福建省泉州市安溪恒兴中学2023-2024学年高二下学期6月份质量检测数学试题（Word版附解析）

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数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，逐项求解，即可得到答案.
【详解】A中，因为，所以，故A错误；
B中，由基本初等函数的导数公式易知，故B正确；
C中，因为，故C错误；
D中，，故D错误.
故选：B.
2. 已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中m的值为（ ）
A. 45B. 50
C. 55D. 70
【答案】D
【解析】
【分析】由表中数据求出平均数，根据回归直线经过样本中心点，代入求解即可.
【详解】由表可知，，
.
因为回归直线会经过平均数样本中心点，
所以＝6.5×5＋17.5，解得m＝70.
故选：D．
3. 若的展开式中的系数为10，则x的系数是（ ）
A. 60B. 70C. 80D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】求出展开式的通项，令x的指数为2，求出r的值，从而可得关于a的方程，求出a的值，进而可得x的系数．
【详解】的展开式的通项为，
令，可得，
所以展开式中的系数为，解得，
令，可得，
所以x的系数为．
故选：C．
4. 从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（ ）种．
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算全部的选法，排除其中“没有女生，即全部为男生”的选法，分析可得答案．
【详解】根据题意，从4名男生和2名女生中选2人参加会议，有种选法，
其中没有男生，即全部为女生的选法有种，
则至少有一名男生的选法有．
故选：B．
5. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 120B. 210C. 720D. 5040
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式定理，把每一项的的系数求出来，然后结合组合数的性质求和即可
【详解】由题意可得的系数为
．
故选：B．
6. 某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数服从正态分布，且落在内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，）
A. 270B. 2275C. 2410D. 4550
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由原则可得，即可得到所抽取零件总数，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，
则所抽取的零件总数为，
故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为．
故选：B
7. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.
【详解】设与平行直线与相切，
则切线斜率k=1，
∵∴，
由，得
当时,即切点坐标为P(1,0)，
则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，
∴点(1,0)到直线的距离为：，
∴曲线上的点到直线l: 的距离的最小值为.
故选：B.
8. 已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，可证明在上单调递增，又可计算得，因此
【详解】由题意，构造函数
在上单调递增
又
又
的解集为
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
B. 在回归直线方程中，变量与x正相关
C. 变量x，y的样本相关系数越大，表示它们的线性相关性越强
D. 在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
【答案】BC
【解析】
【分析】根据变量之间相关关系的有关概念，回归直线的特征，回归分析中相关系数和线性相关性的关系，残差平方和和模型的拟合效果的关系即可判断．
【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，但可以不经过任何一个样本点，A错误；
对于B，在回归直线方程中，，所以变量与x正相关，B正确；
对于C，变量x，y的样本相关系数越大，越靠近，表示它们的线性相关性越强，C正确；
对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．
故选：BC．
10. 圆C：，点为圆C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为3
C. 的最大值为9D. 无最大值
【答案】AC
【解析】
【分析】设，则，利用直线与圆有公共点可求出k的最值，求得P到原点的距离，可求的最大值．
【详解】圆C：的圆心为，半径为，

设，则，因P在圆上，所以，
解得，故的取值范围是，故A正确，D错误；
因为的几何意义为P点到原点距离的平方，
又P到原点的距离的取值范围为，
所以的取值范置为，故的最大值为9，故B错误，C正确．
故选：AC．
11. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 在处的切线方程为B. 单调递减区间为
C. 的极小值为D. 方程有两个不同的解
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解；对于C，求导后求极值；对于D，函数与的交点个数判断.
【详解】对于A，由，得，
所以， ，所以在处的切线方程为，故A正确；
对于B，由，得，解得，
所以的单调递减区间为，故B正确；
对于C，由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，故C错误；
对于D，由C选项可知的最大值为，
当时，，当时，，

所以函数与的图像的交点个数为1，即有1个解，故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用导数分析得的图像，从而得解.
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】设，利用中点坐标公式可用x，y表示出，再根据点A在圆上，即可得到答案．
【详解】设，又点，
则，
所以，，
又点A在圆上，
则，即，
所以线段AB的中点P的轨迹方程为．
故答案为：．
13. 在的展开式中，含的系数为______.
【答案】360
【解析】
【分析】把的展开式看成是5个因式的乘积形式，按照分步相乘原理，求出含项的系数即可．
【详解】把的展开式看成是5个因式的乘积形式，
展开式中，含项的系数可以按如下步骤得到：
第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取，有种取法；
第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取，有种取法；
第三步，把剩余的1个因式中取，有种取法；
根据分步相乘原理，得；含项的系数是
故答案为：.
14. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】变换得到，设得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案.
【详解】，即，
，设，恒成立，函数单调递增，故，
故，设，，故，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，故，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用同构的思想，变换得到是解题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知y＝．
（1）求该曲线在处的切线方程；
（2）求该函数的单调减区间．
【答案】（1）

（2）
【解析】
【分析】（1）由题意求出导数，根据导数的几何意义，可得切线的斜率，即可得出答案；
（2）由题意求得函数定义域，令，求出的解集，即可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，
∴，
当时，，
∴曲线在处的切线方程为，即；
【小问2详解】
由题意得函数定义域为，，
由得，
∴函数的单调减区间为．
16. 某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：.
【答案】（1）男顾客对该商场服务满意的概率估计为，女顾客对该商场服务满意的概率估计为，
（2）没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得出相关数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即可估计所求的概率，
（2）根据已知条件完成列联表，利用公式求出，再根据临界值表分析判断.
【小问1详解】
由题意可知，50位男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对该商场服务满意的概率估计为，
因为50位女顾客对商场服务满意的有35人，
所以女顾客对该商场服务满意的概率估计为，
【小问2详解】
由题意可得列联表为
所以，
所以没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
17. 某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业.牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业.如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y（单位：千元）与年份代码x的折线图.并计算得到，，，，，，，其中.

（1）从相关系数的角度分析，与哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由；
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程，并预测2023年该农户种植药材的平均收入.
附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，.
【答案】（1）适宜，理由见解析
（2），87.39千元
【解析】
【小问1详解】
因为，
.
对于模型，相关系数，
对于模型，相关系数
因为，所以适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程.
小问2详解】
由（1）可知回归方程类型为，
由已知数据及公式可得，.
所以y关于x的回归方程为，
又年份代码1-7分别对应年份2016-2022，所以2023年对应年份代码为8，
代入可得千元，所以预测2023年该农户种植药材的平均收入为87.39千元.
18. 设点M和N分别是椭圆上下不同的两点，线段MN最长为4，椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，再结合，可求出，从而可求得椭圆C的标准方程；
（2）直线斜率存在且不为零，设其方程为，将其与椭圆的方程联立可得，由解得，写出韦达定理并求得，由，得，解得，得，然后设直线的斜率为，利用点差法可得，从而可求出直线OP的斜率的取值范围
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以，
所以椭圆C的标准方程为，
【小问2详解】
由题意知，直线的斜率存在且不为零，设其方程为，
由，得，
由，得，
设，则，
所以，
因为，所以，得，
所以，
设直线的斜率为，
因为，
所以，化简得，
所以，
所以，解得或，
所以直线OP的斜率的取值范围为
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有两个极值点，求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论的值，由导数得出单调性；
（2）由极值点的性质以及韦达定理得出，构造函数，利用导数证明不等式.
【小问1详解】
由题意得：的定义域为，
令，，
当，即时，恒成立，
即：，在上单调递减，
当，即时，
令，解得：，
当时，，即；当时，，即，
上单调递减；在上单调递增，
【小问2详解】
定义域上有两个极值点
由（1）知且是方程的两个不等实根，
则，
，
设，则，
，，，则在上为减函数，
，则成立.
【点睛】关键点睛：在问题二中，关键在于由极值点的性质结合韦达定理将双变量问题，转化为单变量问题，从而由导数证明不等式.
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
m
60
满意
不满意
男顾客
10
女顾客
15
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男顾客
40
10
50
女顾客
35
15
50
合计
75
25
100