八年级下册数学 专题10 分式与分式方程压轴分类汇总（原卷版+解析版）

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题型五：分式方程的应用问题
题型一：分式方程的无解（增根）问题
1．（2024春•岳麓区校级月考）若分式方程无解，则实数a的取值是（ ）
A．0或2B．4C．8D．4或8
【答案】D
【解答】解：去分母，得3x﹣a+x＝2（x﹣2），
去括号、移项、合并同类项，得2x＝a﹣4，
两边同时除以2，得x＝．
若原分式方程无解，则x2﹣2x＝0或x﹣2＝0或x＝0，
解得x＝0或2．
当x＝0时，＝0，解得a＝4；
当x＝2时，＝2，解得a＝8．
∴a＝4或8．
故选：D．
2．（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．1或5D．5
【答案】B
【解答】解：+＝1，
方程两边同时乘以x﹣5得，
2﹣（a+1）＝x﹣5，
去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，
解得x＝6﹣a，
∵原分式方程无解，
∴x＝5，
∴m＝1，
故选：B．
3．（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（ ）
A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5
【答案】B
【解答】解：，
去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），
∴（5+k）x＝3+k，
∵关于x的分式方程无解，
∴分两种情况：
当5+k＝0时，k＝﹣5，
当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，
当x＝0时，0＝3+k，
∴k＝﹣3，
当x＝1时，5+k＝3+k，
∴k不存在，故不符合题意，
综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．
故选：B．
4．（2023秋•民权县期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
【答案】D
【解答】解：方程两边都乘（x﹣4），
得3＝（x﹣4）+（x+m），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣4＝0，
解得x＝4，
当x＝4时，m＝﹣1，
故m的值是﹣1．
故选：D．
5．（2024春•东坡区期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1.5B．﹣6C．1或﹣2D．1.5或﹣6
【答案】D
【解答】解：，
去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1．
去括号，得2x+4+mx＝x﹣1．
移项，得2x+mx﹣x＝﹣1﹣4．
合并同类项，得（m+1）x＝﹣5．
x的系数化为1，得x＝﹣．
∵关于x的分式方程有增根，
∴或﹣2．
∴m＝﹣6或1.5．
故选：D．
6．（2024•开州区开学）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．6B．8C．13D．15
【答案】B
【解答】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组无解，
∴a＞﹣2，
分式方程，
去分母得：ay﹣7＝y﹣1，
解得：，
由分式方程解为整数，且y≠1，
∴a﹣1＝±1，±2，±3，﹣6，
∴a可取的值为0，2，3，﹣1，4，﹣2，﹣5，
∵a＞﹣2，
∴整数a可取的值为0，2，3，﹣1，4，
则满足题意a的值和为0+2+3﹣1+4＝8，
故选：B．
7．（2023秋•永城市期末）若分式方程无解，则a的值是（ ）
A．3或2B．1C．1或3D．1或2
【答案】D
【解答】解：，
方程两边同时乘x﹣3得：
ax﹣3＝2（x﹣3），
ax﹣3＝2x﹣6，
ax﹣2x＝3﹣6，
（a﹣2）x＝﹣3，
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴3（a﹣2）＝﹣3，
解得：a＝1，
∵分式方程无解，
∴a﹣2＝0，
解得：a＝2，
综上可知：a＝2或1，
故选：D．
8．（2024春•威远县校级期中）已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【解答】解：分式方程去分母得：
mx+2（x﹣6）＝3（x﹣2），
∴mx+2x﹣12＝3x﹣6，
∴（m﹣1）x＝6，
当m﹣1＝0时，
即m＝1，整式方程无解，原分式方程无解；
当m﹣1≠0时，
即m≠1，
x＝，
由分式方程无解，得：
＝2或＝6，
解得：m＝4或m＝2，
整理不等式组得：
，
即﹣8≤y＜m﹣4，
①当m＝1时，﹣8≤y＜﹣3，
不等式组的偶数解只有﹣8，﹣6，﹣4，符合题意；
②当m＝2时，﹣8≤y＜﹣2，
不等式组的偶数解只有﹣8，﹣6，﹣4，符合题意；
③当m＝4时，﹣8≤y＜0，
不等式组的偶数解只有﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，不符合题意；
∴符合条件的整数m的值为1，2，
∴1×2＝2．
故选：B．
题型二：已知分式方程的解，求字母参数的值
9．（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【答案】C
【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，
∴＝，
即＝1，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解，
所以原方程的解为a＝﹣1，
故选：C．
10．（2023秋•东城区期末）若关于x的方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠10D．m＜6且m≠2
【答案】D
【解答】解：关于x的方程＝2的解为：x＝，
∵原方程有可能产生增根2，
∴，
∴m≠2．
∵关于x的方程＝2的解为正数，
∴，
∴m＜6．
综上，m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：D．
11．（2023春•兰考县期中）若x＝2是方程＝的解，则a＝ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x＝2代入方程整理得：3（x﹣a）＝x+1，
解得：x＝1.5a+0.5，
∵x＝2，
∴a＝1．
12.（2022秋•富县期末）若关于x的分式方程的解为x＝﹣10，则k＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：∵关于x的分式方程的解为x＝﹣10，
∴，
解得：k＝1．
经检验，x＝1是原方程的根，
故答案为：1．
题型三：分式方程的特殊解问题
13．（2023秋•保定期末）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1B．m＞1C．m＜1且m≠﹣2D．m＞1且m≠3
【答案】D
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：m﹣3＝x﹣2，
解得x＝m﹣1，
∵分式方程的解为正实数，
∴m﹣1＞0且m﹣1≠2，
解得m＞1且m≠3．
故选：D．
14．（2023秋•纳溪区期末）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≥﹣1
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，
即x＝m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥﹣1且m≠0，
故选：C．
15．（2023秋•西华县期末）关于x的分式方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≠1C．m＞1D．m＞﹣1且m≠1
【答案】D
【解答】解：去分母得：m﹣1＝2x﹣2，
解得：x＝，
由分式方程解为正数，得到＞0且≠1，
解得：m＞﹣1且m≠1，
故选：D．
16．（2023秋•渝中区期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣3B．m≥﹣3且m≠1C．m≤3D．m≤3且m≠1
【答案】B
【解答】解：，
，
方程两边同乘x﹣1得，2x﹣4﹣（m﹣3x）＝x﹣1，
解得，
∵原分式方程的解是非负数，
∴且，
解得m≥﹣3且m≠1，
故选：B．
17．（2023秋•忠县期末）若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m之和为 ﹣12 ．
【答案】﹣12．
【解答】解：解不等式组，得4m﹣6≤y≤6m+10，
∵不等式组有解，
∴6m+10≥4m﹣6，解得m≥﹣8．
解分式方程，得x＝﹣（m≠﹣1），
∵x＝2为原分式方程的增根，
∴m≠﹣4，且m≠﹣1．
∵m≥﹣8，
∴m+1≥﹣7，
∵x＝﹣＞0，
∴m+1＜0，
综上，﹣7≤m+1＜0，且m≠﹣4，m≠﹣1．
又∵x为整数，
∴m+1＝﹣6、﹣3、﹣2或﹣1．
当m+1＝﹣6时，m＝﹣7；
当m+1＝﹣3时，m＝﹣4（不符合题意，舍去）；
当m+1＝﹣2时，m＝﹣3，
当m+1＝﹣1时，m＝﹣2，
∴m＝﹣7、﹣3或﹣2，
∴﹣7﹣3﹣2＝﹣12，
故答案为：﹣12．
18．（2023秋•渝北区期末）若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：解分式方程得x＝a，
∵分式方程的解为正数解，
∴a＞0且a≠2，
解不等式组得，
∵关于y的不等式组有解，
∴6﹣2a＞a﹣6，
解得：a＜4，
综上，符合题意的整数a的值有1，3，符合条件的所有整数a的和为4．
故答案为：4．
题型四：分式的分子有理化类压轴题
19．（2024春•丰县期中）阅读材料：
分式的最大值是多少？
解：；
∵x≥0，∴x+3≥3，∴x+3的最小值是3．∴的最大值是，
∴的最大值是，∴的最大值是．
解决问题；
（1）分式的最大值是 9 ；
（2）求分式的最大值；
（3）若分式的值为整数，请直接写出整数x的值．
【答案】（1）9；（2）7；（3）x＝6或x＝4或x＝8．
【解答】解：（1）＝＝1+，
∵x≥2，
∴x﹣1≥1，
∴x﹣1的最小值是1，
∴的最大值是1，
∴的最大值是8，
∴1+的最大值是9，
即的最大值是9，
故答案为：9；
（2）＝＝4+，
∵x2+1≥1，
∴x2+1的最小值是1，
∴的最大值是1，
∴的最大值是3，
∴4+的最大值是7，
即的最大值是7；
（3）＝＝x+，
∵分式的值为整数，
∴x﹣5＝±1，或x﹣5＝±3，
∴x＝6或x＝4或x＝2，或x＝8，
∵x≥3，
∴x＝6或x＝4或x＝8．
20．（2024春•仪征市期中）阅读材料：
通过小学的学习，我们知道，，
在分式中，类似地，．
探索：
（1）如果，则m＝ ﹣5 ；
（2）如果，则m＝ ﹣13 ；
总结：
（3）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示）
应用：
（4）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，直接写出满足条件的整数x的值．
【答案】（1）﹣5；
（2）﹣13；
（3）m＝b﹣ac；
（4）x＝﹣4或﹣2或0或2．
【解答】解：（1）∵＝＝＝3+，
∴3+m＝﹣2，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（2）∵＝＝＝5+，
∴10+m＝﹣3，
∴m＝﹣13．
故答案为：﹣13；
（3）∵
＝
＝a+
＝a+．
∴m＝b﹣ac；
（4）＝＝＝2﹣，
∵结果为整数，
∴当x＝﹣4或﹣2或0或2时，代数式的值为整数．
21．（2024春•建邺区校级月考）请仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．例如：假分式可以化为整式与真分式和的形式，例如：＝＝1+．
（1）将分式化为整式与真分式和的形式，并求出当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？
（2）将假分式化成整式和真分式的和的形式．
【答案】（1）2+，当x＝0、2、﹣2、4时，原分式的值也是整数；
（2）．
【解答】（1）原式＝
＝+
．
当x＝0、2、﹣2、4时，原分式的值也是整数．
（2）原式＝
＝
＝．
22．（2023秋•湘西州期末）阅读材料1：已知关于x的方程的解是x＝c或，不妨约定这种方程为“对称方程”．例如“对称方程”的解是x＝3或．阅读材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x+3，可设，x2+2x﹣5＝（x+3）（x+a）+b，
∴x2+2x﹣5＝（x+3）（x+a）+b＝x2+ax+3x+3a+b＝x2+（a+3）x+（3a+b）．
∵对于任意x，上述等式均成立，∴解得：．
．
这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）“对称方程”的解是 y＝7或y＝ ．
（2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为 x+2﹣ ．
（3）解关于x的“对称方程”：（a为常数且a≠0）．
【答案】（1）y＝7或y＝；
（2）x+2﹣；
（3）x＝或x＝．
【解答】解：（1）∵原方程为“对称方程”，
∴y﹣2＝5或y﹣2＝，
∴y＝7或y＝，
经检验，y＝7或y＝是原方程的解，
故答案为：y＝7或y＝．
（2）设x2﹣6＝（x﹣2）（x+a）+b，
∴x2﹣6＝（x﹣2）（x+a）+b＝x2+（a﹣2）x﹣2a+b，
∵对于任意x，上述等式均成立，
∴，解得，
∴＝＝x+2﹣，
故答案为：x+2﹣．
（3）x+
＝×3x+
＝（3x+2+）﹣，
∴原“对称方程”可化为（3x+2+）﹣＝，
经整理，得3x+2+＝a+，
∴3x+2＝a或3x+2＝，解得x＝或x＝，
经检验，x＝或x＝是原方程的解．
23．（2023秋•来凤县期末）阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意上述等式成立，
∴解得：．
∴＝＝x﹣2+．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）已知整数使分式的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+5x﹣4＝（x﹣1）（x+a）+b，
则x2+5x﹣4，
＝x2+ax﹣x﹣a+b，
＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴，
解得：，
∴，
＝，
＝x+6+．
故答案为：x+6+．
（2）由分母x﹣3，可设2x2﹣x﹣12＝（x﹣3）（2x+a）+b，
则2x2﹣x﹣12，
＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b，
＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，
∵对于任意x上述等式成立，
∴，
解得；
∴，
＝，
＝，
＝2x+5+，
∵x为整数，分式的值为整数，
∴为整数，
∴x＝4或6或0或2．
24．（2023秋•江门期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】（1）真；
（2）x﹣2+；
（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．
【解答】解：（1）分式是真分式；
故答案为：真；
（2）；
（3）原式＝，
∵分式的值为整数，
∴x+2＝±1或±13，
∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．
25．（2022秋•鼓楼区校级期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：；．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：①分式是 真 分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：＝ x + ．
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
（3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
【答案】（1）①真；
②x，；
（2），x＝1或2或4或5；
（3）满足条件的两位数n为36．
【解答】解：（1）①∵分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式；
故答案为：真；
②：
＝
＝，
故答案为：x，；
（2）
＝
＝
＝，
∵x为整数，要使这个分式的值为整数，即2能被x﹣3整除，
∴x＝1或2或4或5；
（3）设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为2a，n的十位数字为a，个位数字为b，
∴m＝100a+10b+2a，n＝10a+b，
∴＝
＝
＝
＝
＝100（10a+b）+40a+，
由题意可得，0＜a＜5，0≤b≤9，且a，b均为整数，
∵这个三位数的平方能被这个两位数整除，
∴100（10a+b）+40a+为整数，即为整数，
当a＝1时，＝，没有满足题意的b值，
当a＝2时，＝，没有满足题意的b值，
当a＝3时，＝，b＝6，
当a＝4时，＝，没有满足题意的b值，
综上，满足条件的两位数n为36．
题型五：分式方程的应用问题
26．（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（+）×15+＝1．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
27．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，
根据题意，得
解得：x＝200
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．
（2）设每箱饮料的标价为y元，
根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）
解得：y≥296
答：至少标价296元．
28．（2023•乌鲁木齐一模）某商店五月份销售A型电脑的总利润为4320元，销售B型电脑的总利润为3060元，且销售A型电脑数量是销售B型电脑的2倍，已知销售一台B型电脑比销售一台A型电脑多获利50元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每台A型电脑的利润为x元，则每台B型电脑的利润为（x+50）元，
根据题意得＝×2，
解得x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解，
则x+50＝170．
答：每台A型电脑的利润为120元，每台B型电脑的利润为170元；
（2）设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为y元，
据题意得，y＝120a+170（100﹣a），
即y＝﹣50a+17000，
100﹣a≤2a，
解得a≥33，
∵y＝﹣50a+17000，
∴y随a的增大而减小，
∵a为正整数，
∴当a＝34时，y取最大值，此时y＝﹣50×34+17000＝15300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
29．（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得+＝﹣2，
解得：x＝300米/分钟，
经检验x＝300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2＝600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
30．（2022春•青秀区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？