2024年浙江省杭州市西湖区中考数学三模试卷

这是一份2024年浙江省杭州市西湖区中考数学三模试卷，共25页。
A．14B．C．D．1
2．（3分）神舟十八号载人飞船于2024年4月25日成功发射，经过大约6.5个小时的飞行，成功与距离地球400000米的中国空间站组合体完成了自主交会对接．数据“400000米”用科学记数法表示为（ ）
A．400×103米B．4×104米C．4×105米D．4×106米
3．（3分）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，则摸到的球是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%．据此情境，可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，已知点E为正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形，连结ED，EC，则∠DEC的度数为（ ）
A．120°B．150°C．108°D．135°
6．（3分）方程x2+2x﹣m＝0的一个根为2，则另一个根为（ ）
A．3B．4C．﹣3D．﹣4
7．（3分）如图，在▱ABCD中，，∠DAB，∠ABC的平分线分别交CD于点E，F，AE与BF交于点G．若DF＝3，EF＝2，AG＝kGE，则k＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（3分）如图，正比例函数y＝mx（m≠0，m为常数）图象与反比例函数y＝（k≠0，k为常数）图象交于A，B两点，AH⊥x轴于点H，连接BH交y轴于点G，若S△OGB＝3，则k的值为（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣9D．﹣12
9．（3分）一组数据：2，3，4，x，y的平均数是3，方差是0.8，则xy＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（3分）已知二次函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣3）（m为常数）图象上两个不同的点A（x1，p），B（x2，q），且x1＜x2．有以下四个结论：①该二次函数图象与x轴一定有两个不同的交点；②若一次函数y2＝kx+b（k≠0）经过点A，B，则当x1＜x＜x2时，总有y1＜y2；③当p＝q时，x1+x2＝3；④当p＜q时，x1+x2＜3；以上结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）写出一个能使有意义的x的值 ．
12．（3分）因式分解：a2﹣9＝ ．
13．（3分）已知ab≠0，若5ab＝a+b，则＝ ．
14．（3分）如图，直线AB交⊙O于C，B两点，若AO⊥BO，且，则BC＝ ．
15．（3分）如图，点B位于点A的北偏东60°相距2km处，点D在点B的正北方向，且在点A的东北方向，则点D到点A的距离为 km．
16．（3分）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”．
（1）如图1，夹在直线AE与BH之间的矩形ABCD与曲边形EFGH满足：AB＝4，AD＝1．一平行于AD的直线MN交矩形ABCD于M，N，交曲边形EFGH的曲边于M′，N′，且无论MN在何位置都有M′N′＝MN，则曲边形EFGH的面积为 ．
（2）如图2，记函数y1＝x2+x﹣1，y2＝x2﹣x+1，y3＝x2﹣2x+5的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）（1）计算：|﹣3|×（﹣2）2﹣23；
（2）化简：（x﹣1）2﹣x2+2x．
18．（6分）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．通过简单随机抽样调查了500个家庭去年的月均用水量（单位：t），并把收集的数据进行整理，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
家庭月均用水量的频数表
（1）求a的值．
（2）把频数分布直方图补充完整．
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭用水量应该定为多少？请说明理由．
19．（8分）如图1，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D在一条直线上，已知OA＝9m，AB＝5m，CB＝1.5m．
（1）求女孩的影子BD的长．
（2）若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14）
20．（8分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k1≠0，k1，b为常数）的图象与反比例函数y＝（k2≠0，k为常数）的图象交于点A（2，1），点B（﹣1，n），且与x轴交于点C．
（1）求一次函数表达式和点C的坐标．
（2）已知点D（a，y1），点E（a，y2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，若y1＞y2，请直接写出a的取值范围．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝FE＝ED，顺次连接AF，FC，CE，EA．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AF⊥AD，∠DBC＝15°，求∠AFC的度数．
22．（10分）在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（1，0）．
（1）若A（0，0），求该二次函数的最小值．
（2）求证：OA＝OC．
（3）若点A位于点O，B之间，求证：﹣3＜2b+c＜﹣2．
23．（12分）综合与实践
【问题情境】
（1）如图1，在9×9的方格纸中，每个小方格的边长为1．△ABC为格点三角形（顶点都在格点上），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A与点D对应，点C与点E对应．
①请在方格纸中按要求画出△ABC经过旋转后的图形．
②求点C旋转到点E所经过的路程．（结果保留π）
【深入探究】
（2）如图2，△ABC中，点C在AB右侧，∠C＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接AD．已知＝k（0＜k＜1）．求tan∠CAD的值．（用含有k的代数式表示）
24．（12分）如图1，锐角三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为劣弧BC的中点，点D在劣弧AC上（不与点A，C重合），连接AD并延长，与BC延长线交于点F，连接DE，与AC交于点M，与BC交于点N．
（1）求证：DE⊥AF．
（2）若⊙O的半径为5，AD＝DF＝6，求线段BC的长．
（3）如图2，连接CD，若CD⊥BC，AD：DF＝1：3，求△ABF的面积与⊙O的面积之比．
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）﹣14的相反数是（ ）
A．14B．C．D．1
【解答】解：﹣14的相反数是14，
故选：A．
2．（3分）神舟十八号载人飞船于2024年4月25日成功发射，经过大约6.5个小时的飞行，成功与距离地球400000米的中国空间站组合体完成了自主交会对接．数据“400000米”用科学记数法表示为（ ）
A．400×103米B．4×104米C．4×105米D．4×106米
【解答】解：400000米＝4×105米，
故选：C．
3．（3分）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，则摸到的球是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，共4个球，
∴从中随机摸出一个球，摸到的球是白球的概率为．
故选：B．
4．（3分）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%．据此情境，可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，
∴，
故选：A．
5．（3分）如图，已知点E为正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形，连结ED，EC，则∠DEC的度数为（ ）
A．120°B．150°C．108°D．135°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠BEA＝∠BAE＝60°，
∴BC＝BE，AD＝AE，∠CBE＝∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BEC＝∠BCE＝＝75°，
同理∠AED＝75°，
∴∠DEC＝360°﹣∠BEC﹣∠BEA﹣∠AED＝360°﹣75°﹣60°﹣75°＝150°，
故选：B．
6．（3分）方程x2+2x﹣m＝0的一个根为2，则另一个根为（ ）
A．3B．4C．﹣3D．﹣4
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝﹣2，
解得t＝﹣4，
即方程的另一个根为﹣4．
故选：D．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，，∠DAB，∠ABC的平分线分别交CD于点E，F，AE与BF交于点G．若DF＝3，EF＝2，AG＝kGE，则k＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，∠CFB＝∠ABF，
∵AE是∠DAB的平分线、BF是∠ABC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，
∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠CBF，
∴AD＝DE，BC＝CF，
∴DE＝CF＝DF+EF＝3+2＝5，
∴AB＝CD＝DE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△EFG，
∴＝＝＝4，
∴AG＝4GE，
∴k＝4，
故选C．
8．（3分）如图，正比例函数y＝mx（m≠0，m为常数）图象与反比例函数y＝（k≠0，k为常数）图象交于A，B两点，AH⊥x轴于点H，连接BH交y轴于点G，若S△OGB＝3，则k的值为（ ）
A．﹣3B．﹣6C．﹣9D．﹣12
【解答】解：∵正比例函数y＝mx（m≠0，m为常数）图象与反比例函数y＝（k≠0，k为常数）图象交于A，B两点，
∴AO＝BO，
∴S△OBG＝S△OHG＝S△OHB＝3，
∴S△OHB＝6，
∴丨k丨＝12，
∵反比例函数图象上在第二象限，
∴k＝﹣12．
故选：D．
9．（3分）一组数据：2，3，4，x，y的平均数是3，方差是0.8，则xy＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵数据：2，3，4，x，y的平均数是3，
∴×（2+3+4+x+y）＝3，
∴x+y＝6，
∵数据：2，3，4，x，y的方差是0.8，
∴×[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（x﹣3）2+（y﹣3）2]＝0.8，
∴（x﹣3）2+（y﹣3）2＝2，
∴（x﹣3+y﹣3）2﹣2（x﹣3）（y﹣3）＝2，
∴﹣2（xy﹣3x﹣3y+9）＝2，
∴﹣2（xy﹣3×6+9）＝2，
∴xy＝8．
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣3）（m为常数）图象上两个不同的点A（x1，p），B（x2，q），且x1＜x2．有以下四个结论：①该二次函数图象与x轴一定有两个不同的交点；②若一次函数y2＝kx+b（k≠0）经过点A，B，则当x1＜x＜x2时，总有y1＜y2；③当p＝q时，x1+x2＝3；④当p＜q时，x1+x2＜3；以上结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【解答】解：由题意，∵二次函数为y1＝（x+m）（x﹣m﹣3），
∴令y1＝0，故0＝（x+m）（x﹣m﹣3）．
∴x＝﹣m或x＝m+3．
当﹣m＝m+3时，
∴m＝﹣，即当m＝﹣时，二次函数图象与x轴仅有一个交点，故①错误．
∵一次函数y2＝kx+b（k≠0）经过点A，B，且A（x1，p），B（x2，q），且x1＜x2，
∴当x1＜x＜x2时，总有y1＜y2，故②正确．
由题意，当p＝q时，对称轴是直线x＝﹣＝＝＝，
∴x1+x2＝3，故③正确．
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小．
又x1＜x2时，p＜q，
∴≤x1＜x2或x1＜＜x2．
①当≤x1＜x2时，
∴x1+x2＞+＝3．
②当x1＜＜x2时，
∵抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
又p＜q，
∴﹣x1＜x2﹣．
∴x1+x2＞3．
综上，x1+x2＞3，故④错误．
故选：B．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）写出一个能使有意义的x的值 2 ．
【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，
即x≥1，
则x的值可以是大于等于1的任意实数．
故答案为：2．
12．（3分）因式分解：a2﹣9＝ （a+3）（a﹣3） ．
【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．
13．（3分）已知ab≠0，若5ab＝a+b，则＝ 5 ．
【解答】解：＝，
∵ab≠0，5ab＝a+b，
∴原式＝＝5．
故答案为：5．
14．（3分）如图，直线AB交⊙O于C，B两点，若AO⊥BO，且，则BC＝ ．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝BC，∠BDO＝90°，
∴∠B+∠BOD＝90°，
∵＝＝1，
∴AO＝4，BO＝3，
∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∴∠A+B＝90°，AB＝＝5，
∴∠A＝∠BOD，
又∵∠AOB＝∠BDO，
∴△AOB∽△ODB，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，点B位于点A的北偏东60°相距2km处，点D在点B的正北方向，且在点A的东北方向，则点D到点A的距离为 km．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
由题意知AB＝BC＝2km，∠BAE＝60°，∠DAH＝45°，
∴∠ADH＝45°＝∠DAH，
∴DH＝AH，
∵BC∥AE，
∴∠ABH＝∠BAE＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝1，
在Rt△ABH中，
AH＝＝＝，
∴DH＝，
在Rt△ABH中，
AD＝＝．
故答案为：．
16．（3分）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”．
（1）如图1，夹在直线AE与BH之间的矩形ABCD与曲边形EFGH满足：AB＝4，AD＝1．一平行于AD的直线MN交矩形ABCD于M，N，交曲边形EFGH的曲边于M′，N′，且无论MN在何位置都有M′N′＝MN，则曲边形EFGH的面积为 4 ．
（2）如图2，记函数y1＝x2+x﹣1，y2＝x2﹣x+1，y3＝x2﹣2x+5的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 3 ．
【解答】解：（1）∵祖暅原理，
∴曲变形EFGH的面积＝矩形ABCD的面积，
∴曲变形EFGH的面积＝AB×AD＝4，
故答案为：4；
（2）联立函数，求得点A（1，1），B（2，5），C（4，13），
∵yAB﹣yAH＝y1﹣y2＝2x﹣2，yBC﹣yHC＝y3﹣y2＝﹣x+4，
yEF﹣yEM＝2x﹣2，yFG﹣yMG＝﹣x+4，
∴SABH＝S△EFM，SBHC＝S△FMG，
当x＝1时，yAB﹣yAH＝0，
当x＝2时，yAB﹣yAH＝2，
当x＝4时，yBC﹣yHC＝0，
∴，
故答案为：3．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）（1）计算：|﹣3|×（﹣2）2﹣23；
（2）化简：（x﹣1）2﹣x2+2x．
【解答】解：（1）|﹣3|×（﹣2）2﹣23
＝3×4﹣8
＝12﹣8
＝4；
（2）（x﹣1）2﹣x2+2x
＝x2﹣2x+1﹣x2+2x
＝1．
18．（6分）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．通过简单随机抽样调查了500个家庭去年的月均用水量（单位：t），并把收集的数据进行整理，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．
家庭月均用水量的频数表
（1）求a的值．
（2）把频数分布直方图补充完整．
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭用水量应该定为多少？请说明理由．
【解答】解：（1）a＝500﹣（40+120+90+60+30+20）＝140；
（2）补充频数分布直方图如下：
（3）要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，
理由如下：因为月平均用水量不超过5吨的百分比为×100%＝60%．
19．（8分）如图1，广场上有一盏高为9m的路灯AO，把灯O看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离路灯5m的点B处．图2为示意图，其中AO⊥AD于点A，CB⊥AD于点B，点O，C，D在一条直线上，已知OA＝9m，AB＝5m，CB＝1.5m．
（1）求女孩的影子BD的长．
（2）若女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（π取3.14）
【解答】解：（1）∵BC⊥AD，AO⊥AD，
∴BC∥AO，
∴△BDC∽△ADO，
∴，
∴，
∴BD＝1，
答：女孩的影子BD的长为1米；
（2）∵女孩以5m为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），
∴人影扫过的图形的面积62π﹣52π＝11π．
20．（8分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k1≠0，k1，b为常数）的图象与反比例函数y＝（k2≠0，k为常数）的图象交于点A（2，1），点B（﹣1，n），且与x轴交于点C．
（1）求一次函数表达式和点C的坐标．
（2）已知点D（a，y1），点E（a，y2）分别是一次函数和反比例函数图象上的点，若y1＞y2，请直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k1≠0，k1，b为常数）的图象与反比例函数y＝（k2≠0，k为常数）的图象交于点A（2，1），点B（﹣1，n），
∴k2＝2×1＝﹣1×n，
∴k2＝2，n＝﹣2，
∴A（2，1）．B（﹣1，﹣2），
A（2，1）．B（﹣1，﹣2）在一次函数y＝kx+b图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1，
令y＝0，则x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
（2）由函数图象可知，y1＞y2时，a的取值范围为：a＞2或﹣1＜x＜0．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝FE＝ED，顺次连接AF，FC，CE，EA．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AF⊥AD，∠DBC＝15°，求∠AFC的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴∠FAE+∠AFC＝180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADF＝15°，
∵AF⊥AD，∠DBC＝15°，
∴∠AFD＝90°﹣15°＝75°，
∵FE＝ED，
∴AE＝EF，
∴∠FAE＝∠AFE＝75°，
∴∠AFC＝180°﹣75°＝105°．
22．（10分）在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（1，0）．
（1）若A（0，0），求该二次函数的最小值．
（2）求证：OA＝OC．
（3）若点A位于点O，B之间，求证：﹣3＜2b+c＜﹣2．
【解答】（1）解：将A（0，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
∴c＝0，b＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，
∵y＝（x﹣）2﹣，
∴函数的最小值为﹣；
（2）证明：将B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
∴1+b+c＝0，
∴c＝﹣1﹣b，
当y＝0时，x2+bx﹣1﹣b＝0，
解得x＝1或x＝﹣1﹣b，
∴A（﹣1﹣b，0），
∴OA＝|﹣1﹣b|，
当x＝0时，y＝﹣1﹣b，
∴C（0，﹣1﹣b），
∴OC＝|﹣1﹣b|，
∴OA＝OC；
（3）证明：∵点A位于点O，B之间，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴＜﹣＜1，
∴﹣2＜b＜﹣1，
∵c＝﹣1﹣b，
∴2b+c＝b﹣1，
∴﹣3＜b﹣1＜﹣2，
∴﹣3＜2b+c＜﹣2．
23．（12分）综合与实践
【问题情境】
（1）如图1，在9×9的方格纸中，每个小方格的边长为1．△ABC为格点三角形（顶点都在格点上），将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点A与点D对应，点C与点E对应．
①请在方格纸中按要求画出△ABC经过旋转后的图形．
②求点C旋转到点E所经过的路程．（结果保留π）
【深入探究】
（2）如图2，△ABC中，点C在AB右侧，∠C＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，连接AD．已知＝k（0＜k＜1）．求tan∠CAD的值．（用含有k的代数式表示）
【解答】解：（1）①如图1，△DBE即为所求；
②∵BC＝＝2，∠CBE＝90°，
∴点C旋转到点E所经过的路程＝＝5π；
（2）如图2，延长BC交AD于E，过E作EF⊥BD于F，
∵∠C＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，
∴∠ABD＝90°，AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DF，
∵∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝90°，
∴∠BAC＝∠EBF，
∵tan∠BAC＝tan∠EBF，
∴＝k，
∴设BF＝x，EF＝kx，
∴DF＝kx，
∴AB＝BD＝（k+1）x，BE＝x，
∵∠BAC＝∠EBF，∠ACB＝∠BFE＝90°，
∴△ABC∽△BEF，
∴，
∴＝＝，
∴AC＝，BC＝，
∴CE＝BE﹣BC＝x，
∴tan∠CAD＝＝＝．
24．（12分）如图1，锐角三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E为劣弧BC的中点，点D在劣弧AC上（不与点A，C重合），连接AD并延长，与BC延长线交于点F，连接DE，与AC交于点M，与BC交于点N．
（1）求证：DE⊥AF．
（2）若⊙O的半径为5，AD＝DF＝6，求线段BC的长．
（3）如图2，连接CD，若CD⊥BC，AD：DF＝1：3，求△ABF的面积与⊙O的面积之比．
【解答】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB＝AC，
∴，
∵点E为劣弧BC的中点，
∴AE过点圆心O，
∴AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∴DE⊥AF；
（2）解：如图，连接OC，EF，设AE交BC于H，
∵⊙O的半径为5，
∴AE＝10，
∵AD＝DF＝6，
∴AF＝12，
在Rt△ADE中，DE＝＝8，
∵ED垂直平分AF，
∴EA＝EF＝10，
∵点E为劣弧BC的中点，
∴AE⊥BC，
在Rt△AHF中，HF2＝AF2﹣AH2，
在Rt△EHF中，HF2＝EF2﹣EH2，
∴AF2﹣AH2＝EF2﹣EH2，即122﹣（10﹣HE）2＝102﹣HE2，
∴HE＝，
∴OH＝OE﹣EH＝，
在Rt△OHC中，HC＝＝，
∴BC＝2HC＝；
（3）解：如图，连接BD，
设AD为单位1，
∵AD：DF＝1：3，
∴DF＝3，AF＝4，∵
∠BCD＝90°，
∴BD为圆的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠F+∠ABC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠F，
∵，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠F，
∵∠BAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△AFB，
∴AD：AB＝AB：AF，即1：AB＝AB：4，
∴AB＝2，
∴BD＝＝，
∴OB＝，
∵S△ABF＝AB•AF＝4，S圆＝πr2＝，
∴△ABF的面积与⊙O的面积之比为4：＝16：5π．月均用水量（单位：t）
频数
2～3
40
3～4
120
4～5
a
5～6
90
6～7
60
7～8
30
8～9
20
月均用水量（单位：t）
频数
2～3
40
3～4
120
4～5
a
5～6
90
6～7
60
7～8
30
8～9
20