2023-2024学年山东省济南市槐荫区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市槐荫区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算x3⋅x2的结果为( )
A. 3xB. 2x3C. x6D. x5
2.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为( )
A. 8.4×10−6B. 8.4×10−5C. 8.4×10−7D. 8.4×106
3.如图，下列各条件中，能判定AB/​/CD的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠1=∠3
C. ∠2=∠3
D. ∠2=∠4
4.下列图形中，∠1+∠2=90°的是( )
A. B.
C. D.
5.下列命题中是假命题的是( )
A. 两直线平行，内错角互补B. 对顶角相等
C. 同角的余角相等D. 平行于同一直线的两条直线平行
6.下列各式中能用平方差公式是( )
A. (x+y)(x+y)B. (x+y)(−x−y)
C. (x+y)(−x+y)D. (−x+y)(−x+y)
7.如图，AF是∠BAC的平分线，DF/​/AC，若∠1=25°，则∠BDF的度数为( )
A. 25°
B. 50°
C. 75°
D. 100°
8.若x2+kx+16是完全平方式，则k的值为( )
A. 4B. ±4C. 8D. ±8
9.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是( )
A. (a−b)2=a2−2ab+b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a(a+b)=a2+abD. (a+b)(a−b)=a2−b2
10.定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位.那么i1=i，i2=−1，i3=−i，i4=1，i5=i，i6=−1，…，那么i2024=( )
A. −1B. 1C. −iD. i
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.(2a3)2的计算结果是______．
12.已知∠α=30°，则∠α的补角等于______．
13.命题“两直线平行，同旁内角互补”的条件(题设)是______．
14.若am=2，an=6，则am+n= ______．
15.如图，∠ACB=90°，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧交于点G；④作射线CG.若∠FCG=50°，∠B为______度.
16.如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE/​/BF，AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA；AC2、BC2分别平分∠BAC1、∠ABC1；AC3、BC3分别平分∠BAC2、∠ABC2⋯⋯以此类推，得点C2024，则∠C2024度数为______度.
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
(1)2a(3a2−5b)；
(2)(−3)2+(12)−1+(π−3)0．
18.(本小题6分)
(1)(2ab2)3÷b2；
(2)(x+a)(x+b)．
19.(本小题6分)
请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：直线a/​/b，直线c/​/d，∠1=107°.求∠2，∠3的度数．
解：∵a/​/b(已知)，
∴∠2= ______度(两直线平行，内错角相等)．
∵c//d(已知)，
∴∠1+∠3=180°(______).
∴∠3= ______度.
20.(本小题8分)
根据要求完成画图或作答：如图所示，已知点A、B、C是网格纸上的三个格点，分别连接AB、BC、CA．
(1)过点C画线段AB的平行线CD，点D在点C的右侧；
(2)过点C画线段AB的垂线段，垂足为点E；
(3)线段______的长度是点C到线段AB的距离；
(4)∠ABC与∠BCD的数量关系是______．
21.(本小题8分)
求值：[(2a+b)2+(2a+b)(2a−b)−8a2]÷2b，其中a=12，b=−2．
22.(本小题8分)
已知：如图，∠1=120°，∠2=60°，∠4=70°，求∠3的度数.(写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据)
23.(本小题10分)
如图，直线EF分别与直线AB、CD相交于点N、M，NH平分∠BNM，交CD于点H，若∠1=∠2，且∠NHM=54°.(解答过程请注明理由.)
(1)直线AB与CD平行吗？为什么？
(2)求∠1的度数．
24.(本小题10分)
如图，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
(1)求绿化的面积是多少平方米？(用代数式表示)
(2)求出当a=3，b=2时的绿化面积．
25.(本小题12分)
在学习同底数幂的除法公式am÷an=am−n(a≠0)时，有一个附加条件m>n，即被除数的指数大于除数的指数.仿照以上公式，我们研究m=n和m当被除数的指数小于除数的指数时，我们易得102÷104=102−4=10−2或102÷104=102104=1102，即10−2=1102；同理可得，当a≠0时，a5÷a8=a5−8=a−3或a5÷a8=a5a8=1a3，即a−3=1a3.由此启发，我们规定：a−p=1ap(a≠0,p是正整数)．
根据以上知识，解决下列问题：
(1)填空：(2024+π)0= ______，2−2= ______；
(2)若52m−1÷5m=125，求m的值；
(3)若(x−1)x+2=1，求x的值．
26.(本小题12分)
已知AB/​/CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
(1)【基础问题】如图1，试说明：∠AGD=∠A+∠D.(完成下面的填空部分)
证明：过点G作直线MN//AB，
∵AB/​/CD，
∴ ______//CD．
∵MN/​/AB，
∴ ______=∠MGA．
∵MN/​/CD，
∴∠D= ______．
∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D．
(2)【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF=22°，∠AFC=72°，求∠H的度数．
(本题的解答过程无需注明理由)
答案和解析
1.【答案】D
解：x3⋅x2=x5，
故选：D．
根据同底数幂的乘法解答即可．
此题考查同底数幂的乘法问题，关键是根据同底数幂的乘法法则进行计算．
2.【答案】A
解：0.0000084=8.4×10−6．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
解：∵∠1=∠2，
∴AB/​/CD．
故选：A．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了角的计算等知识，属于基础题．
根据两角之和为90°分别判断即可．
【解答】
解：D中∠1+∠2=180°−90°=90°，
而A，B，C均判断不出来∠1+∠2=90°，
故选D．
5.【答案】A
解：A、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：A．
利用平行线的性质、对顶角的性质、互余的定义及平行线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
6.【答案】C
解：A.运用完全平方公式，故本选项不符合题意；
B.运用完全平方公式，故本选项不符合题意；
C.运用平方差公式，故本选项符合题意；
D.运用完全平方公式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据平方差公式的结构特征逐一判断即可．
本题主要考查平方差公式及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式及完全平方公式的结构特征．
7.【答案】B
解：∵DF//AC，
∴∠FAC=∠1=25°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠FAC=25°，
∴∠BAC=50°，
∵DF//AC，
∴∠BDF=∠BAC=50°
故选：B．
根据两直线平行，同位角相等，可得∠FAC=∠1，再根据角平分线的定义可求得∠BAC的度数，再利用平行线的性质可求解．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】D
解：∵x2+kx+16是完全平方式，
∴k=±8．
故选：D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9.【答案】D
解：大正方形的面积−小正方形的面积=a2−b2，
矩形的面积=(a+b)(a−b)，
故(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：D．
由大正方形的面积−小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
10.【答案】B
解：∵i1=i，i2=−1，i3=−i，i4=1，i5=i，i6=−1，⋯，
∴in的结果按i，−1，−i，1这四个数循环的规律出现，
∵2024÷4=506，
∴i2024=1，
故选：B．
先根据题意归纳出in结果的规律，再运用该规律进行求解．
此题考查了新定义实数运算规律性问题的解决能力，关键是能准确根据题意猜想、归纳．
11.【答案】4a6
解：(2a3)2=4a6．
故答案为：4a6．
直接利用积的乘方运算法则化简即可．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12.【答案】150°
解：若∠α=30°，则∠α的补角为180°−30°=150°，
故答案为：150°．
如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，由此计算即可．
本题考查了余角和补角，熟练掌握互为补角的定义是解题的关键．
13.【答案】两直线平行
解：∵“两直线平行，同旁内角互补”可以写成：“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，
∴题设是两直线平行，
故答案为：两直线平行．
根据题设是前提条件，结论是由前提条件得到的结果作答即可．
考查命题中题设与结论的判断；用到的知识点为：所有命题都可以写成“如果…那么…”，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
14.【答案】12
解：∵am=2，an=6，
∴am+n=am⋅an=2×6=12．
故答案为：12．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15.【答案】40
解：由作图步骤可知，∠FCG=∠A，
∴∠A=50°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=180°−∠A−∠ACB=40°．
故答案为：40．
由作图步骤可知，∠FCG=∠A=50°，再结合三角形内角和定理可得答案．
本题考查作图—基本作图、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
16.【答案】(180−9022023)
解：∵AE/​/BF，
∴∠EAB+∠ABF=180°，
∵AC1，BC1分别平分∠EAB，∠FBA，
∴∠BAC1=12∠BAE，∠ABC1=12∠ABF，
∴∠BAC1+∠ABC1=12(∠BAE+∠ABF)=90°，
∴∠C1=180°−90°，
∵AC2、BC2分别平分∠BAC1、∠ABC1，
∴∠BAC2=12∠BAC1，∠ABC2=12∠ABC1，
∴∠BAC2+∠ABC2=12(∠BAC1+∠ABC1)=90°2，
∴∠C2=180°−90°2，
同理：∠C3=180°−90°22，
∴∠C2024=180°−90°22023．
故答案为：(180−9022023).
由特殊情况总结一般规律，即可得到答案．
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律．
17.【答案】解：(1)2a(3a2−5b)=6a3−10ab；
(2)(−3)2+(12)−1+(π−3)0
=9+2+1
=12．
【解析】(1)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可；
(2)根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，实数的运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)(2ab2)3÷b2
=8a3b6÷b2
=8a3b4；
(2)(x+a)(x+b)
=x2+bx+ax+ab
=x2+(b+a)x+ab．
【解析】(1)先算乘方，再算除法，即可解答；
(2)利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】107 两直线平行，同旁内角互补 73
解：∵a/​/b(已知)，
∴∠2=107度(两直线平行，内错角相等)．
∵c//d(已知)，
∴∠1+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠3=73度，
故答案为：107；两直线平行，同旁内角互补；73．
利用平行线的性质进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20.【答案】CE 相等
解：(1)如图，CD即为所求．
(2)如图，CE即为所求．
(3)线段CE的长度是点C到线段AB的距离．
故答案为：CE．
(4)∵AB//CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∴∠ABC与∠BCD的数量关系是相等．
故答案为：相等．
(1)利用网格，根据平行线的判定画图即可．
(2)根据垂线的定义画图即可．
(3)由点到直线的距离可知，线段CE的长度是点C到线段AB的距离．
(4)由平行线的性质可得答案．
本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、点到直线的距离，熟练掌握平行线的判定与性质、点到直线的距离是解答本题的关键．
21.【答案】解：原式=(4a2+4ab+b2+4a2−b2−8a2)÷2b
=4ab÷2b
=2a，
当a=12时，
原式=2×12
=1．
【解析】先根据完全平方公式和平方差公式计算括号里面的，再根据单项式除以单项式法则进行化简，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式除以单项式法则．
22.【答案】解：∵∠1=120°(已知)，
∴∠5=180°−∠1=60°(邻补角互补)，
又∵∠2=60°(已知)，
∴∠5=∠2，
∴a/​/b(同位角相等，两直线平行)，
∴∠3=∠4=70°(两直线平行，同位角相等)．

【解析】先根据邻补角互补求出∠5的度数，进而证明a/​/b，则∠3=∠4=70°．
本题主要考查了平行线的性质与判定，邻补角互补，证明a/​/b是解题的关键．
23.【答案】解：(1)AB/​/CD，理由如下：
∵∠1=∠2，
∠2=∠3(对顶角相等)．
∴∠1=∠3(等量代换)．
∴AB/​/CD(同位角相等，两直线平行)．
(2)∵AB/​/CD，∠NHM=54°．
∴∠BNH=∠NHM=54°．
∵NH平分∠BNM．
∴∠BNM=2∠BNH=2×54°=108°．
∴∠2=180°−108°=72°．
∴∠1=∠2=72°．
【解析】(1)根据∠1=∠2，∠2=∠3，可得∠1=∠3，推出AB/​/CD．
(2)根据AB/​/CD，∠NHM=54°，推出∠BNH=54°，再根据NH平分∠BNM，推出∠BNM=108°，进而得到∠1=∠2=72°．
本题考查平行四边形的判定与性质和角平分线的定义，解题的关键是运用平行线的判定与性质．
24.【答案】解：(1)阴影部分的面积=(3a+b)(2a+b)−(a+b)2
=6a2+5ab+b2−a2−2ab−b2
=5a2+3ab；
(2)当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63(平方米)．
【解析】(1)根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积；
(2)代入a=3，b=2计算即可．
本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
25.【答案】1 14
解：(1)(2024+π)0=1,2−2=122=14，
故答案为：1,14；
(2)∵52m−1÷5m=125，
∴52m−1−m=5−2，
5m−1=5−2，
∴m−1=−2，
解得：m=−1；
(3)分三种情况讨论：
①当x+2=0，(x−1)x+2=1，
∴x+2=0，
解得：x=−2；
②当x−1=1时，即x=2时，(x−1)x+2=1；
③当x−1=−1，即x=0时，(x−1)x+2=1，
综上可知：x的值为−2或2或0．
(1)根据零指数幂的性质和负整数指数幂的性质进行计算即可；
(2)根据同底数幂的除法法则计算等式左边，右边写成幂的形式，从而列出关于m的方程，解方程，求出m即可；
(3)分三种情况讨论，①x+2=0，②x−1=1，③x−1=−1，列出关于x的方程，解方程即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、负整数指数幂的性质和同底数幂的除法法则．
26.【答案】MN ∠A ∠DGM
解：(1)过点G作直线MN//AB，
又∵AB/​/CD，
∴MN/​/CD，
∵MN/​/AB，
∴∠A=∠AGM，
∵MN/​/CD，
∴∠D=∠DGM，
∴∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D．
故答案为：MN；∠A；∠DGM．
(2)AGD=∠A−∠D，理由：
如图所示，过点G作直线MN//AB，
又∵AB/​/CD，
∴MN/​/CD，
∵MN/​/AB，
∴∠A=∠AGM，
∵MN/​/CD，
∴∠D=∠DGM，
∴∠AGD=∠AGM−∠DGM=∠A−∠D．
(3)如图所示，
∵∠AFC=72°；
∴∠GAB=180°−72°=108°，
∵AH平分∠GAB，
∴∠HAB=12∠GAB=12×108°=54°，
∵DC/​/AB，
∴∠HQC=54°，
∴∠H=∠HQC−∠HDF=54°−22°=32°．
(1)由MN//AB，可得∠A=∠AGM，由MN/​/CD，可得∠D=∠DGM，则∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D；
(2)如图所示，过点G作直线MN//AB，同理可得∠A=∠AGM，∠D=∠DGM，则∠AGD=∠AGM−∠DGM=∠A−∠D；
(3)如图所示，利用平行线的性质求出∠GAB的值，再利用平行线线的性质和外角性质进行计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．