2023年广西壮族自治区百色市田东县中考数学一模试卷

这是一份2023年广西壮族自治区百色市田东县中考数学一模试卷，共24页。

A．﹣B．C．3D．﹣3
2．（3分）小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3B．（2m2）3＝6m6
C．m2•m3＝m6D．m4÷m2＝m2
4．（3分）已知关于x的不等式（2﹣a）x＞﹣3的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞2C．a＜0D．a＜2
5．（3分）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．xy＝﹣B．y＝5﹣xC．y＝D．y＝
6．（3分）三角形的两边长分别为4、9，则第三边长可能是（ ）
A．4B．5C．12D．13
7．（3分）下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
8．（3分）假设一个不透明的袋子里有四个球，它们分别标有数字3，4，5和y．这些球除了标号以外无其他区别．如果随机从袋中取出一个球，取出的球上的号码大于2的概率是1，那么y可能是以下哪个值（ ）
A．1B．2C．0D．8
9．（3分）已知点A（﹣2，﹣1），B（4，3），将线段AB平移得到线段CD，若点A对应点C在x轴上，点B的对应点D在y轴上，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣6，0）B．（﹣7，0）C．（6，0）D．（7，0）
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．若CD＝1，BD＝2，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点P在AD上，以P为圆心的扇形与边BC相切于点T，与正方形两边交于点E，F，若∠EPF＝60°，则弧EF的长度为（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）小明随意打开八下数学书，正好打开到88页，是 事件（填随机、必然或不可能）．
14．（2分）分解因式：a4﹣4＝ ．
15．（2分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，点A到边BC，CD的距离分别为AM、AN，且AM＝2，则∠MAN的度数为 ．
16．（2分）将一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．
17．（2分）一棵珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为 米．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，≈1.41）
18．（2分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则△ACD的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：（﹣3）4÷[2﹣（﹣7）]+6×（﹣1）．
20．（6分）解分式方程：＝3．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，边AB的垂直平分线DE交BC于点D．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线交BC于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAF的度数．
22．（10分）某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ；
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
23．（10分）阅读与思考
下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）补全解答过程；
（2）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系式是 ．
24．（10分）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5m/s的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．请根据图文信息解决下列问题：
（1）求甲的赛跑速度；
（2）在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？
（3）求P点与l之间的距离．
25．（10分）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
26．（10分）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN＝，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：C．
2．（3分）小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
B、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
C、本选项中小篆字不是轴对称图形，不符合题意；
D、本选项中小篆字是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．m2+2m＝3m3B．（2m2）3＝6m6
C．m2•m3＝m6D．m4÷m2＝m2
【解答】解：A、m2与2m不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、（2m2）3＝8m6，故本选项不合题意；
C、m2•m3＝m5，故本选项不合题意；
D、m4÷m2＝m2，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）已知关于x的不等式（2﹣a）x＞﹣3的解集为x＜，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞2C．a＜0D．a＜2
【解答】解：∵关于x的不等式（2﹣a）x＞﹣3的解集为x＜，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2．
故选：B．
5．（3分）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．xy＝﹣B．y＝5﹣xC．y＝D．y＝
【解答】解：A．∵xy＝﹣，
∴y＝﹣，即函数是反比例函数，故本选项不符合题意；
B．函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项符合题意；
C．函数是反比例函数，故本选项不符合题意；
D．函数是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（3分）三角形的两边长分别为4、9，则第三边长可能是（ ）
A．4B．5C．12D．13
【解答】解：设三角形第三边长是x，
∵三角形的两边长分别为4、9，
∴9﹣4＜x＜9+4，
∴5＜x＜13，
∴第三边长是12．
故选：C．
7．（3分）下列二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【解答】解：A、＝a、a与不是同类二次根式，所以不能合并，故A不符合题意；
B、＝，与是同类二次根式，可以合并，故B符合题意；
C、＝5、与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意．
故选：B．
8．（3分）假设一个不透明的袋子里有四个球，它们分别标有数字3，4，5和y．这些球除了标号以外无其他区别．如果随机从袋中取出一个球，取出的球上的号码大于2的概率是1，那么y可能是以下哪个值（ ）
A．1B．2C．0D．8
【解答】解：∵一个不透明的袋子里有四个球，它们分别标有数字3，4，5和y，随机从袋中取出一个球，取出的球上的号码大于2的概率是1，
∴y＞2，
故选：D．
9．（3分）已知点A（﹣2，﹣1），B（4，3），将线段AB平移得到线段CD，若点A对应点C在x轴上，点B的对应点D在y轴上，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣6，0）B．（﹣7，0）C．（6，0）D．（7，0）
【解答】解：∵点A（﹣2，﹣1），B（4，3），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C在x轴上，点B对应点D在y轴上，
∴点A的纵坐标加1，点B的横坐标减4，
∴点A的对应点C的坐标是（﹣2﹣4，﹣1+1），即（﹣6，0）．
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD．若CD＝1，BD＝2，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝2，
∴AD＝BD＝2，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝，
故选：B．
11．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点P在AD上，以P为圆心的扇形与边BC相切于点T，与正方形两边交于点E，F，若∠EPF＝60°，则弧EF的长度为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接PT，
∵以P为圆心的扇形与边BC相切于点T，
∴BC⊥PT，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠A＝∠B＝∠PTB＝90°，
∴四边形ABTP是矩形，
∴PT＝AB＝1，
∵∠EPF＝60°，
∴＝＝，
故选：A．
12．（3分）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵点B（﹣3，m），C（3，m），
∴B与C关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；
∵A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项D不符合题意．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）小明随意打开八下数学书，正好打开到88页，是 随机 事件（填随机、必然或不可能）．
【解答】解：任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是 随机事件，
故答案为：随机．
14．（2分）分解因式：a4﹣4＝ （a2+2）（a﹣）（a+） ．
【解答】解：a4﹣4＝（a2+2）（a2﹣2）
＝（a2+2）（a﹣）（a+）．
故答案为：（a2+2）（a﹣）（a+）．
15．（2分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，点A到边BC，CD的距离分别为AM、AN，且AM＝2，则∠MAN的度数为 60°或120° ．
【解答】解：如图1所示：
∵AN⊥DC，AM⊥CB，
∴∠DNA＝90°，∠AMB＝90°，
∵AB＝4，AM＝2，
∴sinB＝，
∴∠B＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAM＝∠DAN＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DAB＝120°，
∴∠MAN＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
如图2，过点A作AM⊥CB延长线于点M，过点A作AN⊥CD延长线于点N，
同理可得：∠MAB＝30°，∠BAD＝60°，∠NAD＝30°，
则∠MAN＝120°，
故答案为：60°或120°．图2
16．（2分）将一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为 130° ．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠2，
∵∠ABD＝∠1+∠M＝40°+90°＝130°，
∴∠2＝130°．
故答案为：130°．
17．（2分）一棵珍贵的百年老树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，做法如下：在地面上选取一点C，测得∠BCA＝37°，AC＝28米，∠BAC＝45°，则这棵树的高AB约为 16.9 米．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，≈1.41）
【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．
∴∠BHC＝90°，∠AHB＝90°，
在Rt△BCH中，
∵∠BCH＝37°，
∴CH＝≈＝＝，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABH＝90°﹣∠BAC＝45°，
∴∠ABH＝∠BAC，
∴AH＝BH，
∵AC＝28米，
∴BH+＝28，
∴BH＝12米，
∴AH＝12米．
∴AB＝＝12≈12×1.41＝16.92≈16.9（米），
故答案为16.9．
18．（2分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，则△ACD的面积为 ．
【解答】解：设OB＝a，⊙A的半径为r，
则AB＝AC＝r，BC＝2r，
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴BC⊥x轴，
∴点C的坐标为（a，2r），
∵点C在函数（x＞0）的图象上，
∴a×2r＝6，
∴ar＝3，
∴S△ACD＝AC•OB＝ar＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：（﹣3）4÷[2﹣（﹣7）]+6×（﹣1）．
【解答】解：原式＝
＝9﹣3
＝6．
20．（6分）解分式方程：＝3．
【解答】解：方程两边同时乘最简公分母x﹣2得，
x﹣1﹣1＝3（x﹣2），
解这个整式方程得，x＝2，
检验：把x＝2代入最简公分母x﹣2得，x﹣2＝2﹣2＝0，
∴x＝2是原方程的增根，原分式方程无解．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，边AB的垂直平分线DE交BC于点D．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线交BC于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAF的度数．
【解答】解：（1）如图，AF为所作；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝100°﹣30°＝70°，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠DAC＝35°．
22．（10分）某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 78.5 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 44% ；
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为 ＝78.5（分），
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ×100%＝44%，
故答案为：78.5；44%；
（2）不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩．
23．（10分）阅读与思考
下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）补全解答过程；
（2）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系式是 2AD+CD＝BD ．
【解答】解：（1）
AD+CD＝BD，
理由是：作MA⊥AD，AM交BD于M，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，
∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角，
∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中
，
∴△ABM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AD，BM＝CD，
∴△MAD是等腰直角三角形，
∴MD＝AD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD，
即AD+CD＝BD；
（2）
理由是：
作MA⊥AD，AM交BD于M，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC＝90°﹣∠MAC，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴BC＝2AC，AB＝AC，
∵∠ABM和∠ACD都是对的圆周角，
∴∠ABM＝∠ACD，
∵∠BAM＝∠DAC，
∴△ABM∽△ACD，
∴＝＝＝＝，
即AM＝AD，BM＝CD，
在Rt△MAD中，由勾股定理得：DM＝＝＝2AD，
∴BD＝BM+DM＝CD+2AD，
即2AD+CD＝BD，
故答案为：2AD+CD＝BD．
24．（10分）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5m/s的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．请根据图文信息解决下列问题：
（1）求甲的赛跑速度；
（2）在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？
（3）求P点与l之间的距离．
【解答】解：（1）依题意得：甲的赛跑速度为1.2×2.5＝3（m/s）；
（2）设甲用时为x秒，乙用时为y秒，
依题意得：，
解得：，
∵24＜26，
∴此次赛跑中乙获胜．
（3）由（2）可得点P到l的距离为（2.5×24）÷2＝30（米）．
25．（10分）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为（3，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4．
把（0，2.2）代入，得．
∴；
（2）把x＝5.5代入抛物线解析式，
得．
∵，
∴此球不能投中，小丽的判断是正确的．
（3）当y＝3.2时，，
解之，得x＝1或x＝5．
∵5＞3，
∴x＝1．
答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功．
26．（10分）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 12 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN＝，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是 8 ．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转的性质得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN＝＝＝10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，
解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
（2）证明：设BN＝m，DM＝n，
由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，
∵∠B＝90°，tan∠BAN＝，
∴tan∠BAN＝＝，
∴AB＝3BN＝3m，
∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2m）2+（3m﹣n）2＝（m+n）2，
整理得：3m＝2n，
∴CM＝2n﹣n＝n，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；
（3）解：延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，
设DM＝a，则MQ＝16﹣a，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴＝＝＝，
∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝16﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+a，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（16﹣a）2＝（+a）2，
解得：a＝8，
即DM的长是8；
故答案为：8．
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6
截长补短法
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系．所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…．
如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，AB＝
AC．请说明线段AD，BD，CD之间的数量关系．
下面是该问题的部分解答过程：
解：AD+CD＝BD．理由如下：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
如图2，过点A作AM⊥AD交BD于点M，
…．
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6
截长补短法
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系．所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…．
如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．BC是⊙O的直径，AB＝
AC．请说明线段AD，BD，CD之间的数量关系．
下面是该问题的部分解答过程：
解：AD+CD＝BD．理由如下：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
如图2，过点A作AM⊥AD交BD于点M，
…．