精品解析:2024年广东省广州市天河区中考二模数学试题(原卷版+解析版)
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一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,满分30分,每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.)
1. 欢欢放学回家看到弟弟用几个小正方体的积木搭建出如图的几何体,她用手机拍照得到这个几何体的三视图,其中左视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三种视图,熟知三视图的观察方向是解题的关键.在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图,在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图,叫做左视图.仔细观察图中几何体摆放的位置,根据由左向右观察物体得到的图形判定即可.
【详解】解:在侧面内得到由左向右观察物体的左视图为
,
故选:B.
2. 民间剪纸是劳动人民为了满足精神生活需要而创造的,具有鲜明的艺术特色和生活情趣.下列剪纸图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查中心对称图形的定义,根据“旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形”判断即可.
【详解】解:A. 此图形旋转后不能与原图形重合,所以此图形不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B. 此图形旋转后不能与原图形重合,所以此图形不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C. 此图形旋转后能与原图形重合,所以此图形是中心对称图形,故本选项符合题意;
D. 此图形旋转后不能与原图形重合,所以此图形不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:C.
3. 正比例函数的图象经过点,则此图象一定经过点( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数.熟练掌握正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式,是解决问题的关键.
将点代入正比例函数,得正比例函数的解析式为.根据正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式,逐项判断.
【详解】∵函数的图象经过点,
∴,
∴,
∴,
A.,
时,,
∴的图象不经过点;
B.,
时,,
∴的图象经过点;
C.,
时,,
∴的图象不经过点;
D.,
时,,
∴的图象不经过点.
故选:B.
4. 下列运算不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了立方根,合并同类项,同底数幂乘法,零次幂的运算,掌握实数的运算法则是解题的关键.
运用立方根的运算可判定A;根据二次根式的加减运算可判定B;根据同底数幂的运算法则可判定C;非零数的零次幂的运算可判定D;由此即可求解.
【详解】解:A、,计算正确,不符合题意;
B、,原选项计算错误,不符合题意;
C、,计算正确,不符合题意;
D、,计算正确,不符合题意;
故选:B .
5. 代数式有意义时,则x应满足的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件,根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键.根据二次根式有意义时被开方数为非负数,分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围.
【详解】解: 代数式有意义,
,
.
故选:A.
6. 彤彤在班上做节水意识调查,收集了班上位同学家里上个月的用水量(单位:)如下:7,5,13,6,9,11,5.这组数据的中位数和平均数分别是( )
A. 7,6B. 6,7C. 6,8D. 7,8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数,中位数,掌握平均数,中位数的计算方法即可求解.
【详解】解:将数据从小到大排序为:5,5,6,7,9,11,13,
∴中位数为第4个,即7,
平均数为,
故选:D .
7. 有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,把a,,b按照从小到大的顺序排列,正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴与有理数大小的比较,正确理解数轴与有理数大小的比较的方法是解题的关键.在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点,再根据“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”,即可判断答案.
【详解】在数轴上标出有理数a的相反数所表示的点,则a,,b按照从小到大的顺序排列为.
故选:A.
8. 已知二次函数的图象如图所示,对称轴为直线,则下列选项中不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质,根据图象开口方向、对称轴、与x轴交点个数和交点坐标分析即可得到答案.
【详解】解:∵抛物线开口向下,
∴,故选项A正确,不符合题意;
∵对称轴为直线,
∴,故选项B正确,不符合题意;
∵二次函数的图象与x轴有两个交点,
∴有两个不相等的实数根,
∴,故选项C正确,不符合题意;
∵二次函数的图象对称轴为直线,经过点,
∴二次函数的图象经过点,
∴,故选项D错误,符合题意,
故选:D
9. 如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格,其中第一个图形有个正方形,长为1的线段和为4,第二个图形有个小正方形,长为1的线段和为12,第三个图形有个小正方形,长为1的线段和为24,按此规律,则第50个图形中长为1的线段和为( )
A. 5100B. 3800C. 2650D. 588
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了规律型-图形的变化类,找出前四个图形的规律是解题的关键.通过第1、2、3和4个图案找出规律,进而得出第n个图案中长为1的线段和为,代入即可求解.
【详解】解:观察图形可知:
第1个图案由1个小正方形组成,长为1的线段和为
第2个图案由4个小正方形组成,长为1的线段和为
第3个图案由9个小正方形组成,长为1的线段和为
第4个图案由16个小正方形组成,长为1的线段和为
…
由此发现规律是:
第n个图案由个小正方形组成,长为1的线段和为,
第50个图形中长为1的线段和为.
故选:A.
10. 如图,在矩形纸片中,,,点E,F分别是矩形的边,上的动点,点B关于直线对称的点刚好落在边上,与交于点O.连接,,以下四个结论:①四边形是菱形;②当点与点D重合时,;③的面积S的取值范围是;④当时,四边形的面积为.正确的是( )
A. ①②④B. ①②③C. ③④D. ①②
【答案】A
【解析】
【分析】本题综合考查了菱形的性质和判定,矩形的性质,勾股定理,三角形全等的判定和性质,二次函数的函数值的范围,熟练掌握相关内容是解题的关键.
证明,即可证明四边形是菱形,故①正确;当点与点D重合时,设,则,得,解得,求得,利用勾股定理可求,由此可求,可判定②正确;
利用,而,可得到的面积S的取值范围是,可判定③错误;当时,可求得,即可求出梯形的面积,由此判定④.
【详解】解: 点B关于直线对称的点刚好落在边上,
,,
矩形,
,
,
又 ,,
,
,
四边形是平行四边形,
,,,
,
,
四边形是菱形,故①正确;
当点与点D重合时,如图所示,
设,则,
由于四边形是菱形,
,
,
解得,
,,
,
,
,
,故②正确;
,
当点与点D重合时,取得最大值,即,
,
当时,,
当时,,
在,随着值增大而增大,
的面积S的取值范围是,故③错误;
当时,如图,
,
,
,
四边形的面积为,
故④正确,
综上所述,①②④符合题意;
故选:A.
二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共18分.)
11. 某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶(每袋茶叶的标准质量为),为了监控分装质量,该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了60袋,测得它们的实际质量分析如表:则这两台分装机中,分装的茶叶质量更稳定的是________(填“甲”或“乙”).
【答案】乙
【解析】
【分析】此题考查了方差判断数据的稳定性,比较方差大小后即可得到答案.
【详解】解:∵,
∴
即方差小的为乙,
∴分装的茶叶质量更稳定的是乙.
故答案为:乙.
12. 因式分解:=__________________
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式直接求解即可得到答案;
【详解】解:原式,
故答案:;
【点睛】本题考查公式法因式分解,解题的关键是熟练掌握.
13. 某班去研学,有两种套票可供选择,已知甲种套票每张80元,乙种套票每张70元,如果每人只购买其中一种,40名学生恰好用去2900元,那么该班购买甲种套票的张数是________.
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用,设甲种套票买了x张,则乙种套票买了张,根据“40名学生恰好用去2900元”列出方程并解答即可.
【详解】解:设甲种套票买了x张,则乙种套票买了张,
依题意得:,
解方程得:.
即甲种套票买了10张.
故答案为:10.
14. 如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,AB=4,则□ABCD的面积等于________.
【答案】16
【解析】
【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB,根据平行四边形性质推出AC=BD,根据矩形的判定推出平行四边形ABCD是矩形;求出AC长,根据勾股定理求出BC,根据矩形的面积公式求出即可.
【详解】∵△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=4,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA,BD=2OB,
∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵OA=AB=4,AC=2OA=8,四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∵在Rt△ABC中,由勾股定理得:BC=,
∴▱ABCD的面积是:AB×BC=4×4=16.
【点睛】此题考查矩形的判定与性质,平行四边形的性质,勾股定理,等边三角形的性质,解题关键在于求出AC长.
15. 如图,是的直径,是弦,且,,则与的长度的比值为________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理,根据垂径定理可得,在直角三角形中,由边角关系可得的关系,从而可得的关系
【详解】解:如图,
∵是的直径,是弦,且,
∴,
∴
∴,
∵,
∴
∴,即
∴,
故答案为:
16. 中,,,点D是边的中点,把点D绕点B逆时针旋转得到点E,连接,则线段的最小值是________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了图形的旋转,圆的性质,圆周角定理,等边三角形的判定和性质,三角形中位线的性质,三角形全等的判定和性质,三角形三边关系求最值,作出辅助线,构造三角形证明全等,利用三角形三边关系是解题的关键.取中点,逆时针旋转到,连接,为三角形的中位线,根据中位线性质可得,利用旋转可得和都为等边三角形,由此可证,得到,在中,,即,将看成固定点,点的轨迹是半径为,以为圆心的圆,在的运动过程中,当共线时,取得最小值,而,故点在以为直径,为圆心的圆上,根据圆周角定理,,利用勾股定理可求,由此可求得线段的最小值.
【详解】解:取中点,逆时针旋转到,连接,如图所示,
点,分别为中点,
,
旋转到,逆时针旋转到,
,,,
和都为等边三角形,
,,
,
又,,
,
,
在中,,即,
若将看成固定点,点的轨迹是半径为,以为圆心的圆,在的运动过程中,当共线时,取得最小值,如下图所示,
都为等边三角形,
,
点在以为直径,为圆心的圆上,根据圆周角定理,
,
,
此时,.
故答案为:.
三、解答题(本大题有9小题,共72分,解答要求写出文字说明,证明过程或计算步骤.)
17. 解分式方程.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解法,通过去分母将分式方程转化为整式方程后求解,再将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母不为零,则整式方程的解是原分式方程的解,否则不是原分式方程的解,掌握分式方程的解法是解题的关键.方程两边同乘化为整式方程后求解,检验整式方程的根是否使得为零,即可得解.
【详解】解:,
,
,
解得,
检验:当,,
所以,是原方程的根.
18. 古人诗云:“草长莺飞二月天,拂堤杨柳醉春烟.儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”纸鸢,又称风筝,其制作技艺是我国民间的传统工艺,某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形(如图所示),已知,,求证:.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质,熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.根据,,,利用即可证明,从而得到.
详解】解: ,
,
.
19. 某校七年级开展数学文化节活动,推荐给同学们三本数学课外读物,分别是《生活中的数学》《数学家的故事》《奇妙数世界》,小聪和小华将这三本书的书名写在形状大小、颜色完全相同的三张卡纸上,并把卡纸反放在桌面,先由小聪随机抽一张卡纸,记录书名后放回,再由小华抽一张卡纸,记录书名.
(1)填空:小聪抽到《数学大爆炸》是 事件;(填“必然”,“不可能”,“随机”)
(2)请用树状图或者列表法,求小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率.
【答案】(1)随机 (2)
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的定义以及用列举法求解概率的知识,随机事件的定义:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.理解随机事件的定义,掌握树状图或者列表法求事件概率是解题的关键.
(1)根据随机事件的定义即可判断;
(2)画出树状图或者表格,可知一共有9种等可能的结果,小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有5种,利用概率公式即可得解.
【小问1详解】
因为是随机抽取,则抽中的结果是随机的,小聪可能抽到《数学大爆炸》,也可能抽不到,故是随机事件.
故答案为:随机;
【小问2详解】
设A表示《生活中的数学》,B表示《数学家的故事》,C表示《奇妙数世界》,则用列表法列举如下:
由表可知总情况有9种,都是等可能性的,其中小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有:CA,CB,AC,BC,CC,共5种情况,
小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为:.
答:小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为.
20. 一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货.平均卸货速度y(单位:吨/天)与卸货天数t是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)求y与t之间的函数解析式;
(2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知,在某海域形成新的台风,预计7天后影响码头卸货,因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨?
【答案】(1)
(2)平均每天至少要卸载48吨.
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用,正确求出反比例函数解析式是解题关键.
(1)直接利用待定系数法确定函数关系式,进而得出答案;
(2)直接利用(1)中函数解析式,将代入,进而得出答案.
【小问1详解】
解: 与是反比例函数关系,
设,
图象过点,
,
与之间的函数解析式为:;
【小问2详解】
解:当时,,
当时,随的增大而减小,
当时,,
答:平均每天至少要卸载48吨.
21. 已知.
(1)化简T;
(2)若a,b互为相反数,求T的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查整式的化简以及求值,熟练掌握平方差公式,多项式乘以多项式,单项式乘以多项式的规则是解题的关键.
(1)利用平方差公式,单项式乘以多项式规则展开后,合并同类项即可;
(2)根据a,b互为相反数,得,代入第(1)问化简的式子即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
a,b互为相反数,
,
.
22. 如图,中,是边的中点,,垂足是.
(1)作的高(尺规作图,保留作图痕迹);
(2)连接,若,求的值.
【答案】(1)作图见详解
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作垂线,圆的基础知识,相似三角形的判定和性质,添加合理的辅助线,构造相似三角形,结合其判定和性质是解题的关键.
(1)以点为圆心,以为半径画弧,交于点,分别以点为圆心,以大于为半径画弧交于点,作射线交于点,即可求解;
(2)根据都是直角三角形,点为中点,可得点四点共圆,由可得是等腰直角三角形,结合,即可求解.
【小问1详解】
解:如图所示,于点,
∴即为所求线段;
【小问2详解】
解:如图所示,设交于点,
∵,中,,点是的中点,
∴点四点在以点为圆心,以为直径的圆上,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
,即是等腰直角三角形,
,
∴,
∴.
23. 小亮同学将一辆自行车水平放在地面上.如示意图,车把头下方处与坐垫下方处的连线平行于地面水平线,处为齿盘的中轴,测得,,
(1)求的长度(结果保留整数);
(2)若点到地面的距离为,坐垫中轴与点的距离为,根据小亮同学身高比例,坐垫到地面的距离为至之间时,骑乘该自行车最舒适,请你通过计算判断出小亮同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度.(参考数据:,,,)
【答案】(1)的长度
(2)小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度,理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用,掌握构造直角三角形,运用锐角三角形求解是解题的关键.
(1)在中,运用解直角三角形的方法可求出的值,在中,可求出的值,有次即可求解;
(2)过点作,过点作于点,在中,根据含角的直角三角形的性质可求出的值,根据可得点到地面的距离,结合题意即可求解.
【小问1详解】
解:如图所示,过点作于点,
在中,,,
∴,,
∴,,
在中,,
∴,
∴,
∴,
∴的长度;
【小问2详解】
解:如图所示,过点作,过点作于点,
由(1)可知,,,,
∴,,
在中,,则,
∴,
∵点到地面的距离为,
∴点到地面的距离为,
∵坐垫到地面的距离为至之间时,骑乘该自行车最舒适,,
∴小亮同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度.
24. 如图1,正方形中,点E是边上任意一点(不与点B重合),以为边在它的外侧作正方形,点M和点P分别是这两个正方形的对称中心,连接.
(1)填空:当时,线段长的最大值是 ;
(2)在正方形的边上,是否存在一点Q,使得为等腰直角三角形?若存在,通过证明确定所有满足条件的点Q的具体位置;若不存在,请说明理由;
(3)如图2.连接并延长,与交于点O.求的度数,并求出与的数量关系.
【答案】(1)
(2)在线段上(与不重合)或在的中点与的连线段上(不与的中点重合),
(3),
【解析】
【分析】(1)如图,连接,,,,证明为的中位线,可得,结合,当三点共线时取等号,再进一步可得答案;
(2)如图,取的中点,以为圆心,为半径画圆,交于,交于,证明,都为等腰直角三角形,过作于,则,可得,即,由不重合,可得不与重合,不与的中点重合,当以为等腰直角三角形的直角边时,以为边作正方形,此时正方形的另外两个顶点不可能落在正方形的边上,即不会落在正方形的边上,不符合题意,舍去;从而可得答案;
(3)证明,,,,可得,可得,,即;结合,可得.
【小问1详解】
解:如图,连接,,,,
∵点M和点P分别是这两个正方形的对称中心,
∴为的中位线,
∴,
∵,当三点共线时取等号,
而四边形,为正方形,
∴共线时,
∴的最大值为,
∴的最大值为;
【小问2详解】
解:如图,取的中点,以为圆心,为半径画圆,交于,交于,
∵为直径,
∴,
∵正方形,
∴,
∴,,
∴,都为等腰直角三角形,
过作于,则,
∴,即,
∵不重合,
∴不与重合,不与的中点重合,
∴在线段上(与不重合)或在的中点与的连线段上(不与的中点重合),
当以为等腰直角三角形的直角边时,以为边作正方形,
此时正方形的另外两个顶点不可能落在正方形的边上,即不会落在正方形的边上,不符合题意,舍去;
综上:在线段上(与不重合)或在的中点与的连线段上(不与的中点重合),
【小问3详解】
解:如图,∵正方形,正方形,
∴,,,,
∴,,
∴,
∴,,
∴;
∵,
∴.
【点睛】本题考查的是正方形的性质,三角形的中位线的性质,三角形的三边关系的应用,平行线分线段成比例,等腰直角三角形的判定与性质,圆周角定理的应用,相似三角形的判定与性质,本题难度大,作出合适的辅助线是解本题的关键.
25. 在平面直角坐标系中,将过点的抛物线(b为常数)向右平移m个单位(),再向上平移n个单位()得到新的抛物线,其顶点为E.
(1)求点E的坐标;(用含m,n的式子表示)
(2)若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点,求满足条件的点E的纵坐标;
(3)当时,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D,且当时,对抛物线上的任意一点P,在抛物线上总存在一点Q,使得点P,Q的纵坐标相等,探究下列问题:
①求m的取值范围;
②若存在一点F,满足,求点F的纵坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)点E的坐标为或
(3)①;②
【解析】
【分析】(1)把点代入抛物线求出,根据图象的平移的性质,即可得到抛物线:,顶点E的坐标为;
(2)由于抛物线与坐标轴有且只有两个公共点,分别讨论当抛物线经过原点时和抛物线不经过原点时两种情况.当抛物线经过原点时满足要求,将代入抛物线:,即可求出顶点E的坐标为;当抛物线不经过原点,与轴一定会有一个交点,所以抛物线与轴只有一个交点,即当顶点落在轴上时,满足与坐标轴有且只有两个公共点,此时,顶点E的坐标为;
(3)① 画出图象可知,当时,抛物线纵坐标取值范围是,要满足题目要求,D点纵坐标要小于等于-1,即,同时点横坐标小于等于2,即,由此可解出m的取值范围;
② 存在一点F,满足,故点在的中垂线上,即抛物线的对称轴上,设,然后利用两点间的坐标公式,结合,化简可得,即是关于的二次函数,开口向下,对称轴为直线,在,随着的增大而减小,根据函数增减性,即可求出点F的纵坐标的取值范围;
【小问1详解】
抛物线过点,
,解得,
抛物线.
向右平移m个单位(),再向上平移n个单位()得到新的抛物线,根据图象的平移,可得,
抛物线:.
其顶点E的坐标为.
【小问2详解】
抛物线与坐标轴有且只有两个公共点,
① 当抛物线经过原点时满足条件,如图所示,
将代入抛物线:,
得,即,
顶点E的坐标为.
② 当抛物线不经过原点,与轴一定会有一个交点,所以抛物线与轴只有一个交点,即当顶点落在轴上时,满足与坐标轴有且只有两个公共点,如图所示,
此时,,顶点E的坐标为.
综上所述,顶点E的坐标为或.
【小问3详解】
① 当时,抛物线为:,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D,如图所示,
当,,
点坐标为,
当,即,解得,,
,,
当时,抛物线纵坐标取值范围是,
当时,对抛物线上的任意一点P,在抛物线上总存在一点Q,使得点P,Q的纵坐标相等,
点纵坐标要小于等于-1,即,解得,或(由于,舍去)
同时点横坐标小于等于2,即,解得,
综上,.
② 存在一点F,满足,
点在的中垂线上,即抛物线的对称轴上,故设,
,,
,
,
,即,
,
整理化简得,,
,
,
二次函数的对称轴为直线,开口向下,
在,随着的增大而减小,
当时,,时,,
.
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质,图象的平移,勾股定理,利用函数的增减性求函数值的取值范围,熟练掌握二次函数的图像和性质,运用分类讨论思想,数形结合思想是解题的关键.分装机
平均数
方差
甲
200
15.24
乙
200
7.83
小华 小聪
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
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