八年级下册数学 专题13 二次根式全章五类必考压轴题（原卷版+解析版）

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题型一：二次根式的双重非负性的运用
题型二：二次根式的规律探究
题型三：复合二次根式的化简
题型四：二次根式运算与求值技巧
题型五：分母有理化
题型一：二次根式的双重非负性的运用
1．实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，由数轴可得到，根据和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到．
【详解】解：根据题意，则，
∴，，
∴
=
=
=；
故选：B．
2．已知三角形的三边长，则的值为（ ）
A．7B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形和非负数．熟练掌握三角形三边关系，二次根式性质和绝对值性质，是解决问题的关键．
根据三角形三边关系，得到，得到，，根据二次根式性质和绝对值性质即得 ．
【详解】∵三角形的三条边长分别为3、7、a，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
3．已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为．
先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
4．若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，分母有理化，根据非负数之和为零，则每个非负数都是零可得，进而代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
5．已知是有理数，且，则化简的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入结合二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
将代入得，
，
故答案为：．
6．已知，则的值是 ．
【答案】5
【分析】根据二次根式的性质得到，，求出，，代入计算可得．
【详解】解：由题可得，，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
7．等式成立的条件是 ．
【答案】x=2
【分析】根据二次根式的意义，被开方数要大于等于零，去求x的范围．
【详解】根据二次根式有意义的条件，∵，，
∴x必须满足的条件是且，则．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次根式的意义，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
8．方程的根是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件得或，可得答案．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件得或，
得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握其非负数的性质是解决此题的关键．
题型二：二次根式的规律探究
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点的坐标为，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，依此规律，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系寻找，再求解．
【详解】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍，
∵，
∴点的在x轴的正半轴上，
则，
∴，
故选：D．
10．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字变化规律．观察已知式子，总结规律即可得第个单项式是．
【详解】解：由，，，，，，
总结规律得第个单项式是．
故选：A．
11．如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰， 再以为直角边作等腰，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则的长度为 ． （用含n的式子表示）
【答案】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，，然后问题可求解．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，，
∴，
同理可得：，，……；
综上所述：；
故答案为．
题型三：复合二次根式的化简
12．先阅读下列解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简
解：首先把化为，这里，；由于，，即，
。
根据上述例题的方法化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，
（1）根据解答过程即可得解，
（2）将转化为，再根据解答过程即可得解，
（3）将转化为，再根据解答过程即可得解；
先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
．
13．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．
（1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论
（2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可．
【详解】（1）
，
，
故答案为：，；
（2）．
14．阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简．
解：．
依据上述计算，填空：
(1) ， ；
(2)根据上述方法求值：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了化简复合二次根式：
（1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解；
（2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解：
．
15．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
16．【规律探究题】观察下列运算：
①由，得；
②由，得；
……
问题：
(1)______；______；
(2)利用（1）中发现的规律计算：
．
【答案】(1)；（n为正整数）
(2)2024
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
（1）根据已知算式得出规律即可；
（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．
【详解】（1），
（n为正整数）
（2）原式
17．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第4个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示）．
(3)请用（2）中发现的规律计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
（1）由题意可得，第4个等式；
（2）由题意知，第n个等式为；
（3）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，第4个等式，
故答案为：；
（2）解：由题意知，第n个等式为；
（3）解：
，
∴．
18．观察下列算式的特征及运算结果，探索规律：
，，，．
(1)观察算式规律，计算、 ； ；
(2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查二次根式运算中的规律探究：
（1）根据题干给定的等式，进行作答即可；
（2）根据题干给定的等式，确定相应的规律作答即可；
（3）先根据规律化简各式，再进行计算即可．
【详解】（1）解：；；
故答案为：；
（2）由题意，可得：或；
（3）
．
题型四：二次根式运算与求值技巧
19．（）；
（）
【答案】（）；（）
【分析】（）利用二次根式的乘除法运算法则进行计算，再合并即可求解；
（）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解；
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
，
；
（）原式
，
．
20．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算二次根式加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式的知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键．
（1）先根据平方差公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
22．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
（1）先计算小括号内的二次根式乘法，再化简二次根式并合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可；
（2）先计算二次根式乘法，再加减计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．计算下列各小题．
(1)；
(2)．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）关键二次根式乘除的混合运算计算即可；
（2）根据二次根式混合运算计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2））
．
24．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．
（1）直接利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算；
（2）先计算完全平方式及平方差公式，最后再计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
25．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）将二次根式化简，然后计算乘除法即可；
（2）先将二次根式化简，接着计算小括号里面的，然后再算除法即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
26．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算，二次根式的混合运算，根据平方差公式，单项式乘多项式及完全平方公式将原式化简，再将、的值代入，利用平方差公式计算可得结论．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
27．已知，，求：
(1)代数式的值；
(2)代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式即可得答案；
（2）由于，方便运算，故可考虑将代数式化为含和的项，再整体代入和的值，进行代数式的求值运算．
【详解】（1）

；
（2）由已知：

，


，
故：原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，本题考查了整体代入的思想．
28．已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）将，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．
29．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的化简求值，先通分算括号内的，把除法化为乘法，化简后将的值代入计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
30．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
【详解】解：


，
当1时，原式．
31．已知．求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将变形为，再将x，y的值代入，利用二次根式运算法则计算即可，
（2）先将整理为，再将x，y的值代入，利用二次根式运算法则计算即可，
本题考查了二次根式的运算及平方差公式的运用，解题的关键是先将待求式子进行化简，并熟练掌握二次根式的运算法则．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
（2）解：∵，
∴
．
题型五：分母有理化
32．阅读下列简化过程：
；
；
．
解答下列问题：
(1)直接写出结果；
(2)计算：；
(3)设a＝，b＝，c＝，比较a，b，c的大小关系．
【答案】(1)
(2)
(3)a＜b＜c
【分析】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．
（1）根据已知可得：两个连续正整数算术平方根的和的倒数，等于分子分母都乘以这两个连续正整数算术平方根的差，化简得这两个连续正整数算术平方根的差；
（2）利用分母有理化分别化简，再合并同类二次根式得解；
（3）将a、b、c分别化简，比较结果即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：，，，
∵，
∴．
33．阅读材料，回答下列问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______．
这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
①，