2024年山东省日照市东港区北京路中学九年级中考三模数学试题

这是一份2024年山东省日照市东港区北京路中学九年级中考三模数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级航天知识竞赛，政教处在七等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3B．﹣＝﹣0.6
C．＝±6D．＝
2．（3分）如图是一个正五棱柱的主视图和左视图，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5nm，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16nm．已知1nm＝10﹣9m，用科学记数法表示16nm是（ ）
A．16×10﹣9mB．1.6×10﹣9m
C．1.6×10﹣8mD．1.6×10﹣10m
4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线AB走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（ ）
A．一直不变B．逐渐变长
C．逐渐变短D．先变短后变长
6．（3分）《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出15元，则多了6元；如果每人出13元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且+＝4，则k的值是（ ）
A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．2D．﹣1
8．（3分）若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣18B．﹣17C．﹣6D．﹣2
10．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
11．（3分）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是（ ）
（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）
A．5.2mB．4.8mC．3.7mD．2.6m
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，M为CD上一点，连接AM与BD交于点N，点F在BC上，点E在AD上，连接EF交BD于点G，且AM⊥EF，垂足为H．若H为AM的中点，则下列结论：①AM＝EF；②＝；③GH＝FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：a2（a+b）﹣9（a+b）＝ ．
14．（3分）用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．
15．（3分）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（10分）（1）计算：|π﹣2|+（）﹣1﹣（﹣2024）0+•tan30°．
（2）先化简，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
18．（12分）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，我校举行了七、八年级航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x＜100）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99．
八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．绘制了不完整的统计图：
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上述表中a＝ ，b＝ ，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为 度；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
（3）如果该校七年级有500名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数．
（4）现从七年级选取两名同学到市里参加比赛，已知E组有2名女生，4名男生，求选到的两名同学恰好是一男一女的概率．
19．（12分）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
（1）求证：四边形ODCE是菱形；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
20．（12分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式为 ；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元/kg（0≤a≤6），且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？
21．（12分）探究与推理
如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连AC，点P为DC上的一个动点，点P从D点出发，以每秒4个单位的速度沿DC向终点C运动．过点P作AC的平行线交AD于点Q，将△PDQ沿PQ对折，点D落在点E处，连DE交PQ于点G，设运动的时间为t秒；
（1）用含有t的式子表示DG．
（2）当t为何值时，点E恰好落在线段AC上；
（3）如图2，在点P运动过程中，以PE为直径作⊙O，当t为何值时，⊙O与矩形的边相切？请说明理由．
22．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3B．﹣＝﹣0.6
C．＝±6D．＝
【解答】解：A.＝3，本选项错误；
B．﹣＝﹣0.6，本选项正确；
C.＝6，本选项错误；
D.＝﹣，本选项错误；
故选：B．
2．（3分）如图是一个正五棱柱的主视图和左视图，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：该几何体的俯视图．
故选：A．
3．（3分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5nm，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16nm．已知1nm＝10﹣9m，用科学记数法表示16nm是（ ）
A．16×10﹣9mB．1.6×10﹣9m
C．1.6×10﹣8mD．1.6×10﹣10m
【解答】解：∵1nm＝10﹣9m，
∴16nm＝16×10﹣9m＝1.6×10﹣8m，
故选：C．
4．（3分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
5．（3分）如图，在A，B两处树立两根相同高度的路灯．某人从A处出发，沿直线AB走到B处在整个行走过程中，他在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和（ ）
A．一直不变B．逐渐变长
C．逐渐变短D．先变短后变长
【解答】解：如图人的高度是MN，KL是人在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和，
∵MN∥AC，
∴△KML∽△KCA，
∴＝，
同理△LMN∽△LDB，
∴＝，
∵AC＝BD，
∴＝，
令＝k，
∴KN＝k•KA，LN＝k•LB，
∴KN+LN＝k（LB+KA），
∴KL＝k（AB+LK），
∴KL＝，
∵k，AB定值，
∴KL的值一直不变，
∴人在A，B两盏灯下形成的两段影子长度之和一直不变．
故选：A．
6．（3分）《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出15元，则多了6元；如果每人出13元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且+＝4，则k的值是（ ）
A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．2D．﹣1
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2k，x1•x2＝k2+k，
∵+＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4，
∴（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，
解得k＝2或k＝﹣1，
当k＝2时，一元二次方程为x2﹣4x+6＝0，此时Δ＝（﹣4）2﹣24＝﹣8＜0，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去；
当k＝﹣1时，一元二次方程为x2+2x＝0，此时Δ＝22＞0，符合题意；
∴k的值是﹣1；
故选：D．
8．（3分）若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵点B（﹣2，m），C（2，m），
∴B与C关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；
∵A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项D不符合题意．
故选：B．
9．（3分）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣18B．﹣17C．﹣6D．﹣2
【解答】解：两边同时乘以x﹣2，得
﹣（1+ax）﹣1＝3（x﹣1），
解得x＝，
∴是整数，且≠2，
当＝4时，解得a＝﹣2；
当＝1时，解得a＝1；
当＝﹣1时，解得a＝﹣7；
当＝﹣2时，解得a＝﹣5；
当＝﹣4时，解得a＝﹣4，
∴﹣2+1﹣7﹣5﹣4＝﹣17，
即满足条件的所有整数a的和为﹣17，
故选：B．
10．（3分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝8，
设OF＝x cm，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，
在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2
即：（8﹣x）2+42＝x2
解得：x＝5，
故选：B．
11．（3分）2024年1月23日，国内在建规模最大塔式光热项目——甘肃省阿克塞汇东新能源“光热+光伏”试点项目，一万多面定日镜（如图1）全部安装完成．该项目建成后，年发电量将达17亿千瓦时．该项目采用塔式聚光热技术，使用国内首创的五边形巨蜥式定日镜，单块定日镜（如图2）的形状可近似看作正五边形，面积约为48m2，则该正五边形的边长大约是（ ）
（结果保留一位小数，参考数据：tan36°≈0.7，tan54°≈1.4，≈6.5，≈4.6）
A．5.2mB．4.8mC．3.7mD．2.6m
【解答】解：如图：设正五边形的中心为O，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠AOB＝＝72°，△AOB的面积＝正五边形的面积＝m2，
∵OA＝OB，OF⊥AB，
∴∠AOF＝∠AOB＝36°，AB＝2AF，
设OF＝x m，
在Rt△OAF中，AF＝OF•tan36°≈0.7x（m），
∴AB＝2AF＝1.4x（m），
∴AB•OF＝，
•1.4x•x＝，
解得：x≈3.71，
∴AB＝1.4x≈5.2（m），
∴该正五边形的边长大约是5.2m，
故选：A．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，M为CD上一点，连接AM与BD交于点N，点F在BC上，点E在AD上，连接EF交BD于点G，且AM⊥EF，垂足为H．若H为AM的中点，则下列结论：①AM＝EF；②＝；③GH＝FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图，过点F作FK⊥AD于点K，
∴∠FKA＝∠FKE＝90°，
∵在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABFK是矩形，
∴FK＝BA，
∵在正方形ABCD中，AB＝AD，
∴FK＝AD，
∵AM⊥EF，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∵∠AMD+∠MAD＝180°−∠ADM＝90°，
∴∠FEK＝∠AMD，
∵∠FKE＝∠ADM＝90°，
∴△FKE≌△ADM（AAS），
∴FE＝AM；故①正确；
如图，若点M是CD的中点，则＝1，
设正方形ABCD的边长为2a，即AD＝CD＝2a，
∴DM＝CD＝a，
在Rt△ADM中，AM＝＝a，
∵点H是AM的中点，
∴AH＝AM＝a，
∵△ADM≌△FKE，
∴KE＝DM＝a，
∵∠AHE＝∠ADM＝90°，∠EAH＝∠MAD，
∴△AHE∽△ADM，
∴＝，即＝，
∴DE＝AD−AE＝2a−a＝a，
AK＝AE−DM＝a−a＝a，
∴在矩形ABFK中，BF＝AK＝a，
∵在正方形ABCD中，BC∥AD，
∴△BFG∽△DEG，
∴＝＝＝，
∴≠，故②错误；
过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q，
∴∠MPH＝∠AEH，∠PMH＝∠EAH，
∵点H是AM的中点，
∴MH＝AH，
∴△MPH≌△AEH（AAS），
∴PH＝EH，MP＝AE，
∵在正方形ABCD中，BD平分∠ADC，
∴∠BDC＝∠ADC＝×90°＝45°，
∵PM∥AD，
∴∠QMD＝180°−∠ADC＝180°−90°＝90°，
∴∠MQD＝90°−∠MDQ＝90°−45°＝45°，
∴∠MQD＝∠MDQ，
∴MQ＝MD，
由①知，△FKE≌△ADM（AAS），
∴KE＝DM，
∴MQ＝KE，
∴PM−QM＝AE−KE，即PQ＝AK，
由①得，四边形ABFK是矩形，
∴BF＝AK，
∴BF＝PQ，
∵BC∥AD，MP∥AD，
∴BC∥PM，
∴∠GBF＝∠GQP，∠BFG＝∠QPG，
∴△BFG≌△QPG（ASA），
∴FG＝PG，
∴FG+EH＝PG+PH＝HG，故③正确；
对于④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH＝∠GNH，
∵∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∵∠BAH+∠EAH＝∠BAD＝90°，
∴∠BAN＝∠BNA，
∴BN＝BA，
∵AB是定值，BN随着点M的变化而变化，
∴BN＝BA不成立，
∴△BFG∽△DEG不成立．故④错误．
综上所述，结论正确的有2个．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）因式分解：a2（a+b）﹣9（a+b）＝ （a+b）（a+3）（a﹣3） ．
【解答】解：a2（a+b）﹣9（a+b）
＝（a+b）（a2﹣9）
＝（a+b）（a+3）（a﹣3）．
故答案为：（a+b）（a+3）（a﹣3）．
14．（3分）用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 3 ．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r．
由题意，2πr＝，
∴r＝3，
故答案为：3．
15．（3分）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 C12H26 ．
【解答】解：由图可得，
甲烷的化学式中的C有1个，H有2+2×1＝4（个），
乙烷的化学式中的C有2个，H有2+2×2＝6（个），
丙烷的化学式中的C有3个，H有2+2×3＝8（个），
…，
∴十二烷的化学式中的C有12个，H有2+2×12＝26（个），
即十二烷的化学式为C12H26，
故答案为：C12H26．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 6 ．
【解答】解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，
设点B（m，n），k＝mn，
则BN∥AD，则△CNB∽△CDA，
则，即，
即AD＝3m，
则k＝mn＝3m•yA，则yA＝n，
则点A（3m，n），则点D（0，n），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝x+n，
则点E（﹣m，0）；
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣（x﹣m）+n，
则点C（0，），则CD＝n，
∵△BCE的面积＝S△CDB+S△CDE＝CD•（xB﹣xE）＝n×（m+m）＝4.5，
则mn＝6＝k，
故答案为：6．
三、解答题（共72分）
17．（10分）（1）计算：|π﹣2|+（）﹣1﹣（﹣2024）0+•tan30°．
（2）先化简，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【解答】解：（1）原式＝π﹣2+2﹣1+×
＝π﹣2+2﹣1+1
＝π；
（2）原式＝•
＝•
＝•
＝，
不等式﹣2＜a＜3的整数解为﹣1、0、1、2，
∵a+1≠0且a﹣1≠0，
∴当a＝0时，原式＝＝﹣1；
当a＝2时，原式＝＝1．
18．（12分）2024年4月24日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，我校举行了七、八年级航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x＜100）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99．
八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．绘制了不完整的统计图：
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上述表中a＝ 79.5 ，b＝ 89 ，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为 54 度；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
（3）如果该校七年级有500名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数．
（4）现从七年级选取两名同学到市里参加比赛，已知E组有2名女生，4名男生，求选到的两名同学恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）八年级学生竞赛成绩在A组和B组的人数共有20×10%+20×10%＝4（人），
将八年级学生竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为76，83，
∴a＝（76+83）＝79.5．
由七年级学生竞赛成绩可得，b＝89．
八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为360°×＝54°．
故答案为：79.5；89；54．
（2）七年级学生成绩好．
理由：七年级学生成的平均数高于八年级学生成的平均数，
∴七年级学生成绩好．
（3）500×＝150（人）．
∴估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约150人．
（4）列表如下：
共有30种等可能的结果，其中选到的两名同学恰好是一男一女的结果有16种，
∴选到的两名同学恰好是一男一女的概率为＝．
19．（12分）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
（1）求证：四边形ODCE是菱形；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵⊙O和底边AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，OC＝OE，
∴△ODC和△OCE都是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC，OC＝OE＝CE，
∴OD＝CD＝CE＝OE，
∴四边形ODCE是菱形；
（2）解：连接DE交OC于点F，
∵四边形ODCE是菱形，
∴OF＝OC＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°，
在Rt△ODF中，OD＝2，
∴DF＝＝＝，
∴DE＝2DF＝2，
∴图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积﹣菱形ODCE的面积
＝﹣OC•DE
＝﹣×2×2
＝﹣2，
∴图中阴影部分的面积为﹣2．
20．（12分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式为 y＝﹣x+55 ；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元/kg（0≤a≤6），且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？
【解答】解：（1）由题意，∵当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，
∴可设函数为y＝kx+b．
∴．
∴．
∴一次函数关系式为y＝﹣x+55．
故答案为：y＝﹣x+55．
（2）由题意，当1≤x≤30时，w＝（40﹣18）（5x+50）＝110x+1100．
∵110＞0，
∴w随x增大而增大．
∴x＝30时，w取最大值＝4400（元）．
当31≤x≤50时，．
∵﹣2.5＜0，对称轴 x＝32，
∴当x＝32时，W甲ax＝4410 （元）．
∵4410＞4400，
∴x＝32时，利润取最大值，最大利润为4410元．
（3）由题意得，
＝﹣x2+（160+5a）x+1850+50a．
又 ，对称轴 x＝32+a，且x取整数，
∴32+a＞34.5，a＞2.5．
又∵0≤a≤6，
∴2.5＜a≤6．
21．（12分）探究与推理
如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，连AC，点P为DC上的一个动点，点P从D点出发，以每秒4个单位的速度沿DC向终点C运动．过点P作AC的平行线交AD于点Q，将△PDQ沿PQ对折，点D落在点E处，连DE交PQ于点G，设运动的时间为t秒；
（1）用含有t的式子表示DG．
（2）当t为何值时，点E恰好落在线段AC上；
（3）如图2，在点P运动过程中，以PE为直径作⊙O，当t为何值时，⊙O与矩形的边相切？请说明理由．
【解答】解：（1）依题可知PD＝4t，由折叠可知PQ⊥ED．
在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝CD＝8，BC＝AD＝6，
∴，
∴，
又∵PQ∥AC，
∴∠ACD＝∠GPD，
∴．
∴，
（2）由折叠可知PQ垂直平分ED，
∴，
∴，
∵点E恰好落在线段AC上，
∴，
∴，
∴t＝1；
（3）当或时，⊙O与矩形的边相切，理由如下：
连接OG，
依题可知，O为EP的中点，G为ED的中点，PQ⊥ED，PD＝PE＝4t，即半径为2t，
∴OG∥PD，
在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
又∵PQ∥AC，PQ⊥ED，∠ADC＝90°，
∴∠PDG＝∠CAD＝∠PQD，
∴，，
①当⊙O与边BC相切于F时，如图①所示，
连接OF，
∴OF⊥BC，
又∵∠BCD＝90°，
∴G、O、F三点共线，
过G作GH⊥CD于H，
∴四边形FCHG为矩形，
∴CH＝FG＝PE＝4t，
∴，
∴解得；
②当⊙O与边AB相切于M时，如图②所示．
连接MO，并延长MO交CD于N，
∴MN⊥AB，OM＝2t，
∴四边形BCNM为矩形，
∴MN＝6，MN⊥CD，
又∵OG∥PD，MN⊥AB，
∴四边形ONHG为矩形，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或．
22．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵点M在y轴负半轴且OM＝2，
∴M（0，﹣2），
将A（0，2），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E，
设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
将A（0，2），C（4，0）代入y＝kx+m，得，
解得，
∴直线AC的解析式为，
设点P的横坐标为p（0＜p＜4），
则，，
∴，
∵S△ACM＝8，
∴，
解得p1＝p2＝2，
∴P（2，5）；
（3），，
∵在△COM中，∠COM＝90°，以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵QD⊥x轴，直线QD交直线CM于点N，
∴∠CNQ≠90°，即点N不与点O是对应点．
故分为∠CQN＝90°和∠QCN＝90°两种情况讨论：
①当∠CQN＝90°时，由于QN⊥x轴，
∴CQ⊥y轴，即CQ在x轴上，
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：
此时∠CQN＝∠COM＝90°，
又∵∠QCN＝∠OCM
∴△CQN∽△COM，即此时符合题意，
令，
解得：（舍去）
∴点Q的坐标，也即点B的坐标是．
②当∠QCN＝90°时，作图如下：
∵QD⊥x轴，∠COM＝90°
∴QD∥OM，
∴∠CNQ＝∠OMC，
∵∠CNQ＝∠OMC，∠QCN＝∠COM＝90°，
∴△QCN∽△COM，即此时符合题意，
∵△QCN∽△COM，
∴∠CQN＝∠OCM，即∠DQC＝∠OCM
∵∠DQC＝∠OCM，∠QDC＝∠COM，
∴△QDC∽△COM，
∴，QD＝2DC，
设点Q的横坐标为q，则，D（q，0），
∴，CD＝4﹣q，
∴，
解得：（舍去），
∴，
∴点Q的坐标是，
综上所述：点Q的坐标是，．年级
平均数
中位数
众数
七年级
85
88.5
b
八年级
81.8
a
74
年级
平均数
中位数
众数
七年级
85
88.5
b
八年级
81.8
a
74
女
女
男
男
男
男
女
（女，女）
（女，男）
（女，男）
（女，男）
（女，男）
女
（女，女）
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男
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（男，男）
（男，男）
（男，男）