

    “和积等数对”.
    ,,.
    两者都不是.
    故答案为:,.
    见答案.
    根据所给定义判断即可.
    列出关于的方程求解.
    列出关于,的方程组求解.
    本题考查新定义数对的计算与判断,掌握新定义是求解本题的关键.
    25.【答案】
    解:设牛奶一箱元,咖啡一箱元,
    由题意得:,
    解得:,
    答:牛奶与咖啡每箱分别为元、元;

    解:设牛奶一箱元,咖啡一箱元,
    由题意得:,
    元,
    故答案为:;
    见答案;
    设牛奶与咖啡总箱数为,则打折的牛奶箱数为,
    打折牛奶价格为:元,打折咖啡价格为:元,
    即打折咖啡价格与牛奶原价相同,
    设原价咖啡为箱,则打折咖啡与原价牛奶共有箱,
    由题意得:,
    整理得:,
    、均为正整数,
    ,或,

    ,,
    即此次按原价采购的咖啡有箱,
    故答案为:.
    设牛奶一箱元,咖啡一箱元,由题意得:,即可求解;
    设牛奶一箱元,咖啡一箱元,由题意列出方程组,求解即可;
    设牛奶与咖啡总箱数为,则打折的牛奶箱数为,设原价咖啡为箱,则打折咖啡与原价牛奶共有箱,由题意列出方程,求出正整数解即可.
    本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用,正确列出方程组或方程是解题的关键.
    26.【答案】
    解:图中正方形的面积可以表示为:.
    还可以表示为:.

    故答案为:.
    由知:.

    ,且



    用两种方法表示图中正方形面积即可
    找到三个代数式的关系,整体代换求值.
    先表示阴影部分面积,再求值.
    本题考查用面积表示代数恒等式,用两种不同方泛表示同一个图形面积是求解本题的关键.牛奶箱
    咖啡箱
    金额元
    方案一
    方案二
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