甘肃省武威市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题（含答案）

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这是一份甘肃省武威市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知，则，已知为虚数单位，复数，，则等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章~第四章4.4。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若是纯虚数（其中为虚数单位），则实数（）
A．B．C．D．3
2．（）
A．B．C．D．
3．若直线平面，则下列说法正确的是（）
A．l仅垂直平面内的一条直线B．l仅垂直平面内与l相交的直线
C．l仅垂直平面内的两条直线D．l与平面内的任意一条直线垂直
4．已知正六边形ABCDEF，则（）
A．B．C．D．
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则外接圆的面积为（）
A．B．C．D．
6．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔AB的高度是（）
A．70米B．80米C．90米D．100米
7．已知，则（）
A．B．C．D．
8．如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知为虚数单位，复数，，则（）
A．的共轭复数为B．
C．为实数D．在复平面内对应的点在第一象限
10．已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（）
A．如果，，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）
A．若，则
B．若，，，则只有一解
C．若，则为直角三角形
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则的值为________．
13．设复数，为虚数单位，且，若，则________．
14．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分15分）
根据要求完成下列问题：
（1）设两个非零向量，不共线，如果，，，证明A，B，D三点共线；
（2）设，是两个不共线的向量，，已知，，，若恒成立，求k的值．
17．（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，E，F分别为棱CD，的中点，G是棱上的一点，，H是棱AB上的一点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面．
18．（本小题满分17分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
19．（本小题满分17分）
在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正切值．
2023~2024学年度第二学期第二次月考·高一数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 本题考查纯虚数．，∵是纯虚数，∴．
2．C ，故选C．
3．D 若直线平面，则l与平面内的任意一条直线都垂直．
4．B 在正六边形ABCDEF中，．故选B．
5．B 设外接圆的半径为R，，解得，外接圆的面积为．故选B．
6．A 设塔AB的高度为h，在中，因为，所以；在中，因为，所以；在中，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍去）．故选A．
7．D ，则，则，故选D．
8．C 如图所示，作交于点G，作交于点H，连接HG，∵，，，∴平面平面，又∵P点是正方形内的动点，∴点P在线段HG上，即轨迹．
9．BD 因为的共轭复数为，所以A不正确；
因为，，所以B正确；
因为，所以C不正确；
因为，点的坐标在第一象限，所以D正确．
10．BCD 对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设为直线m，CD为直线n，四边形ABCD所在的平面为，四边形所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；
B正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则，由知，从而；
由平面与平面平行的定义知，如果，，那么，C正确；
由平行的传递性及线面角的定义知，如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等，D正确．故选BCD．
11．AD 对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确；
对于B选项，由，可知有两解，可知B选项错误；
对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误；
对于D选项，若为锐角三角形或直角三角形，有；若为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确．故选AD．
12． ∵，∴，∴．
13．由于，则，即，由于，则，因此，．
14．连接交于O点，作F点为的中点，连接OF，则与所成的角等于OF与所成的角，在中，，，，，．
15．解：（1）因为，，所以， 3分
所以， 6分
． 9分
（2）． 13分
16．（1）证明：∵，，∴， 3分
又∵，，∴， 6分
又∵，有公共点，∴A，B，D三点共线； 7分
（2）解：， 9分
又，若，
则，
即恒成立， 13分
∴，∴解得． 15分
17．证明：（1）分别取AB，的中点M，N，连接ME，，，NA，如图所示．
因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以．因为G是棱上的一点，，H是棱AB上的一点，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面． 3分
因为N是的中点，E是CD的中点，易得四边形是平行四边形，所以．又G是棱上的一点，，所以G是的中点，又F是的中点，所以，所以，又平面，平面，所以平面， 6分
又，平面HGF，所以平面平面； 8分
（2）连接AC，因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，
又E是CD的中点，所以， 10分
因为直四棱柱，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 12分
又，平面，所以平面， 14分
又平面，所以平面平面． 15分
18．解：（1）因为，由正弦定理得，所以， 3分
由余弦定理得， 5分
又，所以； 6分
（2）因为，所以．
因为D是线段AC的中点，所以，
所以， 9分
由正弦定理得，所以，，
所以， 12分
又为锐角三角形，所以，解得，所以， 15分
所以，所以，
所以，即BD的长的取值范围是． 17分
19．（1）证明：取PA的中点F，连接BF，EF，如图所示．
因为是等边三角形，F是PA的中点，所以． 2分
因为F是PA的中点，E是棱PD的中点，所以．
又四边形ABCD是矩形，所以，所以，又，所以, 4分
又,平面PAB，所以平面PAB， 6分
又C平面PAB，所以， 7分
又，平面BEF，所以平面BEF， 8分
又平面BEF，所以； 9分
（2）解：因为平面PAB，平面PAB，所以，
又，，平面PBA，所以平面PDA．
又平面PDA，所以． 12分
过F作AE的垂线，垂足为G，连接BG，如图所示．
因为，平面BFG，所以平面BFG，
又平面BFG，所以，所以二面角的大小为． 15分
在中，易得，在中，易得，所以． 17分